Aufgaben zur linearen Funktion

Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.

$A (5 ∣ 7)$ , $B (- 3 ∣ 8)$

$A (1 ∣ 2)$ , $B (3 ∣ 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
$A (1 ∣ 2), B (3 ∣ 4)$
Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
↓
Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $\mathrm P\left(1| 3\right)$ und $\mathrm Q\left(3|-1\right)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben sind die beiden Punkte $P(1\mid 3)$ und $Q(3\mid -1)$ .
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.
Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung:
Bestimmung der Steigung $m$
Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die Werte $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ aus den Punkten $P$ und $Q$ in die Formel ein.
$m=\frac{-1-3}{3-1}=\ \frac{-4}{2}$
Kürze den Bruch.
$m = - 2$
Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ geht folgendermaßen aussieht:
$\displaystyle y=-2\cdot x+t.$
Als nächstes ermittelst du den $y$ -Achsenabschnitt ( $t$ ).
Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$
Um $t$ zu ermitteln setzt du den $x$ - und $y$ -Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt $P$ ausgerechnet.
$3=-2\cdot 1+t$
$3 = - 2 + t$
$t = 5$
Der $y$ -Achsenabschnitt der Funktion ist $5$ . Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.
$y=-2\cdot x +5$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $\mathrm{P}\left(0|3\right)$ und $\mathrm{Q}\left(2|-3\right)$ ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung $\mathrm m$ .
$\mathrm m=\dfrac{\bigtriangleup\mathrm y}{\bigtriangleup\mathrm x}=\dfrac{{\mathrm y}_2-{\mathrm y}_1}{{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_1}$
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
$\mathrm m=\dfrac{3-(-3)}{0-2}=\dfrac 6 {-2}=-3$
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=-3\mathrm x+\mathrm t$
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
$3=-3\cdot0+\mathrm t$
$\mathrm t=3$
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+3$
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Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur gegebenen Gerade steht.
1. $y = 3 x + 2$
  $P (3 ∣ 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 3 x + 2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{3}$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $\displaystyle-\frac13$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (3 ∣ 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setze die Werte ein.
  $5=-\frac13\cdot3+b\;\;\;\left|+1\right.$
  Vereinfache und addiere $1$ .
  $6=b\Leftrightarrow b=6$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $\displaystyle h(x):y=-\frac13x+6$ .
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2. $y = 0,5 x + 1$
  $P (1 ∣ 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 0,5 x + 1$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_2=\displaystyle -\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{0{,}5}=-\frac1{\frac12}=-2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 ∣ 2)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $2=-2\cdot 1+b$ $∣ + 2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $4=b\Rightarrow b=4$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h (x) : y = - 2 x + 4$ .
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3. $y = - 5 x + 6$
  $P (- 10 ∣ 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = - 5 x + 6$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{-5}=0{,}2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $0,2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (- 10 ∣ 1)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $1=0{,}2\cdot(-10)+b$ $∣ + 2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $3=b\Rightarrow b=3$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h (x) : y = 0,2 x + 3$ .
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4. $y = 4 x + 3$
  $P (2 ∣ - 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 4 x + 3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $m_2=-\displaystyle\frac14=-0{,}25$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 0,25$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (2 ∣ - 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $-5=-0{,}25\cdot2+b$ $+ 0,5$
  Vereinfache und addiere 0,5.
  $-4{,}5=b\Rightarrow b=-4{,}5$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) : y = - 0,25 x - 4,5$ .
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5. $y=-\frac23x+2$
  $P (4 ∣ 6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=-\frac23x+3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{-\frac23}=\frac32$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $\displaystyle\frac32$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (4 ∣ 6)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $\displaystyle6=\frac32\cdot4+b$ $∣ - 6$
  Vereinfache und subtrahiere 6.
  $0=b\Rightarrow b=0$
  Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle h(x):y=\frac32x$ .
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6. $y=\frac13x-2$
  $P (2 ∣ 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $\displaystyle g(x):y=\frac13x-2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_2=\displaystyle-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $m_2=\displaystyle -\frac1{\frac13}=-3$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 3$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (2 ∣ 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $5=-3\cdot2+b$ $∣ + 6$
