Aufgaben
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?
Werfen einer Münze
Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21,2,3,4,5,2 versehen.
Ziehen eines Loses aus einem Lostopf

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21,2,3,4,5,2 versehen

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Es ist zwar
P(ω)=16P(\omega)=\frac{1}{6} für ωA={1,3,4,5}\omega \in A = \left\{1,3,4,5\right\}
(Kurzschreibweise für: P({1})=P({3})=P({4})=P({5})=16P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac16),
d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von 16\frac16 eine 1,3,4oder51,3,4 \, \text{oder} \, 5,
aber die Wahrscheinlichkeit eine 22 zu würfeln, ist P({2})=2616P(\left\{2\right\})=\frac26 \ne \frac16.
Die 22 kommt nämlich zweimal in der Grundmenge Ω={1,2,3,4,5,2}\Omega= \left\{1,2,3,4,5,2\right\} vor.

Ziehen eines Loses aus einem Lostopf

Dies ist im Allgemeinen kein Laplace-Experiment, denn der Losverkäufer wird immer aus eigenem Interesse mehr Nieten als Gewinne in seinem Lostopf haben ;)
So können die Elementarereignisse "Ziehen einer Niete" und "Ziehen eines Gewinns" nicht gleich wahrscheinlich sein.
Sind in einem Lostopf genauso viele Gewinne wie Nieten, dann sind die beiden Elementarereignisse natürlich gleich wahrscheinlich und ein solches Zufallsexperiment ist dann auch ein Laplace-Experiment.

Werfen einer Münze

Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils 12\frac12, so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11 versehen
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit unterschiedlichen 10 Kugeln

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11 versehen.

Dies ist ein Laplace-Experiment, denn P(ω)=16P(\omega)=\frac16 für alle ωΩ\omega \in \Omega, wobei Ω={1,3,5,7,9,11}\Omega= \left\{1,3,5,7,9,11\right\}. Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte 152\frac{1}{52} beträgt.
Hier geht man davon aus, dass alle Karten voneinander unterscheidbar sind, da sonst nichts angegeben ist.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Dies ist ein Laplace-Experiment.
Hier unterscheidetman wiederum gedanklich die 1010 einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit 110\frac{1}{10} gezogen wird.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.
Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich 610=35\frac{6}{10}=\frac{3}{5} und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist 410=25\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:
Zufallsexperiment 1
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 2
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 3
Drehen des folgenden Glücksrades:
Welches der Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
Zufallsexperiment 3
Zufallsexperiment 1
Zufallsexperiment 2

Zufallsexperiment 1


Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.
Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe xx" die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Zufallsexperiment 2


Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe xx" gleich groß.

Zufallsexperiment 3


Die richtige Antwort lautet also Zufallsexperiment 33. Dies ist kein Laplace-Experiment.
Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.
Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.
Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Ein Glücksrad hat 5 Segmente.
Da jedoch nicht alle Segmente gleich groß sind, also die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu drehen kleiner ist als eine 5 zu drehen, ist dies kein Laplace-Experiment!
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/705.xml
Betrachtet wird das Zufallsexperiment:
"Werfen eines Würfels" - aber eines besonderen Würfels:
Was ist die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Elementarereignisses dieses Experiments, wenn es sich um einen Laplace-Würfel mit 6 Seiten handelt, von denen
  • jeweils 2 Seiten mit 0
  • jeweils 2 Seiten mit 1
  • jeweils 2 Seiten mit 2
beschriftet sind?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eingeben:
Zähler/Nenner, z.B. 4/5
und anschließend dein Ergebnis überprüfen lassen.
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

P(ω)=1ΩP(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}
Bestimme Ω\Omega und Ω|\Omega|.
Der Laplace-Würfel hat 66 Seiten, von denen aber jeweils zwei gleich sind.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={0,1,2}\Omega = \left\{0,1,2\right\} wählen.

