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Aufgaben zur Kurvendiskussion

  1. 1

    Es ist folgende Funktion gegeben:

    In den Teilaufgaben findest du alles, was du f√ľr diese Funktion berechnen k√∂nntest.

    Suche dir das heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Bei sp√§teren Teilaufgaben kann auf fr√ľhere Ergebnisse zur√ľckgegriffen werden.

    Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zun√§chst diese fr√ľheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

    1. Bestimme den Definitionsbereich und die Art der Definitionsl√ľcken.

    2. Vereinfache die Funktionsgleichung.

    3. Berechne die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

    4. Setze die Funktion ff - wenn möglich -  stetig zu einer Funktion f^\hat f fort.

    5. Bestimme die Asymptoten.

    6. Bestimme die Nullstellen.

    7. Bestimme die Extrempunkte.

    8. Bestimme das Monotonieverhalten.

    9. Berechne die Wendepunkte.

    10. Bestimme das Kr√ľmmungsverhalten.

    11. Berechne den Wertebereich.

    12. Zeichne den Graph.

    13. √úberpr√ľfe das Symmetrieverhalten.

    14. Bestimme die Tangente zur Funktion ff am allgemeinen Punkt (p‚ą£f(p))(p|f(p)).

    15. Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsgraphen GfG_f von ff mit dem Funktionsgraphen GgGg von der Funktion

    16. Berechne die Stammfunktion.

    17. Bestimme die Gr√∂√üe der Fl√§che zwischen dem Graphen der Funktion ff, der x-Achse und den Geraden x=‚ąí0,5x=-0{,}5 und x=0,5x=0{,}5.

    18. Bestimme die Gr√∂√üe der Fl√§che die der Graph der stetigen Funktion f^\widehat{f} mit dem Graphen der Tangente von f^\widehat{f} am Punkt (1‚ąí1e‚ą£4e)\displaystyle \left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right. einschlie√üt.

      Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen

    19. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks Nst1TPNst2HP\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}

      Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.

      Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis √ľben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.

  2. 2

    Es ist folgende Funktionenschar gegeben:

    fk(x)=e‚ąíkx,k‚ąąRf_k\left(x\right)= e^{-\sqrt{kx}}, k\in\mathbb{R}

    In den Teilaufgaben findest du vieles, das du f√ľr diese Funktion berechnen kannst.

    Suche dir heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in sp√§teren Aufgaben auf Ergebnisse von fr√ľher zur√ľckgegriffen.

    Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.

    1. Definitionsbereich bestimmen

    2. Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.

    3. Asymptoten bestimmen

    4. Nullstellen bestimmen

    5. Symmetrieverhalten √ľberpr√ľfen

    6. Monotonieverhalten bestimmen

    7. Kr√ľmmungsverhalten bestimmen

    8. Extremwerte bestimmen

    9. Wertebereich bestimmen

    10. Tangente bestimmen:

      Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von fk(x)f_k(x), die¬† f√ľr k<0k < 0 auch durch den Punkt P1(‚ąí1‚ą£0)P_1(-1|0) geht und f√ľr k>0k > 0 durch den Punkt P2(1‚ą£0)P_2(1|0).

    11. Stammfunktion I:

      Zeige, dass

      Fk(x)=‚ąí2‚čÖe‚ąíkx(kx+1)k\displaystyle{F}_ k\left( x\right)=-\frac{2\cdot e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{\mathrm k}

      eine Stammfunktion von fk(x)f_k(x) f√ľr k‚Ȇ0k\neq 0 ist.

    12. Stammfunktion II:

      Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von fkf_k .

       

      Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.

      F√ľr alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.

    13. Flächenberechnung I:

      Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.

    14. Flächenberechnung II:

      Berechne die Fl√§che die von der x-Achse, den Geraden x=‚ąí1,x=1x=-1, x=1 und dem Graphen von f1(‚ą£x‚ą£)f_1(|x|) eingeschlossen wird.

    15. Graphen zeichnen:

      Zeichne folgende Graphen f√ľr k=¬Ī3k= \pm 3 in ein oder mehrere Koordinatensysteme:

      Gf{\mathrm G}_ f mit seinen Asymptoten Gf′,GF\mathrm G_{f'}, G_F und GTG_T

  3. 3

    Es ist folgende Funktion gegeben:

    In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

    Suche dir das heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Bei sp√§teren Teilaufgaben kann auf fr√ľhere Ergebnisse zur√ľckgegriffen werden.

    Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zun√§chst diese fr√ľheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

    1. Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

    2. Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

    3. Gib die Asymptoten der Funktion an.

    4. √úberpr√ľfe die Funktion auf Achsensymmetrie bez√ľglich der y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

    5. Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle

    6. Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.


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