In diesem Kurs lernst du, wie du vorgehen kannst, um den Definitionsbereich ausgewählter Funktionen bestimmen zu können.

Das solltest du bereits können

• Gleichungen und Ungleichungen umformen

• Nullstellen berechnen

• Grundkenntnisse über die verschiedenen Funktionstypen

Kursdauer

ca. 2 Stunden

$\mathbb{D}\backslash mathbb\; D$ bestimmst du, indem du untersucht, ob einzelne Teile des Funktionsterms für bestimmte Zahlenbereiche nicht definiert sind, also ob es Zahlen gibt, die du nicht in die Funktion einsetzen darfst. Zahlen aus diesen Bereichen musst du aus der Definitionsmenge herausnehmen.

Ausdrücke, die nicht auf ganz $\mathrm{R}ℝ$ definiert sind, können z. B. sein:

• Brüche (sind nur definiert, wenn der Nenner ungleich Null ist)

• Wurzeln (sind nur für Zahlen größer gleich Null definiert)

• Logarithmen (sind nur für positive Zahlen definiert)

Die Menge $\mathbb{D}\backslash mathbb\; D$ hängt von der Funktion ab, die du betrachtest. Auf den folgenden Kursseiten werden dir die unterschiedlichen Typen von Funktionen vorgestellt und ihre Definitionsmengen betrachtet.

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_{0}f(x)=a\_n\backslash cdot\; x^n+a\_\{n-1\}\backslash cdot\; x^\{n-1\}+\dots +\{a\_2\}\backslash cdot\; x^\{2\}+\{a\_1\}\backslash cdot\; x+\{a\_0\}$ mit $a_{i}a\_i$ aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$ und $n\in \mathbb{N}n\backslash in\backslash mathbb\; N$.

Zum Beispiel: $f(x)=3x^4-2x^3+4x-5f(x)=3x^4-2x^3+4x-5$.

Der Defintionsbereich von Polynomfunktionen ist, falls nicht anders angegeben, ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$. Das heißt man darf alle Zahlen ohne Ausnahme einsetzen, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R$.

Warum? Man kann beim Einsetzen von bestimmten Werten in eine ganzrationale Funktion keine mathematischen Gesetze verletzen, da keine Bruchterme, Wurzeln und Logarithmen vorkommen.

Beispiele

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac\{p\backslash left(x\backslash right)\}\{q\backslash left(x\backslash right)\}$, wobei sowohl $p(x)p(x)$ als auch $q(x)q(x)$ Polynome sind.

Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\; R$ ausschließen, für die gilt: Der Nenner $q(x)=0q(x)=0$.

Beispiel

Die Nullstellen sind gegeben durch: $x_1=0x\_1=0$, $x_2=2x\_2=2$ und $x_3=-2x\_3\; =-2$.

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{-2;0;2\}\backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R\backslash backslash\backslash \{-2;\; 0;\; 2\backslash \}$.

Gib für folgende Funktionen den Definitionsbereich an.

a)

b)

c)

d)

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht, also $f(x)=\sqrt[n]{x^m}f(x)=\backslash sqrt[n]\; \{x^m\}$. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form $f(x)=x^{n}f(x)=x^n$ mit $n\in \mathbb{N}n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ .

Bemerkung: $f(x)=\sqrt{2}\cdot xf(x)=\; \backslash sqrt2\backslash cdot\; x$ ist keine Wurzelfunktion, da keine Variable (hier: $xx$) unter der Wurzel steht.

Man muss darauf achten, dass unter geraden Wurzeln kein negativer Wert als Radikand (Term unter der Wurzel) steht.

Beispiel

$\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus ]-2;2[\backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\{D\}=\; \backslash mathbb\{R\}\backslash setminus]-2;2[$

Gib für folgende Funktionen den Definitionsbereich an.

a)

b)

c)

d)

Eine Exponentialfunktion hat den Funktionsterm $f(x)=b\cdot a^{x}f(x)=b\backslash cdot\; a^x$. Dabei ist $a>0,a\mathrm{\ne }1a>0,\backslash ;a\backslash neq1$ und $b\mathrm{\ne }0b\backslash neq0$.

Der Defintionsbereich von Exponentialfunktionen ist, falls nicht anders angegeben, ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$. Das heißt man darf alle Zahlen ohne Ausnahme einsetzen, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R$.