Ω=3\Rightarrow |\Omega|= 3
Berechne P(ω)P(\omega).
P(ω)=1Ω=13\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac13 für alle ωΩ\omega \in \Omega.
Also ist 1/3 (=13)1/3 \ (=\frac13) die richtige Antwort.
Betrachtet wird das folgende Zufallsexperiment:
"Drehen eines Glücksrades mit 3 gleichgroßen Feldern"
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Glücksrad auf einer ungeraden Zahl stehen?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eintippen:
Zähler/Nenner, z.B. 4/7
und dann dein Ergebnis überprüfen lassen.

Laplace-Experiment

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:
P(A)=AΩP(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}
Dazu brauchst du nun Ω|\Omega| und A|A|,
wobei AA hier das Ereignis "Ungerade Zahl" ist.

Ergebnisraum Ω\Omega

Das Glücksrad hat 33 gleichgroße Felder.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={1,2,3}\Omega = \left\{1,2,3\right\} wählen.

Ω=3\Rightarrow |\Omega|= 3


Ereignis "Ungerade Zahl"

Es gibt auf dem Glücksrad 22 ungerade Zahlen: 1 und 3.
A=2|A|=2
Berechne P(A)P(A).
P(A)=AΩ=23\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{3}.

Also ist 2/3 (=23)2/3\ (=\frac23) die richtige Antwort.

Gib die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse des folgenden Zufallsexperiments CC an:
CC = "Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 unterschiedlichen Kugeln"
Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form an:
Zahl/Zahl, z.B. 2/3.
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

P(ω)=1ΩP(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}
Bestimme Ω\Omega und Ω|\Omega|.
In der Urne sind 88 Kugeln.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\} wählen.

Ω=8\Rightarrow |\Omega|= 8
Berechne P(ω)P(\omega).
P(ω)=1Ω=18\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac18 für alle ωΩ\omega \in \Omega.

Also ist 1/8(=18)1/8 (=\frac18), die richtige Antwort.

Ein Laplace-Würfel wird 2 mal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 3 fällt.
1136\frac{11}{36}
1336\frac{13}{36}
12\frac12
1236\frac{12}{36}
Sei AA = "Es wird mindestens einmal eine 3 geworfen"
P(A)=AΩP(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}
Bestimme A|A| und Ω|\Omega|.
Es gibt verschiendene Möglichkeiten, mithilfe der Kombinatorik, die Mächtigkeiten von AA und Ω\Omega zu bestimmen. Verwende eine von dir bevorzugten Methode.
Es ist
A=6+5=11|A|= 6 + 5 = 11
Ω=66=36|\Omega|= 6 \cdot 6 = 36

P(A)=AΩ=1136\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}

Also ist 1136\frac{11}{36} die richtige Antwort.

Eine Laplace-Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. P(E)="Es fällt genau zweimal Zahl"

  2. P(E)="Es fällt mindestens zweimal Zahl"

  3. P(E)="Es fällt höchstens zweimal  Zahl"

Teilaufgabe a

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac38=0,375%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 37,5% fällt genau zweimal Zahl.

Teilaufgabe b

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=4%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac48=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt mindestens zweimal Zahl.

Teilaufgabe c

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens zweimal Zahl vorkommt.

%%E=\left\{KZZ;ZKZ;KKK;ZZK;KKZ;KZK;ZKK\right\}%%

%%\;\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=7%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac78=0,875%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 87,5% fällt höchstens zweimal Zahl.

