Aufgaben

Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, das Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.

Geplant ist ein Austellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.

Die Bahnstrecke soll dabei so geführt werden, dass die Besucher während der Fahrt einen möglichst guten Einblick in die interessierende Gesteinsschicht bekommen.

Skizze: Berg mit waagr. Gesteinsschicht, Bahnverlauf, Ausstellungsraum

Skizze nicht maßstäblich

Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht.
Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.

Wählt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als %%x%%-Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg %%x=0%%, so wird der Höhenverlauf der Strecke für %%0\le x\le 500%% angenähert beschrieben durch die Funktion %%f%% mit

%%f:x\mapsto y=-2,5\cdot 10^{-7}\cdot x^3+ 2,5\cdot 10^{-4} \cdot x^2-0,0625\cdot x+1,55%%

wobei %%x%% und %%y%% in Metern gemessen werden.

  1. Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt %%A(0|1.55)%% in den Berg einfährt.

  2. Bestimme rechnerisch die Stelle %%x_0%%, an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma.
    Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist?
    (Teilergebnis: %%x_0\approx 166,67%%)

  3. Im Endpunkt %%E(500|f(500))%% fährt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begründe durch eine geeignete Rechnung, dass der Übergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.

  4. Welche mittlere Steigung überwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt %%E%%?
    An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie diese mittlere Steigung?

  5. Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und %%E%% maximal bewältigen?

ZU DIESER AUFGABE EXISTIERT LEIDER NOCH KEINE SERLO-LÖSUNG bzw. Lösung in Arbeit

Teilaufgabe 1

Lösungsplan

  1. Steigung bei %%x_0=0%% mithilfe der Ableitung ausrechnen.
  2. Steigungswinkel über die Formel %%m= \tan(\alpha)%% berechnen.

Ableitung berechnen

%%f'(x)=-7,5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0,0625%%

Neigungswinkel berechnen

%%m = \tan (\alpha)%%
%%m=f'(x_0)%%
%%x_0 = 0%%
%%f’(0) = -0,0625%%
%%\alpha=\tan^{-1}(-0,0625)\approx -3,5763°%%

%%\rightarrow%% Der Neigungswinkel beträgt näherungsweise %%3,58°%%. Die Bahn fährt also mit einem Winkel von %%3,58°%% nach unten.

Teilaufgabe 2

Lösungsplan

  1. Nullstellen der Ableitung berechnen.
  2. Monotonie bestimmen.
  3. Minimum der Funktion berechnen.
  4. Punkt unter der Gesteinssschicht berechnen.

Nullstellen der Ableitung

%%f'(x)=-7,5\cdot10^{-7} \cdot x^2 + 2,5 \cdot 10^{-4} \cdot x - 0,0625%%
%%f'(x) = 0%%
%%-7,5\cdot10^{-7} \cdot x^2 + 2,5 \cdot 10^{-4} \cdot x - 0,0625= 0%%

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel

%%x_{1/2}=\dfrac{-5\cdot10^{-4}\pm\sqrt{(5\cdot10^{-4})^2-4\cdot(-7,5\cdot10^{-7})\cdot(-0,0625)}}{2\cdot(-7,5\cdot10^{-7})}%%

%%x_{1}=\frac{500}{3}%%
%%x_{2}=500%%

Monotonie bestimmen

Setze Werte unter %%\frac{500}{3}%%, zwischen %%\frac{500}{3}%% und %%500%% und Werte über %%500%% in die Ableitung ein.
Prüfe welche Vorzeichen sich für die Funktion ergeben. Wenn die Ableitung ein negatives Vorzeichen hat, fällt die Funktion. Wenn die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. So ergibt sich %%\frac{500}{3}%% als Minimum und %%500%% als Maximum.

Minimum der Funktion berechnen

%%f(\dfrac{500}{3}) = -2,5 \cdot 10^{-7} \cdot (\frac{500}{3})^3+2,5 \cdot 10^{-4} \cdot (\frac{500}{3})^2 - 0,0625 \cdot \frac{500}{3}= - \frac{1663}{540}%%
Daraus ergibt sich die Stelle %%x_{0}%% am Punkt %%P (\frac{500}{3}/-\frac{1663}{540})%%

Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen

Die Gesteinsschicht beträgt 80cm. Wir ziehen also von den %%1663%%m unter der x-Achse - also der oberen Gesteinsschicht - noch %%0,8%%m ab.