  Vereinfache und addiere 6.
  $11=b\Rightarrow b=11$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) : y = - 3 x + 11$ .
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Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
1. den Punkt $P (- 3 ∣ 4)$ geht und parallel ist zur $x$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $x$ -Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die $x$ -Achse, also $m = 0$ .
  $m$ und $P$ in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 4&=&0\cdot(-3)+t \\ 4&=& t \end{array}$
  Zur Geradengleichung zusammensetzen.
  $\displaystyle y=0\cdot x+4=4$
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2. den Punkt $Q (2 ∣ 5)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
  $\displaystyle \Rightarrow m = -1$
  $m$ in die Geradengleichung einsetzen und damit $t$ berechnen.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 5&=&-2+t &|+2\\ t&=&7 \end{array}$
  $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
  $\displaystyle y=-1\cdot x+7=-x+7$
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3. den Punkt $R (- 4 ∣ 2)$ geht und parallel ist zur $y$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $y$ -Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem $x$ -Wert unendlich viele $y$ -Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der $x$ -Wert von $R$ beschrieben werden.
  $\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;x=-4$
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4. den Punkt $S (2 ∣ - 3)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
  $\displaystyle \Rightarrow m=1$
  Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} -3&=&2+t &|-2\\ t&=&-5 \end{array}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\displaystyle \;\Rightarrow\;\;y=x-5$
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5. den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden $\overline{\mathrm{AB}}$ mit $A (- 72 ∣ - 60)$ und $B (- 24 ∣ - 20)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Durch den Ursprung, das heißt $y$ -Achsenabschnitt $t = 0$
  Parallel zur Geraden $\overline{\mathrm{AB}}$ , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie $\overline{\mathrm{AB}}$ .
  $\displaystyle A(-72|-60); B(-24|-20)$
  Berechne die Steigung $m$ mithilfe des Differenzenquotienten .
  $\displaystyle m =\dfrac{-20-(-60)}{-24-(-72)}=\dfrac{40}{48}=\dfrac56$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\displaystyle \Rightarrow y=\frac56x$
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Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y = - 2 x + 3,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-2x+3{,}5&|+2x\\ 2x&=&3{,}5&|:2\\x&=&1{,}75\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}75|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y=-2\cdot0+3{,}5$
  $y = 3,5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|3{,}5)$ .
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2. $y = 5 x - 7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1{,}4 \end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}4|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y=5\cdot0-7$
  $y = - 7$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 ∣ - 7)$ .
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3. $y=\frac32x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&\frac32x+2&|-2\\\frac 3 2x&=&-2&|\cdot \frac 2 3\\x&=&-\frac 43\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(-\frac{4}{3}|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y=\frac32\cdot0+2$
  $y = 2$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 ∣ 2)$ .
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4. $y=-\frac25x+\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6{,}25\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(6{,}25|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y=-\frac25\cdot0+\frac52$
  $y=\frac 5 2 = 2{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2{,}5)$ .
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5. $y=2(x-\frac23)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m \cdot x+t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y=2(x-\frac23)$
  $y=2x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&2x-\frac43&|+\frac 43\\2x&=&\frac 43&|:2\\x&=&\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( \frac23|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y=2\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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6. $y=-\frac43-\frac12x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y=-\frac43-\frac12x$
  $\phantom{y}=-\frac12x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( -\frac83|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y=-\frac12\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Gerade durch $\mathrm P\left(2{,}5 |0\right)$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Dreieck
Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig. Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).
Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: $Q_1 (0|2{,}5)$ und $Q_2 (0| -2{,}5)$ . Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.
Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für $Q_{1}$ mit der Steigung $- 1$ und eines für $Q_{2}$ mit der Steigung $1$ .
Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen $m_{1} = - 1$ und $m_{2} = 1$ auf.