Foto Milas Lieblingsanordnung
Mila hat in ihrem Federmäppchen 10 bunte Stifte, für die sie eine Lieblingsanordnung hat.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stifte in Milas Lieblingsreihenfolge liegen, wenn ihr kleiner Bruder sie per Zufall hinlegt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ereignis AA: Milas Lieblingsreihenfolge
P(A)=?P(A)={?}
Da Milas Bruder die Stifte per Zufall hinlegt, sind alle Anordnungen gleich wahrscheinlich. Verwende daher die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeiten.
P(A)=AΩ\displaystyle P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathit\Omega\right|}
In diese Formel setzt du
A=1\displaystyle \left|A\right|=1
ein, denn es gibt ja nur eine Lieblingsanordnung.
Überlege dir nun, was Ω\left|\mathit\Omega\right| ist: Für den ersten Platz sind 10 Stifte möglich, für den zweiten nur noch 9, für den dritten 8 usw.
Ω=109821=10!\displaystyle \left|\mathit\Omega\right|=10\cdot9\cdot8\cdot…\cdot2\cdot1=10!
Gib 10! in deinen Taschenrechner ein.
Ω=3628800\displaystyle \left|\mathit\Omega\right|=3\,628\,800
P(A)=136288002,76107=2,76105%\displaystyle P(A)=\frac1{3\,628\,800}\approx2{,}76\cdot10^{-7}=2{,}76\cdot10^{-5}\,\%
Die Wahrscheinlichkeit, dass Milas Lieblingsreihenfolge per Zufall richtig hingelegt wird, liegt nur bei ungefähr 0,000 027 6 %!
Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib P(B)P(B) an.
P(B)=12P(B)=\frac12
P(B)=23P(B)=\frac23
P(B)=13P(B)=\frac13
P(B)=63P(B)=\frac63
Es ist
B={1,3,5}                            B=3Ω={1,2,3,4,5,6}        Ω=6\begin{array}{l}B=\{1,3,5\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|B\right|=3\\\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}
und somit
P(B)=BΩ=36=12\displaystyle P(B)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12

Eine Laplace-Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. P(E)="Es fällt genau einmal Kopf"

  2. P(E)="Es fällt mindestens einmal Kopf"

  3. P(E)="Es fällt höchstens einmal Kopf"

Teilaufgabe a

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZK;\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=2%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac24=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt genau einmal Kopf.

Teilaufgabe b

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;KK;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt mindestens einmal Kopf.

Teilaufgabe c

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZZ;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt höchstens einmal Kopf.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Skatspiel (32 Karten) zwei Damen im Skat (= zwei weggelegte Karten) liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Insgesamt: 32 Karten, davon 4 Damen
Es gibt 4 Dame-Karten, die beim ersten Aufdecken gezogen werden können. Beim zweiten gibt es eine Dame weniger. (Benutze hierfür die Multiplikation von Brüchen.)
432331=32481,2%\frac4{32}\cdot\frac3{31}=\frac3{248}\approx1{,}2\,\% 

Zwei Karten eines Bridgespiels (52 Karten) werden gleichzeitig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. "Beide Karten sind Karokarten"

  2. "Beide Karten sind Könige"

  3. "Pikdame, Karokönig"

Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Aufgabe geht es um das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

Teilaufgabe 1

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%13%% Karten Karo.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, Karo zu ziehen, %%\frac{13}{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac{12}{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}%%

%%=\frac3{51}%% %%\approx5{,}9\,\% %%

Teilaufgabe 2

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%4%% Karten König.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen %%\frac4{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac3{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac4{52}\cdot\frac3{51}=%%

%%=\frac1{221}\approx0{,}45\,\% %%

Teilaufgabe 3

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon wird eine Pikdame und ein Karokönig gezogen.

Beim 1. Ziehen kann man entweder eine Pikdame oder einen Karokönig ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils %%\frac1{52}%%. Je nachdem, ob man Pikdame oder Karokönig beim ersten Mal gezogen hat, zieht man beim zweiten Mal die noch nicht gezogene Karte. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist jeweils nur noch %%\frac1{51}%%, da eine der Karten schon gezogen wurde. Insgesamt erhält man also mit der 1. und 2. Pfadregel:

%%\frac1{52}\cdot\frac1{51}+\frac1{52}\cdot\frac1{51}=2\cdot \frac1{52}\cdot\frac1{51}= \frac2{51\cdot52}%%

%%=\frac{2}{2652}\approx0{,}075\,\%=0{,}08\,\% %%

Zwei Laplace-Würfel werden nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Berechne die Wahrscheinlichkeit durch die Formel des Laplace-Experiments.
Alle möglichen Augensummen sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Die durch 3, 4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12.
Jetzt musst du aufpassen! Die Wahrscheinlichkeit die Augensumme 2 zu würfeln, ist unwahrscheinlicher als beispielsweise eine 8 zu würfeln, da man für eine 2 zwei Einser würfeln muss und es für eine 8 mehrere Möglichkeiten gibt (z.B. 2 Vierer oder eine 3 und eine 5). Daher kannst du nicht die Wahrscheinlichkeit über {3,4,5,6,7,8,9,10,12}{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}=911\frac{\left|\left\{3,4,5,6,7,8,9,10,12\right\}\right|}{\left|\left\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}\right|}=\frac{9}{11} berechnen, sondern musst bestimmen, welche Ergebnisse insgesamt möglich sind und welche Augensumme diese ergeben.

Direkter Lösungsweg

Jetzt musst du nur noch alle Ergebnisse aufschreiben und bestimmen, wie viele davon die Augensumme 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 haben. Da die Würfel nacheinander geworfen werden, kann kannst du zwischen einem ersten oder zweiten Wurf entscheiden und die Ergebnisse als (erster Wurf, zweiter Wurf)(\text{erster Wurf, zweiter Wurf}) schreiben.
Ω={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6);(4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)}\begin{array}{rcl}\Omega&=& \{\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(1,5\right);\left(1,6\right); \\ & & \left(2,1\right);\left(2,2\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(2,5\right);\left(2,6\right);\\ & &\left(3,1\right);\left(3,2\right);\left(3,3\right);\left(3,4\right);\left(3,5\right);\left(3,6\right); \\ & & \left(4,1\right);\left(4,2\right);\left(4,3\right);\left(4,4\right);\left(4,5\right);\left(4,6\right); \\ & & \left(5,1\right);\left(5,2\right);\left(5,3\right);\left(5,4\right);\left(5,5\right);\left(5,6\right); \\ & & \left(6,1\right);\left(6,2\right);\left(6,3\right);\left(6,4\right);\left(6,5\right);\left(6,6\right)\} \end{array}
Ω=66=36|\Omega|=6\cdot6=36

Mit E soll die Menge bezeichnet werden, deren Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar sind.
E={(1,2);(2,1);(1,5);(5,1);(2,4);(4,2);(3,3);(3,6);(6,3);(4,5);(5,4);(6,6)durch 3 teilbar;(1,3);(3,1);(2,2);(2,6);(6,2);(3,5);(5,3);(4,4)durch 4 (aber nicht durch 3) teilbar;(1,4);(4,1);(2,3);(3,2);(4,6);(6,4);(5,5)durch 5 teilbar}\begin{array}{l c c} E & = & \{ \underbrace{(1,2);(2,1);(1,5);(5,1);(2,4);(4,2);(3,3);(3,6);(6,3);(4,5);(5,4);(6,6)}_{\text{durch 3 teilbar}}; \\ & & \underbrace{(1,3);(3,1);(2,2);(2,6);(6,2);(3,5);(5,3);(4,4)}_{\text{durch 4 (aber nicht durch 3) teilbar}}; \\ &&\underbrace{(1,4);(4,1);(2,3);(3,2);(4,6);(6,4);(5,5)}_{\text{durch 5 teilbar}} \}\end{array}
E=27\Rightarrow\left|E\right|=27
Nun kannst du die Mächtigkeit der Menge aller günstigen Ergebnisse E\left|E\right| durch die Mächtigkeit der Menge aller Ergebnisse Ω\left|\Omega\right|teilen.
P(E)=2736=0,75P\left(E\right)=\frac{27}{36}=0,75
Rechne nun noch in Prozent um.
        \;\;\Rightarrow\;\;zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.

