Aufgaben

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.

Zu text-exercise-group 6763:
Nish 2019-01-08 17:12:56+0100
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
Alex_Lueckenhaus 2019-01-10 08:42:06+0100
Hi Nish, zumindest die verlinkungen aus Überschriften habe ich rausgenommen und den ersten Satz hinzugefügt. Ich war mir aber nicht sicher ob es bei diesem Aufgabentyp auch einen Lösungssatz braucht.
Gruß Alex
Nish 2019-01-13 17:32:04+0100
Vielen Dank, Alex! Lösungssatz braucht es mMn hier nicht unbedingt.
Man könnte hier vllt. die Lösung der Ableitung nochmal am Ende in einer Zeile aufschreiben, damit es einmal schön da steht.
Was man hier stattdessen auch machen könnte: Mit dem Befehl \phantom (siehe Latex-Richtlinie) die Gleichheitszeichen auf eine Ebene bringen. Ich habe es mir mal aufgeschrieben und mache es bei Gelegenheit, falls du es mal nicht ausprobieren möchtest ;)

Lösungssätze sind mMn v.a. wichtig, wenn die Schüler*innen verstanden haben sollten, was sie dort genau ausgerechnet oder bestimmt haben, also besonders bei (längeren) Sachaufgaben.

LG,
Nish

Antwort abschicken

$$f\left(x\right)=\frac{x^2}{2x+2}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.

$$f(x)=\frac{x^2}{2x+2}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x+2)\cdot 2x-x^2\cdot2}{(2x+2)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{4x^2+4x-2x^2}{(2x+2)^2}=\frac{2x^2+4x}{[2(x+1)]^2}=\frac{2x\cdot(x+2)}{4\cdot(x+1)^2}$$

$$=\frac{x\cdot(x+2)}{2\cdot(x+1)^2}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{2x-1}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.

$$f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x-1)\cdot2-(2x+1)\cdot2}{(2x-1)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{2\cdot(2x-1-2x-1)}{(2x-1)^2}$$

$$=-\frac4{(2x-1)^2}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(2x-1\right)^2}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.

$$f(x)=\frac{2x+1}{(2x-1)^2}$$

Wende die Quotientenregel an.

Wende die Kettenregel auf %%\left(2x-1\right)^2%% an.

$$\small f^\prime(x)=\frac{(2x-1)^2\cdot2-(2x+1)\cdot2\cdot(2x-1)\cdot2}{[(2x-1)^2]^2}$$

%%(2x-1)%% ausklammern.

$$=\frac{(2x-1)\cdot[2\cdot(2x-1)-4\cdot(2x+1)]}{(2x-1)^4}=\frac{4x-2-8x-4}{(2x-1)^3}=\frac{-4x-6}{(2x-1)^3}$$

$$=-\frac{2\cdot(2x+3)}{(2x-1)^3}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x^5}$$

Ableitung

Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.

$$f(x)=\frac{2x+3}{x^5}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{x^5\cdot2-(2x+3)\cdot5x^4}{(x^5)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{2x^5-10x^5-15x^4}{x^{10}}=\frac{-8x^5-15x^4}{x^{10}}=\frac{x^4\cdot(-8x-15)}{x^{10}}$$

Faktorisiere $$-8x^5-15x^4$$ um $$x^{10}$$ kürzen zu können.

$$=-\frac{8x+15}{x^6}$$

Leite die folgenden Funktionen auf zwei verschiedene Weisen ab.
f(z)=2z4zf(z)=-2\cdot z^4\cdot z
Tipp: Neben der Produktregel kannst du auch die Potenzgesetze anwenden, um dir das Ableiten zu vereinfachen.

Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.
f(z)=2z4zf(z)=-2\cdot z^4\cdot z
g(x)=2z5\phantom{g(x)}=-2 z^5
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor 2-2 bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.
%%\begin{align}f'(z)&=-2\cdot 5 \cdot z^4\\\\&=-10 z^4\end{align}%%
Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem z4z^4 verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.
f(z)=24z3z+(2)z41f'(z)=-2\cdot 4 \cdot z^3 \cdot z+(-2) \cdot z^4 \cdot 1
Fasse den Term weiter zusammen.
g(x)=8z42z4\phantom{g'(x)}=-8 z^4-2 z^4
g(x)=10z4\phantom{g'(x)}=-10z^4

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen f(z)=10z4f'(z)=-10z^4 ist.
g(t)=8t2g(t)=8\cdot t^{-2}
Tipp: Die erste Möglichkeit ist, die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen zu verwenden. Andererseits kannst du aber auch die Potenzgesetze anwenden und anschließend mit der Quotientenregel ableiten.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
g(t)=8(2)t3=16t3g'(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3} = -16 \cdot t^{-3}

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.
g(t)=8t2=8t2g(t)=8\cdot t^{-2}=\dfrac{8}{t^2}
Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.
g(t)=t202t8t4g'(t)=\dfrac{t^2 \cdot 0-2 \cdot t \cdot 8}{t^4}
Vereinfache nun den Zähler noch weiter.
f(x)=16tt4\phantom{f'(x)}= \dfrac{-16 t}{t^4}
Kürze den Zähler und Nenner mit tt.
f(x)=16t3\phantom{f'(x)}=\displaystyle -\frac{16}{t^3}

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen g(t)=16t3=16t3g'(t)=-\frac{16}{t^3} = -16 \cdot t^{-3} ist.
h(u)=u2u3+11uh(u)=\dfrac{u^2}{u^3}+ 1 - \dfrac{1}{u}
Tipp: Du kannst den Bruchterm erst kürzen und zusammenfassen und dann Ableiten, oder die Quotientenregel anwenden.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit x2x^2.
h(u)=u2u3+11u=1u+11u=1\begin{array}{rcl} h(u) &=&\frac{u^2}{u^3}+ 1 - \frac{1}{u}\\&=& \frac{1}{u}+ 1 - \frac{1}{u} \\ & =&1 \end{array}
Vereinfache den Term noch weiter.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
h(u)=0h'(u)=0

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.
h(u)=u32uu23u2u6+0u011u2h'(u)=\dfrac{u^3\cdot2\cdot u-u^2\cdot3\cdot u^2}{u^6}+0-\dfrac{u \cdot 0 - 1 \cdot 1}{u^2}
f(x)=2u43u4u6+1u2\phantom{f'(x)}=\dfrac{2 u^4-3 u^4}{u^6}+\dfrac{1}{u^2}
Fasse die Zähler noch weiter zusammen.
f(x)=u4u6+1u2\phantom{f'(x)}=-\dfrac{u^4}{u^6}+\dfrac{1}{u^2}
Kürze den ersten Bruch mit u4u^4.
f(x)=1u2+1u2=0\phantom{f'(x)}=-\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{u^2}=0
Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich 00 (Nullfunktion).
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
k(x)=4x212x1k(x)=\dfrac{4x^2-1}{2x-1}
Tipp: Du kannst die Aufgabe auf zwei Wegen lösen, entweder mit einer binomischen Formel oder der Quotientenregel.

Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.
Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.
%%k(x)=\displaystyle\frac{4x^2-1}{2x-1}\\%%
i(x)\phantom{i(x)}f(x)=(2x1)(2x+1)2x1\phantom{f(x)}=\dfrac{(2x-1)\cdot(2x+1)}{2x-1}
Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term 2x1{2x-1} kürzen.
f(x)=2x+1\phantom{f(x)}=2x+1
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
k(x)=2k'(x)=2

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:
k(x)=(2x1)42x2(4x21)(2x1)2k'(x)=\dfrac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot(4x^2-1)}{(2x-1)^2}
Multipliziere die 22 mit der 44.
i(x)=(2x1)8x2(4x21)(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{(2x-1)\cdot 8 x-2\cdot(4x^2-1)}{(2x-1)^2}
Multipliziere die 8x8x und 22 jeweils in die Klammern.
i(x)=16x28x(8x22)(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{16 x^2-8 x\color{green}-(8x^2-2)}{(2x-1)^2}
Löse die Klammer auf.
i(x)=16x28x8x2+2(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{16 x^2-8 x-8x^2+2}{(2x-1)^2}
Fasse 16x216 x^2 und 8x2-8x^2 weiter zusammen.
i(x)=8x28x+2(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{8 x^2-8 x+2}{(2x-1)^2}
i(x)=2(4x24x+1)(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{2\cdot (4 x^2-4 x+1)}{(2x-1)^2}
Klammere im Zähler eine 22 aus.
Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.
Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die 22 vollständig kürzen.
k(x)=2(4x24x+1)(2x1)2k'(x)=\dfrac{2\cdot (4 x^2-4 x+1)}{(2x-1)^2}
i(x)=2(2x1)2(2x1)2\phantom{i'(x)}=\dfrac{2\cdot (2x-1)^2}{(2x-1)^2}
i(x)=21\phantom{i'(x)}=2\cdot 1
i(x)=2\phantom{i'(x)}=2
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen k(x)=2k'(x)=2 ist.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
l(v)=tan(v)sin(v)+cos(v)l(v)=\tan(v)\cdot \sin(v)+\cos(v)
Tipp: Du kannst diese Funktion entweder mithilfe der Produktregel und Summenregel ableiten, oder sie zuerst mithilfe der Beziehungen zwischen Tangens, Sinus und Kosinus.

Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.
l(v)=1cos2(v)sin(v)+tan(v)cos(v)sin(v)l'(v)=\dfrac{1}{\cos^2(v)}\cdot\sin(v)+\tan(v)\cdot\cos(v)-\sin(v)
Multipliziere sin(v)\sin(v) in den Zähler des Bruchs und forme tan(v)\tan(v) um.
k(x)=sin(v)cos2(v)+sin(v)cos(v)cos(v)sin(v)\phantom{k'(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos^2(v)}+\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}\cdot\cos(v)-\sin(v)
Kürze cos(v)\cos(v) und schreibe sin(v)cos(v)\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} als tan(v)\tan(v).
k(x)=tan(v)cos(v)+sin(v)sin(v)\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}+\sin(v)-\sin(v)
k(x)=tan(v)cos(v)\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}
Verrechne beide sin(v)\sin(v).

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.
l(v)=tan(v)sin(v)+cos(v)l(v)=\tan(v)\cdot \sin(v)+\cos(v)
Schreibe tan(v)\tan(v) als sin(v)cos(v)\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.
k(x)=sin(v)cos(v)sin(v)+cos(v)\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}\cdot \sin(v)+\cos(v)
Multipliziere sin(v)\sin(v) in den Zähler des Bruchs.
k(x)=sin2(v)cos(v)+cos(v)\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)}{\cos(v)}+\cos(v)
Bringe cos(v)\cos(v) auf den selben Nenner.
k(x)=sin2(v)cos(v)+cos2(v)cos(v)\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)}{\cos(v)}+\dfrac{\cos^2(v)}{\cos(v)}
k(x)=sin2(v)+cos2(v)cos(v)\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)+\cos^2(v)}{\cos(v)}
k(x)=1cos(v)\phantom{k(x)}=\dfrac{1}{\cos(v)}
Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.
l(x)=cos(v)0(sin(v))1cos2(v)l'(x)=\dfrac{\cos(v)\cdot0-(-\sin(v))\cdot1}{\cos^2(v)}
Fasse den Zähler noch weiter zusammen.
k(x)=sin(v)cos2(v)\phantom{k'(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos^2(v)}
k(x)=tan(v)cos(v)\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}
Schreibe sin(v)cos(v)\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} als tan(v)\tan(v).
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen l(v)=tan(v)cos(v)l'(v)=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)} ist.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Gegeben sind die Funktionen %%f(x)=\frac{1}{x}%% und %%g(x)=\sqrt{2 x+1}%%.

Leite f(x)f(x) auf zwei verschiedene Arten ab.

Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von f(x)f(x) zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.
%%\begin{align} f'(x) &= \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1}{x^2} \\&=-\frac{1}{x^2} \end{align}%%
Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
f(x)=1x=x1f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\&= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Beide Varianten liefern das Endergebnis x2-x^{-2} bzw. 1x2-\frac{1}{x^2}.
Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von g(x)g(x) bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.
g(x)=(2x+1)g'(x) = (\sqrt{2x+1})'
Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.
g(x)=((2x+1)12)\phantom{g'(x)} = ((2x+1)^{\frac{1}{2}})'
g(x)=12(2x+1)122\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{2} \cdot (2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2
Kürze mit 2.
g(x)=(2x+1)12\phantom{g'(x)}=(2x+1)^{-\frac{1}{2}}
Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.
g(x)=1(2x+1)12\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}
Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.
g(x)=12x+1\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}

Die gesuchte Funktion ist also g(x)=12x+1g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen f(x)f(x) und g(x)g(x).
Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen f(x)f(x) und g(x)g(x) zu erhalten, musst du g(x)g(x) in f(x)f(x) einsetzen.
(fg)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=12x+1(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{2 x+1}) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}
Die andere Komposition der Funktionen f(x)f(x) und g(x)g(x) erhältst du, wenn du f(x)f(x) in g(x)g(x) einsetzt.
(gf)(x)=g(f(x))=g(1x)=21x+1(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\dfrac{1}x \right) = \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{x}+1}

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: 12x+121x+1\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \neq \sqrt{2\cdot\frac{1}{x}+1}.
Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!
Leite die Kompositionen aus Teilaufgabe c) ab.
f(g(x))=12x+1f(g(x))=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} und g(f(x))=2x+1g(f(x))=\sqrt{\dfrac{2}{x}+1}
Tipp: Nutze für f(g(x))f(g(x)) zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für g(f(x))g(f(x)) erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.
Teil 1
Wende die Quotientenregel auf 12x+1\frac{1}{\sqrt{2x+1}} und dabei die Kettenregel auf 2x+1\sqrt{2x+1} an, um die Ableitung zu bestimmen.
f(g(x))=2x+10112(2x+1)1222x+1f(g(x))'= \dfrac{\sqrt{2x+1}\cdot0-1\cdot\frac12\cdot (2x+1)^{-\frac12}\cdot2}{2x+1}
Vereinfache nun den Zähler.
f(g(x))=(2x+1)122x+1\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-(2x+1)^{-\frac12}}{2x+1}
Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um (2x+1)(2x+1) in den Nenner zu schreiben.
f(g(x))=1(2x+1)(2x+1)12\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)(2x+1)^{\frac{1}{2}}}
Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.
f(g(x))=1(2x+1)1+12\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)^{1+\frac{1}{2}}}
Addiere 11 und 12\frac{1}{2} im Exponenten.
f(g(x))=1(2x+1)32\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}

Teil 2
Wende hier die Kettenregel auf 2x+1\sqrt{\frac{2}{x}+1} und dabei die Quotientenregel auf 2x\frac{2}{x} an, um die Ableitung zu bestimmen.
g(f(x))=12(2x+1)12(2x2)g(f(x))'=\dfrac{1}{\color{#FF6600} {2}}\cdot \left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{\color{#FF6600} {2}}{x^2}\right)
Kürze die 2\color{#FF6600} {2}.
g(f(x))=(2x+1)12(1x2)\phantom{g(f(x))'}=\left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)
Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um (2x+1)\left(\dfrac{2}{x}+1\right) in den Nenner zu schreiben.
g(f(x))=1(2x+1)12(1x2)\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{(\frac{2}{x}+1)^{\frac{1}{2}}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)
Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.
g(f(x))=12x+1(1x2)\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)
g(f(x))=12x+1x2\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}
Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.
Die gesuchten Funktionen sind g(f(x))=12x+1x2g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2} und f(g(x))=1(2x+1)32f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
Leite die Kompositionen aus Teilaufgabe c) ohne Anwendung der Quotientenregel ab.
Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1
Um die Ableitung von f(g(x))f(g(x)) zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.
f(g(x))=f(g(x))g(x)f(g(x))'= f'(g(x)) \cdot g'(x)
Setze f(x)f'(x) und g(x)g'(x) ein.
f(g(x))=1(g(x))212x+1\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(g(x))^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}
Setze g(x)g(x) ein.
f(g(x))=1(2x+1)212x+1\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(\sqrt{2x+1})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}
Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.
f(g(x))=1(2x+1)2x+1\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(2x+1) \cdot \sqrt{2x+1}}
Verwende die Potenzgesetze.
f(g(x))=1(2x+1)32\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}