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm a}_1=\frac12$ $\mathrm P\left(4|-2\right)$

${\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left( 1| -3\right)$

${\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3|-1\right)$

${\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32|4\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a_1\cdot x+t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze ${\mathrm a}_4=\frac45$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}x+t$
	↓	Setze $\mathrm P\left(\frac32\|4\right)$ in f(x) ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2}+t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot3+t$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{5}+t$	$\displaystyle -\frac{6}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 4-\frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{20}{5}-\frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 2{,}8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2{,}8$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f (x) = 0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$\displaystyle \frac{4}{5}x+2{,}8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2{,}8$
$\displaystyle \frac{4}{5}x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8$	$\displaystyle :\frac{4}{5}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8:\frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{7}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$

$\Rightarrow$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(-\frac 7 2|0)$

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist $t=2{,}8=\frac {14}{5}$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|\frac {14}{5})$ .

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

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Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P\left(2 \;|\;2\right)$ und $Q(4\;| \;5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1{,}5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1{,}5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1{,}5x-1$

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m=-\frac43$ durch den Punkt $P (- 2 ∣ - 0,5)$ auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung erstellen

Geradengleichung erstellen

$m=-\frac43$ ; $P (- 2 ∣ - 0,5)$

Setze $m$ und $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.

$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{3}\cdot\left(-2\right)+t$
	↓	$-\frac{4}{3}\cdot\left(-2\right)=\frac{\left(-4\right)\cdot\left(-2\right)}{3}=\frac{8}{3}$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+t$	$\displaystyle -\frac{8}{3}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{8}{3}$
	↓	Bringe die beiden Brüche auf denselben Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{6}-\frac{16}{6}$
	↓	Subtrahiere.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{19}{6}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -3\ \frac{1}{6}$
	↓	Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=-\frac43x-3\frac16$

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den gegebenen Punkt $P (- 2 ∣ - 0,5)$ . Einen zweiten Punkt findest du, indem du vom Punkt $P$ aus entsprechend der Steigung $m=-\frac{4}{3}$ , um $1$ nach rechts und um $\dfrac{4}{3}$ nach unten gehst. Du erhältst das $\textcolor{006400}{\text{grüne Steigungsdreieck}}$ . Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Einfacher findest du den zweiten Punkt, indem du um $3$ nach rechts und $4$ nach unten gehst. Du erhältst das $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Steigungsdreieck}}$ . (Die Steigung ist dann immer noch $m=-\frac{4}{3}$ .)

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Zeichne die Geraden $\mathrm y=3\mathrm x-2$ und $\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

$\mathrm y=3\mathrm x-2$

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

$\displaystyle 3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\frac{3}{4}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $\mathrm x_\mathrm N=\frac43$ eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

$\displaystyle 3\mathrm{x}-2$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$\displaystyle +\frac{3}{4}x\ +2$
$\displaystyle 3\mathrm{x}+\frac{3}{4}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle 3{,}75x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :3{,}75$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3{,}75}$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $x_{S}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}8-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}4-2$
$\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$

Der Schnittpunkt liegt bei $S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$ .

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Betrachte folgende Graphen.

Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\text f(x):y=m_fx+b_f$
Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $A (0 ∣ 3)$ und $B (4 ∣ 2)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
$\displaystyle m_f=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac14$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{f}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
$\text f(x):y=m_fx+b_f$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$\displaystyle 3=-\frac14\cdot0+b_f$
Vereinfache.
$3=b_f\Rightarrow b_f=3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text f(x)=-\frac14\cdot x+3$ .
$\text g(x):y=m_gx+b_g$
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $C (- 4 ∣ 0)$ und $D (0 ∣ 1)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
$\displaystyle m_g=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac14$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{g}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
$\text g(x):y=m_gx+b_g$
Setz zum Beispiel $D$ ein.
$\displaystyle 1=\frac14\cdot0+b_g$
Vereinfache.
$\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text g(x)=\frac14\cdot x+1$ .
$\text h(x):y=m_hx+b_h$
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $E (- 1 ∣ 0)$ und $A (0 ∣ 3)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
$\displaystyle m_h=\frac{y_A-y_E}{x_A-x_E}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1)}=3$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{h}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
$\text h(x):y=m_hx+b_h$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$3=3\cdot0+b_h$
Vereinfache.
$3=b_h\Rightarrow b_h=3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text h(x)=3\cdot x+3$ .
$\text i(x):y=m_ix+b_i$
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $F (0 ∣ - 3)$ und $S (6 ∣ 0)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
$\displaystyle m_i=\frac{y_S-y_F}{x_S-x_F}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac12$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{i}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
$\text i(x):y=m_ix+b_i$
Setz zum Beispiel $F$ ein.
$\displaystyle-3=\frac12\cdot0+b_i$
Vereinfache.
$-3=b_i\Rightarrow b_i=-3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text i(x)=\frac12\cdot x-3$ .
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Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.

Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen

Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt $T (x_{T} ∣ y_{T})$ von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $h (x) : y = 3 x + 3$ und $\displaystyle i(x):y=\frac12x-3$ .