Weiterer Lösungsweg über das Gegenereignis

Du kannst die Rechnung auch abkürzen indem du mit dem Gegenereignis rechnest. Dies bietet sich immer an, wenn die Anzahl der günstigen Ergebnisse groß ist und das Gegenereignis nur wenige Elemente enthält.
Das Ereignis E="Augensumme ist durch 3, 4 oder 5 teilbar"E = "\text{Augensumme ist durch 3, 4 oder 5 teilbar}" ist gleichbedeutend mit "Augensumme ist 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12""\text{Augensumme ist 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12}".

Das Gegenereignis lautet E="Augensumme ist nicht durch 3, 4 oder 5 teilbar"\overline{E}="\text{Augensumme ist nicht durch 3, 4 oder 5 teilbar}" oder eben "Augensumme ist 2,7 oder 11""\text{Augensumme ist 2,7 oder 11}".
Da P(E)=1P(E)P(E)=1-P(\overline{E}) gilt, müssen wir nur noch P(E)P(\overline{E}) berechnen.
E={(1,1)Augensumme 2;(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)Augensumme 7;(5,6);(6,5)Augensumme 11}\overline{E}=\{ \underbrace{(1,1)}_{\text{Augensumme 2}}; \underbrace{(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)}_{\text{Augensumme 7}}; \underbrace{(5,6);(6,5)}_{\text{Augensumme 11}}\}
E=9\Rightarrow|\overline{E}|=9
Da wir oben schon berechnet haben, dass Ω=36|\Omega|=36 ist, ist P(E)=936P(\overline{E})=\frac{9}{36} und somit:
P(E)=1P(E)=1936=2736=0,75=75%\displaystyle P(E)=1-P(\overline{E})=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=0,75=75\%
        \;\;\Rightarrow\;\;zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.
In einer Familie gibt es 2 Söhne und 3 Töchter. Jeden Tag wird ausgelost, wer den Tisch abräumen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
es die jüngste Tochter an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die jüngste Tochter ausgelost wird. Da alle Kinder gleich wahrscheinlich gezogen werden benutze Formel für Laplace-Experimente.
Anzahl betroffener KinderGesamtanzahl Geschwister=15\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15
Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass es die jüngste Tochter zweimal hintereinander trifft.
1515=125=0,04=4%\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}=0,04=4\% 
es irgendein Kind an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier ist egal, welches der Kinder zweimal hintereinander gezogen wird. Deshalb ist es nicht wichtig, wer am ersten Tag gezogen wird. Berechne also die Wahrscheinlichkeit, dass am zweiten Tag ein bestimmtes Kind abräumen muss, nämlich das gleiche, das am ersten Tag ausgelost wurde.
Anzahl betroffener KinderGesamtanzahl Geschwister=15\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15
Ergibt sich aus Formel für Laplace-Experimente.
15=0,2=20%\frac15=0,2=20\% 
an zwei aufeinanderfolgenden Tagen Söhne abspülen müssen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze dazu die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten.
Bestimme dazu die Mächtigkeiten von Ω\Omega und EE = "an zwei Tagen nacheinander werden Söhne gezogen".
Es gibt an jedem Tag eines von fünf Kindern ausgewählt wird, ergeben sich für zwei aufeinaderfolgende Tage 55=255\cdot 5=25 Möglichkeiten.
Ω=25\Rightarrow |\Omega|=25
Um an zweimal nacheinander Söhne zu ziehen gibt es 22=42\cdot2=4 Möglichkeiten.
E=4\Rightarrow |E|=4
Berechne damit die Wahrscheinlichkeit.
P(E)=EΩ=425=0,16=16%\displaystyle P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{4}{25}=0,16=16\% 
Eine Zahl x mit 20<x3020<x\le30 wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine Primzahl gezogen wird
eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und C="x ist durch 4 teilbar".
C={24,28}        C=2C=\left\{24,28\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|C\right|=2
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
P(E)=210=0,2=20%P\left(E\right)=\frac2{10}=0,2=20\% 
        \;\;\Rightarrow\;\; Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.
eine durch 4 und 6 teilbare Zahl gezogen wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".
D={24}        D=1D=\left\{24\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|D\right|=1
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
P(D)=110=0,1=10%P\left(D\right)=\frac1{10}=0,1=10\% 
        \;\;\Rightarrow\;\;Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.

Ein Prüfer gibt eine Liste von 8 Fragen aus. Bei der Prüfung wird er dem jeweiligen Prüfling 2 davon vorlegen, von denen dieser eine bearbeiten muss.

Felix Faul bereitet sich nur auf eine der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seine Frage gestellt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird zufällig eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Die von Fritz vorbereitete Frage kommt entweder als erste, dann ist die zweite Frage egal, oder sie kommt als zweite, wenn als erstes eine andere gezogen wurde.

%%P_1=\frac18\cdot \frac77=\frac18\cdot1=\frac18%%

Die vorbereitete Frage wird gleich als erste gezogen.

%%P_2=\frac78 \cdot \frac 17=\frac18%%

Es wird erst eine der anderen und dann die vorbereitete Frage gezogen.

%%\Rightarrow P=P_1+P_2=\frac18+\frac18=\frac28=\frac14=25\% %%

Alexander Arglos bereitet sich auf 6 der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens eine vorbereitete Frage vorgelegt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Hier ist es am einfachsten, über das Gegenereignis zu gehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der vorbereiten Fragen gezogen wird ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Fragen gezogen wird.

%%\text{P(keine der Fragen)}=\frac28\cdot \frac 17=\frac{2}{56}%%

In der esten Stufe sind zwei von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen nicht vorbereitet worden.

%%\Rightarrow \text{P(mindestens eine Frage)}%%
%%=1-\text{P(keine der Fragen)}%%

Berechne das Gegenereignis.

%%=1-\frac{2}{56}=\frac{54}{56}\approx0,964=96,4\% %%

Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede der Ziffern mehrmals vorkommen darf.

Beschreibe den Ablauf eines geeigneten Zufallsexperiments.

Als geeignetes Zufallsexperiment bietet sich das Drehen eines Glückrades mit 4 gleichgroßen Segmenten an. Dabei steht in jedem Segment eine Zahl zw. %%1%% und %%4%% und keine dieser Zahlen kommt doppelt vor.

Wenn du das Glücksrad nun viermal drehst und dir jedes Mal die gedrehte Zahl aufschreibst, erhälst du eine vierstellige Zahl, die zufällig gebildet wurde, und jede Ziffer zw. %%1%% und %%4%% kann auch mehrmals vorkommen.

Glücksrad

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: Die Zahl enthält mindestens eine 2.
B: Die gebildete Zahl endet auf 2.

Teilaufgabe 1

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine %%2%% vorkommt.

Verwende das Gegenereignis.

%%P("mind.eine \ 2")%% %%=1-P("keine\;2")%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Es gilt: $$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{"keine 2"\}|}{|\Omega|}$$ Da keine %%2%% vorkommen soll, gibt es nur noch %%3%% Ziffern für die %%4%% stellige Zahl. Wie in Teilaufgabe b) erhälst du z.B. mithilfe eines Baumdiagramms, dass %%|A|=3^4%% ist.

%%|A|=|\{"keine 2"\}|=3^4%%

%%|\Omega|=4^4%% (Teilaufgabe b) )

%%\Rightarrow P("keine\;2")=\left(\frac34\right)^4%%

%%\Rightarrow P("mind.\;eine\;2")=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\approx0,68=68\% %%

Teilaufgabe 2

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gebildete vierstellige Zahl am Ende eine 2 enthält.