%%\frac{1663}{540}-0,8=\frac{1231}{540}\approx 2,28%%

Antwort: Der Punkt liegt ca. 2,28m unter der Gesteinsschicht.

Eine Schaustellerfamilie ist seit Jahrzehnten mit ihrer Achterbahn auf Volksfesten vertreten. Nun bestellt sie bei einem Hersteller ein neues Modell.

Sie erhält für den Aufstiegsteil der Bahn das abgebildete (nicht maßstabsgetreue) Angebot.

Der zahnradbetriebene Aufstiegsteil dem die Mittelpunkte der Wagenräder folgen, beginnt demnach nach einer kurzen horizontalen Fahrt ohne Knick im Punkt %%A%% und verläuft von da an nach der Funktion

%%f(x)=-0,1x(x^2-15)+\sqrt{5}%%

%%1\,LE=10\,m%%

bis zum höchsten Achterbahnpunkt %%B%%, ab dem sich (wieder ohne Knick) eine kurze horizontale Strecke bis zur ersten Abfahrt anschließt.

Im Familienkreis wird über das Angebot beraten.

Achterbahn Angebot

Der Seniorchef legt Wert darauf, dass die bisherige Achterbahnhöhe von 40 m von der neuen Bahn deutlich übertroffen wird.

Sagt ihm das Angebot zu?

In dieser Aufgabe musst du das Extremum einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen.

Dass die Bahn in den Punkten A und B "ohne Knick" verläuft, bedeutet, dass gelten muss:

%%f'(x_A)=f'(x_B)=0%%

%%f(x)=-0,1x(x^2-15)+\sqrt{5}%%

Am besten: x in die Klammer hineinmultiplizieren.

%%f(x)=-0,1(x^3-15x)+\sqrt{5}%%

Die 1. Ableitung %%f'(x)%% bilden.

%%f'(x)=-0,1(3x^2-15)%%

%%f'(x)%% Null setzen.

%%\begin{align}-0,1(3x^2-15)&=0\\ 3x^2-15&=0\\ x^2&=0\\ x_A&=-\sqrt{5}\\ x_B&=+\sqrt{5}\end{align}%%

Zeige, dass die 2. Ableitung für %%x_A%% und %%x_B%% von 0 verschieden ist.

%%f''(x)=-0,6x%%

Setze %%x_A%% und %%x_B%% ein.

%%f''(-\sqrt{5})\gt0%% und %%f''(+\sqrt{5})\lt0%%

Damit ist %%A%% lokales Minimum und %%B%% lokales Maximum der Funktion f.

Es gilt:

%%f(-\sqrt{5})=-0,1\cdot(-\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0\;\;LE%%

%%f(+\sqrt{5})=-0,1(+\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\approx4,47\;\;\;LE%%

%%B%% ist also der höchste Punkt des Aufstiegsteils der Bahn.

Für das Verhältnis %%Rechnung:Wirklichkeit%% gilt %%1\,LE:10\,m%%.

Die neue Achterbahn übertrifft demnach die alte Bahn mit einer Höhe von etwa 44,70 m deutlich.

Der Juniorchef ist als Ingenieur für die Sicherheit und den Energiebedarf der Bahn zuständig.

Er möchte, dass die mittlere Steigung der Aufstiegsstrecke, die für den Energiebedarf der Bahn maßgeblich ist, den Wert 1 nicht übersteigt.

Außerdem möchte er wissen, in welchen Punkten der Aufstiegsstrecke die lokale Steigung gleich der mittleren Steigung ist.

Berechne die jeweiligen Werte.

Zur Lösung musst du wissen, wie man Geradensteigungen berechnet.

Die mittlere Steigung im Aufstiegsteil der Bahn ist die Steigung %%m_{[AB]}%% der Strecke %%[AB]%%.

