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9Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3|5)

Als Nächstes schauen wir uns den Cosinus an.

Cosinus

Für welche xRx\in\mathbb R wird f(x)=cos(x)f(x)=\mathrm{cos}(x) Null?

Am Einheitskreis kannst du erkennen, für welche x[0°;360°[  cos(x)x\in[0°;360°[\;\mathrm{cos}(x) Null wird.

  \;

Es gilt: 360°=^  2π360°\hat{=}\;2\pi, also für jedes beliebige α:        x=α360°2π\alpha:\;\;\;\;x=\displaystyle\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi .

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass x1=90°x_1=90° bzw. x1=12πx_1=\frac12\pi und x2=270°x_2=270° bzw. x2=32πx_2=\frac32\pi Nullstellen im Intervall [0°;360°[[0°;360°[ bzw. [0;2π[[0;2\pi[ sind.

Da die Cosinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen.

cosinus

Wir wissen, dass der Cosinus an ungeradzahligen Vielfachen von π2\dfrac{\pi}{2} Null wird. Es gilt also cos(kπ2)=0\cos\left(k\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=0 mit k=1,3,5,7,9,k=1{,}3,5{,}7,9,\dots. Gerade Zahlen sind ein Vielfaches von 22. Ungerade Zahlen kann man beschreiben, indem man von einer geraden Zahl 11 abzieht. Es gilt also cos((2k1)π2)=0\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0 mit kZk\in\mathbb{Z}.

Die Nullstellenmenge für f(x)=cos(x)f(x)=\cos(x) lautet somit: N={(2k1)π2  kZ}N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\} .


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