Es gilt:

%%P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\Omega|}%%

Die Mächtigkeit von %%\Omega%% wurde bereits in Teilaufgabe b) bestimmt. Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisses %%A%%, dass die vierstellige Zahl, eine %%2%% am Ende enthält.

Da der letzte Platz fix ist und die Ziffern mehrmals vorkommen können, können 4 Zahlen für 3 Plätze gewählt werden.

%%\Rightarrow |A|=4^3%%

Berechne nun %%P(A)%%.

%%P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\Omega|}=\frac{4^3}{4^4}=\frac14=0,25=25\% %%

Alternativ: Einfacher ist, zu erkennen, dass die %%3%% vorderen Stellen für die Lösung irrelevant sind. Eine Ziffer von 4 an einer Stelle zu wählen, hat eben einfach eine Wahrscheinlichkeit von %%25\% %%.

Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in beiden Stufen eine Dame gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Anzahl der Damen durch die Gesamtzahl der Personen.
P=612511=30132=5220,227=22,7%P=\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{30}{132}=\frac{5}{22}\approx 0{,}227=22{,}7\,\%
eine Dame und einen Herren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss entweder in der ersten Stufe eine Dame und in der zweiten ein Herr gezogen werden oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der Damen bzw. Herren durch die Gesamtzahl der Personen.
P(erst Frau, dann Mann)=612611=36132P(\text{erst Frau, dann Mann})=\frac{6}{12}\cdot\frac{6}{11}=\frac{36}{132}
Da die Wahrscheinlichkeit in beiden Fällen identisch ist, kann diese einfach verdoppelt werden.
P(eine Dame und ein Herr)P(\text{eine Dame und ein Herr})
=P(erst Frau, dann Mann)+P(erst Mann, dann Frau)=P(\text{erst Frau, dann Mann})+P(\text{erst Mann, dann Frau})
=36132+36132=3666=6110,546=54,6%= \frac{36}{132}+\frac{36}{132}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\approx0{,}546=54{,}6\,\% 
ein Ehepaar?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in der zweiten Stufe der Ehepartner der in der ersten Stufe gezogenen Person gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist eins durch die Gesamtzahl der übrigen Personen. Welche Person dabei in der ersten Stufe gezogen wurde, ist egal.
P=1212111=1110,091=9,1%P=\frac{12}{12}\cdot \frac{1}{11}=\frac{1}{11}\approx0{,}091=9{,}1\,\% 

Gib für die folgenden Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und berechne die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse.

Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt.
A: Es handelt sich um ein „E“.
B: Es handelt sich um einen Konsonanten.

C: Es handelt sich um einen Vokal.

Hier handelt es sich um ein Laplace-Experiment, da jeder Buchstabe mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann.
Wichtig ist dabei, dass hier Buchstaben, die mehrfach vorkommen, unterschieden werden.

Benutze also die Formel für Laplace-Exerimente um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

A: Ein "E" wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von A.

|A|= Anzahl "E"s in
"ZUFALLSEXPERIMENT" = 3

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(A).

%%\displaystyle P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{17}\approx 17,6\% %%

B: Ein Konsonant wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von B.

|B|= Anzahl Konsonanten in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 11

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(B).

%%\displaystyle P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{11}{17}\approx 64,7\% %%

C: Ein Vokal wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von C.

|C|= Anzahl Vokale in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 6

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(C).

%%\displaystyle P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}=\frac{6}{17}\approx 35,3\% %%

Eine Lostrommel enthält 600 Lose. Zwei Drittel davon sind Nieten, 80 % des Restes ergeben Trostpreise, die übrigen Lose ergeben Hauptgewinne.

A:Das gezogene Los ergibt einen Trostpreis.

B:Das gezogene Los ergibt keinen Hauptgewinn.