$\displaystyle \displaystyle3x_T+3$	$=$	$\displaystyle \frac12x_T-3$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-3$
$\displaystyle \frac{5}{2}x_T$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :\frac{5}{2}$
$\displaystyle x_T$	$=$	$\displaystyle -\frac{12}{5}$

Setz nun $-\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung von h oder i ein, um $y_{T}$ zu bestimmen.

$h (x_{T}) : y_{T} = 3 \cdot x_{T} + 3 h(x_T):y_T=3⋅x_T+3$

Setz $x_{T}$ ein.

$\displaystyle y_T=3\cdot\left(-\frac{12}5\right)+3=-\frac{21}5$

Die Geraden h und i schneiden sich also bei $\displaystyle T\left(-\frac{12}5\left|-\frac{21}5\right.\right)$ .

Schnittpunkt $Q (x_{Q} ∣ y_{Q})$ von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $\displaystyle g(x):y=\frac14x+1$ und $\displaystyle i(x):y=\frac12x-3$ .

$\displaystyle \displaystyle\frac14x_Q+1$	$=$	$\displaystyle \frac12x_Q-3$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-1$
$\displaystyle \displaystyle -\frac14x_Q$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{4}\right)$

$\displaystyle x_Q=16$

Setz nun $16$ in die Geradengleichung von g oder i ein, um $y_{Q}$ zu bestimmen.

$\displaystyle g(x_Q):y_Q=\frac14⋅x_Q+1$

Setz $x_{Q}$ ein.

$\displaystyle y_Q=\frac14\cdot16+1=5$

Die Geraden g und i schneiden sich also bei $\displaystyle Q(16|5)$ .

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Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
Schnittpunkte kann es höchstens geben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
f und g
f und h
f und i
g und h
g und i
h und i
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Löse die folgenden Aufgaben.

Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 ∣ 3)$ und $Q (2 ∣ - 3)$ ?

Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P (1 ∣ 3)$ und $Q (3 ∣ - 1)$ auf.

Gegeben: Punkt $P (1 ∣ 3)$ und $Q (3 ∣ - 1)$
Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
x-Werte: $3 - 1 = 2$
y-Werte: $- 1 - 3 = - 4$
Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
$m=\frac{-4}{2}=-2$
Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle -2\cdot1+t$
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle -2+t$ $\displaystyle +2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 5$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
$y = - 2 x + 5$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \displaystyle\frac14x_P+1$	$=$	$\displaystyle 3x_P+3$	$\displaystyle -3x_p-1$
	↓	Subtrahiere $3 x_{P}$ und 1.
$\displaystyle \displaystyle -\frac{11}{4}x_P$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \div\left(-\frac{11}4\right)$
	↓	Dividiere durch $-\frac{11}4$ .
$\displaystyle x_p$	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{11}$

$\displaystyle \displaystyle-\frac14x_{N_f}+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle \displaystyle -\frac14x_{N_f}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\frac{1}{4}$
$\displaystyle \displaystyle x_{N_f}$	$=$	$\displaystyle 12$

$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle m\cdot2+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -6$	$=$	$\displaystyle m\cdot2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle m$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{8-7}{-3-5}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-8}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle - \frac18$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 30$	$=$	$\displaystyle \frac{75}{4}+t$	$\displaystyle -\frac{75}{4}$
	↓	Löse nach t auf.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 30-\frac{75}{4}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{45}{4}$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \mathrm{a}_1\cdot\mathrm{x}+\mathrm{t}$
	↓	Setze ${\mathrm a}_1=\frac12$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x+t$
	↓	Setze P in f(x) ein.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4+t$	$\displaystyle -2$
	↓	löse nach t auf
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -4$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :\frac{1}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{\frac{1}{2}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8$

$\displaystyle \frac{3}{4}x-3{,}75$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3{,}75$
$\displaystyle \frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle 3{,}75$	$\displaystyle :\frac{3}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}75:\frac{3}{4}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}75\cdot\frac{4}{3}$
	↓	Multiplikation
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle 2x-7$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +7$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7:2$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -2\cdot1+t$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -2+t$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 5$

Aufgaben zur linearen Funktion

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Bestimmung der Steigung mmm

Ermittlung des yyy-Achsenabschnitts ttt

Steigung

Funktionsgleichung

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse