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8Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (2|5)

Betrachten wir nun eine Sinusfunktion der Form f(x)=asin(g(x))f(x)=a\cdot\sin\left(g(x)\right) mit a0a\neq0, bei der das Argument g(x)g(x) eine beliebige Funktion ist.

Da a0a\neq0, brauchst du bei der Nullstellenbestimmung asin(g(x))=0a\cdot\sin(g(x))=0 also nur sin(g(x))=0\sin\left(g(x)\right)=0 zu setzen. Wir wissen, dass beim Sinus gilt: sin(kπ)=0\sin(k\cdot\pi)=0 mit kZk\in\mathbb{Z}. Somit gilt zur Nullstellenbestimmung:

sin(g(x))=sin(kπ)=0\sin\left(g(x)\right)=\sin(k\cdot\pi)=0

g(x)=kπ\Rightarrow g(x)=k\cdot\pi

Löse diese Gleichung nach xx auf, um die Nullstellen von f(x)f(x) zu erhalten.

Fazit

Um Nullstellen der Sinusfunktion zu bestimmen, muss man prüfen, wann ihr Argument ein Vielfaches von π\pi wird.

Beispiel

f(x)=14sin(3x5)=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}&f(x)=14\cdot\mathrm{sin}(3x-5)=0\end{array}

Man weiß, dass sin(kπ)=0\sin(k\cdot\pi)=0 mit kZk\in\mathbb{Z}. Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich kπk\cdot\pi und löse nach xx auf.

3x5=kπ+53x=kπ+5:3x=kπ+53\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}3x-5&=&k\cdot\pi&|+5\\3x&=&k\cdot\pi+5&|:3\\x&=&\dfrac{k\cdot\pi+5}{3}\end{array}

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

N={kπ+53    kZ}N=\left\{\dfrac{k\cdot\pi+5}{3}\;|\;k\in \mathbb Z\right\}


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