Es gilt:

%%\displaystyle m_{[AB]}=\frac{f(x_b)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\frac{2\sqrt{5}-0}{2\sqrt{5}}=1%%

Die Steigung 1 ist der Tangens des Steigungswinkels %%\alpha%%.

%%tan\;\alpha=1%%

%%\alpha=tan^{-1}(1)=45°%%

Der mittlere Steigungswinkel der neuen Achterbahn beträgt 45°.

Die mittlere Steigung des Aufstiegsteils der neuen Bahn entspricht mit dem Wert 1 bzw. dem Steigungswinkel 45° den Erwartungen des Juniorchefs.

So berechnet man die Punkte der Aufstiegsfunktion %%f%% in denen die lokale Steigung gleich der berechneten mittleren Steigung ist:

Setze %%f'(x)=1%% und löse die Gleichung nach x auf.

%%\begin{align}-0,3(x^2-5)&=1\\ x^2-5&=-\frac{10}{3}\\ x^2&=\frac{5}{3}\\x_{1,2}&=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\approx\pm1,30\end{align}%%

Einsetzen der Werte in f(x).

%%\displaystyle f(-\sqrt{\frac{5}{3}})=-0,1\cdot(-\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx0,51%%

%%\displaystyle f(+\sqrt{\frac{5}{3}})=-0,1\cdot(+\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx3,96%%

Die beiden gesuchten Punkte sind:

%%P_1(-1,30\,; 0,51)%% und %%P_2(+1.30\,; 3,96)%%

Aus Sicherheitsgründen für die Passagiere liegt ihm auch daran, dass im steilsten Punkt des Aufstiegs der lokale Steigungswinkel kleiner als 60° ist.

Hat er einen Einwand?

In dieser Aufgabe musst du die Steigung im Wendepunkt einer Funktion berechnen.

Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen sind Stellen mit lokal größtem Steigungsbetrag.

f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat als solche genau einen Wendepunkt.

Zu berechnen ist also die Steigung im Wendpunkt der Funktion f-

%%f(x)= -0,1x(x^2-15x) + \sqrt{5}%%

%%f'(x)=-0,1(3x^2-15)%%

%%f''(x)=-0,6x%%

Setze die 2. Ableitung 0.

%%\begin{align}-0,6x&=0\;\;|\;:\,-0,6\\ x&=0 \end{align}%%

Berechne die Steigung für x = 0.

%%f'(0)=-0,1\cdot(3\cdot0-15)=1,5%%

Die Steigung ist der Tangens des Neigungswinkels

%%tan\,\alpha=1,5\Rightarrow\alpha=tan^{-1}(1,5)=56,3°%%

Ergebnis:

Im steilsten Punkt des Anstiegs ist der Neigungswinkel kleiner als 60°. Der Juniorchef hat auch in dieser Hinsicht keine Einwände gegen die neue Bahn.

Vertiefung der Aufgabenstellung

Eine Wagensteigung ist die durch den Abstand der Vorder- und Hinterachse bedingte mittlere Steigung des Wagens an einer bestimmten Stelle der Bahn.

Im nachfolgenden Applet kann man die Wagensteigungen während der Auffahrt verfolgen und ablesen. Ziehe dazu den vorderen Wagen am Punkt A.

Was auffällt: Die Wagensteigung erreicht - als mittlerer Steigungswert - an keiner Stelle den maximalen lokalen Steigungswert 1,5.

Bei einem angenommenen Achsenabstand von 1 LE ist die größte Wagensteigung während der Auffahrt mit 1,492 kleiner als 1,5. Prüfe dies am Applet oder auch rechnerisch nach.

Außerdem möchte er sichergehen, dass der Neigungswinkel %%\varphi%% zwischen zwei knapp hintereinander gekoppelten Wagen kleiner als 25° ist, damit sich die Aufbauten der Wagen nicht berühren.

Er berechnet diesen Winkel für die Situation, bei der sich die Vorderachse des ersten Wagens am Punkt %%P(-1,5;f(-1,5))%% und die Hinterachse am Punkt %%A(-\sqrt{5};0)%% befindet.

Wie groß ist dieser Winkel?

Achterbahn Neigunswinkel

In dieser Aufgabe musst du Winkel im Dreieck berechnen.

Für den mittleren Steigungswinkel %%\alpha%% eines Achterbahnwagens und dem Neigungswinkel %%\varphi%% der Aufbauten der hier einander folgenden Wagen gilt: %%\alpha=\varphi%%.

Nachweis:

%%\begin{align}\alpha+90°+(90°-\varphi)&=180°\\ \alpha-\varphi+180°&=180°\\ \alpha&=\varphi\end{align} %%

Für die mittlere Steigung %%m%% des führenden Wagens gilt bei der Funktion

%%f(x)=-0,1x(x^2-15)+\sqrt{5}%%

und den Punkten %%A(-\sqrt{5};0)%% und %%P(-1,5;f(-1,5))%%

%%\displaystyle m\approx\frac{0,32-0}{-1,5+\sqrt{5}}\approx0,44%%

Somit: %%\;\;\;tan\;\alpha\approx0,44%%

und %%\;\;\;\;\;\;\alpha\approx23,7°%%

Die Enkelin des Seniorchefs ist als Marketingleiterin von der Idee der Herstellerfirma begeistert, unter die Aufstiegsstrecke von %%A%% bis %%B%% ein Werbebanner zu spannen.

Dessen Kosten veranschlagt der Hersteller mit 3000.-€ für die Befestigung und 8,50€ pro Quadratmeter für die Materialkosten. Die Familie ist allerdings nicht bereit, mehr als 10000.-€ für das Banner auszugeben.

Wird das Banner bestellt?

Hier musst du eine Flächenberechnung mit Hilfe eines bestimmten Integrals durchführen.

Gegeben ist die Funktion

%%f(x)=-0,1x(x^2-15)+\sqrt{5}%%

mit den Punkten %%A(-\sqrt{5};0)%% und %%B(\sqrt{5};f(\sqrt{5}))%%.

Für die Bannerfläche %%F_{Banner}%% gilt dann:

%%\displaystyle F_{Banner}=\int_{-\sqrt{5}}^\sqrt{5}f(x)\mathrm{d}x%%

Berechne das bestimmte Integral.

%%\displaystyle F_{Banner}=\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}(-0,1x(x^2-15)+\sqrt{5})\mathrm{d}x%%

Funktionsterm umformen

%%\displaystyle\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\left(-0,1x^3 +1,5x+\sqrt{5}\right)\mathrm{d}x %%

Integral mit Stammfunktion berechnen

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\displaystyle\left[-\frac{1}{40}x^4+0,75x^2+\sqrt{5}x\right]_{-\sqrt{5}}^\sqrt{5}%%

obere und untere Grenze einsetzen

%%\displaystyle\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;=\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}+5\right)-\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}-5\right)=10%%

Da für den gezeichneten Funktionsgraphen gilt %%1\,LE=10\,m%%, ergibt sich für die Flächeneinheit %%1\,FE=100\,m^2.%%

Die Fläche des angebotenen Werbebanners beträgt demnach %%1000\,m^2%%.

Ergebnis:

Die Gesamtkosten des Angebots für das Werbebanner betragen somit:

8500.- € (Materialkosten) + 3000.- € (Anbringung) = 11500.- €

Das Angebot wird abgelehnt.

Die Urenkelin des Seniorchefs ist Abiturientin und empfiehlt der Familie eine bescheidenere Vegrößerung der Bahn.

Sie rät, eine Aufstiegsfunktion der Form

%%\;\;\;\;g(x)= ax^3+bx^2+cx + d\;;\;\;\;1\,LE=10\,m%%

so zu wählen, dass sich %%A(-1;0)%% als Startpunkt des Aufstiegsteils der Bahn und die größte lokale Steigung im Punkt %%P(1;g(1))%% mit einem Steigungswinkel von 45° ergibt.

Die Berechnung von g(x) bereitet ihr keine Probleme.

Welche Höhe hätte die neue Achterbahn nach ihrem Vorschlag?

Hier musst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades der Form

%%\displaystyle g(x)=\color{red}{a}x^3+\color{red}{b}x^2+\color{red}{c}x+\color{red}{d}%%.