Warum? Man kann beim Einsetzen von bestimmten Werten in eine Exponentialfunktion keine mathematischen Gesetze verletzen, da keine Bruchterme, Wurzeln und Logarithmen vorkommen.

Beispiele

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

$f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R},x\mapsto {\log }_b(x)f:\backslash mathbb\{R\}^+\backslash to\backslash mathbb\{R\},\; x\backslash mapsto\backslash log\_b(x)$, wobei $b\in {\mathbb{R}}^{+}b\backslash in\backslash mathbb\{R\}^+$ und $b\mathrm{\ne }1b\backslash neq\; 1$ gilt.

$bb$ heißt Basis des Logarithmus und $xx$ das Argument des Logarithmus.

Das Argument kann auch ein Term beliebiger Form sein.

Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument stets positiv wird.

Beispiel

Wenn $xx$ zwischen $-1-1$ und $11$ liegt, wird $x^2-1x^2-1$ kleiner oder gleich $00$. Das Intervall von $-1-1$ bis $11$ muss man also ausschließen.

$\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }[-1;1]\backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R\backslash backslash[-1;1]$

Gib für folgende Funktionen den Definitionsbereich an.

a)

b)

c)

Trigonometrische Funktionen sind Sinusfunktion $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\backslash mathrm\{sin\}(x)$, Kosinusfunktion $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)\backslash mathrm\{cos\}(x)$ und Tangensfunktion $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(x)\backslash mathrm\{tan\}(x)$.

Sinus- und Kosinusfunktion haben ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$ als Definitionsbereich.

Die Tangensfunktion ist folgendermaßen definiert: $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)}}\backslash mathrm\{tan\}(x)=\backslash displaystyle\backslash frac\{\backslash mathrm\{sin\}(x)\}\{\backslash mathrm\{cos\}(x)\}$.

Man sieht, dass man alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\; R$ ausschließen muss, für die $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)=0\backslash mathrm\{cos\}(x)=0$ wird. Dies ist für die folgende Zahlenmenge der Fall: $N=\{(2k-1){\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{\mid }k\in \mathbb{Z}\}N=\backslash left\backslash \{(2k-1)\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ;\backslash vert\; k\backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash right\backslash \}$. Vergleiche hierzu auch die Kursseite "Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3/5)".

Beispiel

$\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{2k-1\mathrm{\mid }k\in \mathbb{Z}\}\backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R\backslash backslash\backslash \{2k-1\backslash ;|k\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$.

Gib für folgende Funktionen den Definitionsbereich an.

a)

b)

c)

Der Definitionsbereich (auch Definitionsmenge genannt) ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf. Das Zeichen für diese Menge ist $\mathbb{D}\backslash mathbb\{D\}$.

Die Definitionsmenge hängt von der Funktion ab:

• Für Polynomfunktionen und Exponentialfunktionen gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash mathbb\{D\}=\backslash mathbb\{R\}$

• Bei einer gebrochenrationalen Funktion darf der Nenner nicht Null werden.Setze das Nennerpolynom $q(x)=0q(x)=0$ und schließe dessen Nullstellen aus dem Definitionsbereich aus.

• Bei Wurzelfunktionen darf der Radikand nicht negativ werden. Prüfe, wann der Radikand kleiner Null wird und schließe das Ergebnis aus der Definitionsmenge aus.

• Bei Logarithmusfunktionen muss das Argument stets positiv sein. Prüfe, wann das Argument kleiner oder gleich Null wird und schließe das Ergebnis aus dem Definitionsbereich aus.

• Für die Sinus- und Kosinusfunktion gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash mathbb\{D\}=\backslash mathbb\{R\}$.

• Bei der Tangensfunktion müssen die Nullstellen der Kosinusfunktion aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Setze dazu das Argument gleich $(2k-1){\displaystyle \frac{\pi }{2}}(2k-1)\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$ mit $k\in \mathbb{Z}k\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$ und löse nach $xx$ auf.

Einen kurze Überblick, was du beim Bestimmen des Definitionsbereichs beachten musst, findest du im Artikel Definitionsbereich bestimmen.

Gib für folgende Funktionen den Definitionsbereich an.

a)

b)

c)

d)

Die Aufgaben aus diesem Kurs und noch weitere Übungsaufgaben zum Definitionsbereich findest du hier.