Teil 2

Um die Ableitung von g(f(x))g(f(x)) zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.
g(f(x))=g(f(x))f(x)g(f(x))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)
Setze g(x)g'(x) und f(x)f'(x) ein.
g(f(x))=12f(x)+1(1x2)\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot f(x)+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)
Setze f(x)f(x) ein.
g(f(x))=12x+1(1x2)\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)
Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.
g(f(x))=12x+1x2\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}
Die gesuchten Funktionen sind also g(f(x))=12x+1x2g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2} und f(g(x))=1(2x+1)32f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}
Einigen Schülerinnen und Schülern sind hier Fehler unterlaufen. Finde den Fehler!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quotientenregel

Tipp: Achte auf die Vorzeichen!
Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.
 g(x)=(cos(x)sin(x))cos(x)(sin(x))(sin(x)+cos(x))(cos(x))2\ g'(x)= \displaystyle\frac{(\cos(x)-\sin(x))\cos(x)\color{#cc0000}{-}(\color{#cc0000}{-}\sin(x))(\sin(x)+\cos(x))}{(\cos(x))^2}
g(x)=(cos(x)sin(x))cos(x)+sin(x)(sin(x)+cos(x))(cos(x))2\phantom{g'(x)}=\displaystyle\frac{(\cos(x)-\sin(x))\cos(x)\color{#cc0000}{+}\sin(x)(\sin(x)+\cos(x))}{(\cos(x))^2}
Multipliziere den Zähler aus und vereinfache.
g(x)=(cos(x))2+(sin(x))2(cos(x))2\phantom{g'(x)}=\displaystyle\frac{(\cos(x))^2+(\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}
g(x)=1(cos(x))2\phantom{g'(x)}=\displaystyle\frac{1}{(\cos(x))^2}

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Der Fehler hat sich bei Mimi bei der Ableitung des Kosinus eingeschlichen, indem sie das Minus vergessen hat. Im richtigen Lösungsweg siehst du, dass das Minus aus der Anwendung der Quotientenregel und das Minus von der Ableitung des Kosinus zu einem Plus zusammengefasst werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quotientenregel

Wende die Quotientenregel und die Kettenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.
h(x)=2(14x7)42x4(14x7)314((14x7)4)2\displaystyle h'(x)= \frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7)^4-2x\cdot 4\cdot (\frac{1}{4}x-7)^3\cdot \color{#cc0000}{\frac{1}{4}}}{((\frac{1}{4}x-7)^4)^2}
h(x)=2(14x7)42x(14x7)3(14x7)8\phantom{h'(x)} \displaystyle = \frac{2 \cdot (\frac{1}{4}x-7)^4-2x \cdot (\frac{1}{4}x-7)^3}{(\frac{1}{4}x-7)^8}
h(x)=2(14x7)2x(14x7)5\phantom{h'(x)} \displaystyle = \frac{2 \cdot (\frac {1}{4}x-7)-2x}{(\frac{1}{4}x-7)^5}
h(x)=1,5x14(14x7)5\phantom{h'(x)} \displaystyle = \frac{-1,5x-14}{(\frac{1}{4}x-7)^5}
Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Bei der Anwendung der Kettenregel hat Einstein das Nachdifferenzieren bei der Ableitung des Nenners vergessen. Berücksichtigt man dies, so erhält man durch das Nachdifferenzieren im Zähler den Faktor 14\color{#cc0000}{\frac{1}{4}}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quetientenregel

Merkregel: In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.
l(x)=4x(8x2)8(2x28)(8x2)2\displaystyle l'(x)=\frac{4x\cdot (8x-2)\color{#cc0000}{-}8\cdot (2x^2-8)}{(8x-2)^2}
l(x)=32x28x16x2+64(8x2)2\phantom{l'(x)} \displaystyle =\frac{32x^2-8x-16x^2+64}{(8x-2)^2}
l(x)=16x28x+64(8x2)2\phantom{l'(x)} \displaystyle=\frac{16x^2-8x+64}{(8x-2)^2}
Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Fiffi hat in ihrer Lösung aus einer Differenz gekürzt und somit die Merkregel nicht beachtet.
Welche der angegebenen Ableitungen gehören zu der jeweiligen Funktion?
f(x)=23x\displaystyle f(x)=\frac{2}{3x}
f(x)=23x2\displaystyle f'(x)= -\frac{2}{3x^2}
f(x)=23x2\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{3}x^{-2}
f(x)=23x2\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3x^2}
f(x)=23x2\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{3}x^2