Zur Berechnung der vier unbekannten Parameter %%a,b,c%% und %%d%% benötigt man vier Gleichungen, die man aus den gegebenen Angaben entnimmt.

Man benötigt also ein Gleichungssystem von vier Gleichungen mit vier Gleichungen.

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Textangabe%%

zugehörige Gleichung

%%A(-1;0)%% ist gegebener Punkt von %%g%%.

%%g(-1)=0%%

%%A%% ist der Startpunkt der Steigungsstrecke.

%%g'(-1)=0%%

In %%P(1;g(1))%% beträgt die Steigung 1.

%%g'(1)=tan\;45°=1%%

Als Punkt mit dem größten Steigungsbetrag ist %%P%% der Wendepunkt des Funktionsgraphen.

%%g''(1)=0%%

Stelle die vier Gleichungen mit den zugehörigen Funktionstermen zu einem Gleichungssystem zusammen und löse dieses.

%%\begin{align}\,\,g(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ \,g'(x)&=3ax^2+2bx+c\\ g''(x)&=6ax+2b\end{align}%%

%%\begin{array}{r|rcrcrcrcr} \mathrm{I}&-a&+&b&-&c&+&d&=&0\\ \mathrm{ II}&3a&-&2b&+&c&& & =&0\\ \mathrm{III}&3a&+&2b&+&c&&&=&1\\ \mathrm{IV}&6a&+&2b&&&&&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{r|rccc} \mathrm{II-III}&-4b&=&-1\;\;\:\;|:-4\\ &\color{red}{b}&\color{red}{=}\color{red}{\frac14}\end{array}%%

%%b=\frac14%% in %%\mathrm{I,II,III\;\text{und}\;IV}%% einsetzen

%%\begin{array}{r|ccccccr} \mathrm{I'}&-a&-&c&+&d&=&-\frac14\\ \mathrm{II'}&3a&+&c&&&=&\frac12\\ \mathrm{III'}&3a&+&c&&&=&\frac12\\ \mathrm{IV'}&6a&+&\frac12&&&=&0\Rightarrow\\ &&&&&\color{red}{a}&\color{red}{=}&\color{red}{-\frac{1}{12}}\end{array}%%

%%a=-\frac{1}{12} \;\text{in}\;II'\; \text{oder III'} \;\text{einsetzen}%%

%%\hphantom{IV'6a+1+x+y}3\cdot(-\frac{1}{12})+c=\frac{1}{2}\;\;|+\frac14%%

%%\hphantom{IV'6a+1+x+y+x+x+x}\color{red}{c=\frac34}%%

%%a, b, c%% in %%I%% einsetzen

%%\displaystyle\hphantom{IV'6a+x+x}\frac{1}{12}+\frac14-\frac34+d=0%%

%%\hphantom{IV'6a+x+y+x+x+x+x\,}\color{red}{d=\frac{5}{12}}%%

Die von der Urenkelin vorgeschlagene Funktion %%g%% lautet somit:

%%\displaystyle g(x)=-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4} x+\frac{5}{12}%%

Die Aufstiegshöhe der Bahn ergibt sich als Funktionswert des Punktes %%B(x;g(x))%% mit %%g'(x)=0%%.

%%\displaystyle g'(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac34%%

%%\displaystyle -\frac14x^2+\frac12x+\frac34=0\;\;\;|\cdot(-4)%%

%%\displaystyle x^2+2x+3=0%%

z.B. Mitternachtsformel anwenden oder Zerlegung in Linearfaktoren.

%%\displaystyle (x+1)(x-3)=0%%

%%\displaystyle x_1=-1 \;\text{liefert den Startpunkt}\;A(-1;0).%%.

%%\displaystyle x_2=3%% liefert den höchsten Punkt %%B(3;g(3))%% der Bahn mit %%g(3))=\frac83\;LE%%.

Ergebnis:

Wegen %%1\,LE=10\,m%% erreicht die von der Urenkelin vorgeschlagene Achterbahn eine Höhe von rund %%26,7\,m%%.

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