Aufgaben zur linearen Funktion

1
Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.
1. $A (5 | 7)$ , $B (- 3 | 8)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
  $A (5 | 7), B (- 3 | 8)$
  Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
  $m$ $=$ $\frac{8 - 7}{- 3 - 5}$
  ↓
  Vereinfache Zähler und Nenner
  $m$ $=$ $\frac{1}{- 8}$
  $m$ $=$ $- \frac{1}{8}$
  Die Steigung der Geraden beträgt $m = - \frac{1}{8}$ .
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2. $A (1 | 2)$ , $B (3 | 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
  $A (1 | 2), B (3 | 4)$
  Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
  $m$ $=$ $\frac{4 - 2}{3 - 1}$
  ↓
  Vereinfache Zähler und Nenner
  $m$ $=$ $\frac{2}{2}$
  $m$ $=$ $1$
  Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben sind die beiden Punkte $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$ .
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.
Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung:
Bestimmung der Steigung $m$
Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:
$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Setze die Werte $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ aus den Punkten $P$ und $Q$ in die Formel ein.
$m = \frac{- 1 - 3}{3 - 1} = \frac{- 4}{2}$
Kürze den Bruch.
$m = - 2$
Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ geht folgendermaßen aussieht:
$y = - 2 \cdot x + t .$
Als nächstes ermittelst du den $y$ -Achsenabschnitt ( $t$ ).
Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$
Um $t$ zu ermitteln setzt du den $x$ - und $y$ -Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt $P$ ausgerechnet.
$3 = - 2 \cdot 1 + t$
$3 = - 2 + t$
$t = 5$
Der $y$ -Achsenabschnitt der Funktion ist $5$ . Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.
$y = - 2 \cdot x + 5$
3
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 | 3)$ und $Q (2 | - 3)$ ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung $m$ .
$m = \frac{△ y}{△ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
$m = \frac{3 - (- 3)}{0 - 2} = \frac{6}{- 2} = - 3$
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
$y = m \cdot x + t$
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - 3 x + t$
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
$3 = - 3 \cdot 0 + t$
$t = 3$
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
$\Rightarrow f (x) = - 3 x + 3$
4
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur gegebenen Gerade steht.
1. $y = 3 x + 2$
  $P (3 | 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 3 x + 2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{3}$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- \frac{1}{3}$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (3 | 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setze die Werte ein.
  $5 = - \frac{1}{3} \cdot 3 + b | + 1$
  Vereinfache und addiere $1$ .
  $6 = b \Leftrightarrow b = 6$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h (x) : y = - \frac{1}{3} x + 6$ .
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2. $y = 0,5 x + 1$
  $P (1 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 0,5 x + 1$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{0,5} = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 | 2)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $2 = - 2 \cdot 1 + b$ $| + 2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $4 = b \Rightarrow b = 4$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h (x) : y = - 2 x + 4$ .
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3. $y = - 5 x + 6$
  $P (- 10 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = - 5 x + 6$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{- 5} = 0,2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $0,2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (- 10 | 1)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $1 = 0,2 \cdot (- 10) + b$ $| + 2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $3 = b \Rightarrow b = 3$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h (x) : y = 0,2 x + 3$ .
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4. $y = 4 x + 3$
  $P (2 | - 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = 4 x + 3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{4} = - 0,25$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 0,25$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (2 | - 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $- 5 = - 0,25 \cdot 2 + b$ $+ 0,5$
  Vereinfache und addiere 0,5.
  $- 4,5 = b \Rightarrow b = - 4,5$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) : y = - 0,25 x - 4,5$ .
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5. $y = - \frac{2}{3} x + 2$
  $P (4 | 6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = - \frac{2}{3} x + 3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{- \frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $\frac{3}{2}$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (4 | 6)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $6 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b$ $| - 6$
  Vereinfache und subtrahiere 6.
  $0 = b \Rightarrow b = 0$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) : y = \frac{3}{2} x$ .
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6. $y = \frac{1}{3} x - 2$
  $P (2 | 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g (x) : y = \frac{1}{3} x - 2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$
  Setz den Wert ein.
  $m_{2} = - \frac{1}{\frac{1}{3}} = - 3$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $- 3$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P (2 | 5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h (x_{p}) : y_{p} = m_{2} x_{p} + b$
  Setz die Werte ein.
  $5 = - 3 \cdot 2 + b$ $| + 6$
  Vereinfache und addiere 6.
  $11 = b \Rightarrow b = 11$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) : y = - 3 x + 11$ .
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5
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
1. den Punkt $P (- 3 | 4)$ geht und parallel ist zur $x$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $x$ -Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die $x$ -Achse, also $m = 0$ .
  $m$ und $P$ in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
  $\begin{array}{rcl} 4 & = & 0 \cdot (- 3) + t \\ 4 & = & t \end{array}$
  Zur Geradengleichung zusammensetzen.
  $y = 0 \cdot x + 4 = 4$
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2. den Punkt $Q (2 | 5)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
  $\Rightarrow m = - 1$
  $m$ in die Geradengleichung einsetzen und damit $t$ berechnen.
  $\begin{array}{rcl} 5 & = & - 2 + t & | + 2 \\ t & = & 7 \end{array}$
  $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
  $y = - 1 \cdot x + 7 = - x + 7$
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3. den Punkt $R (- 4 | 2)$ geht und parallel ist zur $y$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $y$ -Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem $x$ -Wert unendlich viele $y$ -Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der $x$ -Wert von $R$ beschrieben werden.
  $\Rightarrow x = - 4$
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4. den Punkt $S (2 | - 3)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
  $\Rightarrow m = 1$
  Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $\begin{array}{rcl} - 3 & = & 2 + t & | - 2 \\ t & = & - 5 \end{array}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow y = x - 5$
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5. den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden $AB$ mit $A (- 72 | - 60)$ und $B (- 24 | - 20)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Durch den Ursprung, das heißt $y$ -Achsenabschnitt $t = 0$
  Parallel zur Geraden $AB$ , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie $AB$ .
  $A (- 72 | - 60); B (- 24 | - 20)$
  Berechne die Steigung $m$ mithilfe des Differenzenquotienten .
  $m = \frac{- 20 - (- 60)}{- 24 - (- 72)} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow y = \frac{5}{6} x$
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6
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y = - 2 x + 3,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & - 2 x + 3,5 & | + 2 x \\ 2 x & = & 3,5 & | : 2 \\ x & = & 1,75 \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,75 | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y = - 2 \cdot 0 + 3,5$
  $y = 3,5$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 3,5)$ .
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2. $y = 5 x - 7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & 5 x - 7 & | + 7 \\ 5 x & = & 7 & | : 5 \\ x & = & \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,4 | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y = 5 \cdot 0 - 7$
  $y = - 7$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - 7)$ .
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3. $y = \frac{3}{2} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & \frac{3}{2} x + 2 & | - 2 \\ \frac{3}{2} x & = & - 2 & | \cdot \frac{2}{3} \\ x & = & - \frac{4}{3} \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y = \frac{3}{2} \cdot 0 + 2$
  $y = 2$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2)$ .
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4. $y = - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2} & | + \frac{2}{5} x \\ \frac{2}{5} x & = & \frac{5}{2} & | \cdot \frac{5}{2} \\ x & = & \frac{25}{4} = 6,25 \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (6,25 | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y = - \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{5}{2}$
  $y = \frac{5}{2} = 2,5$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2,5)$ .
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5. $y = 2 (x - \frac{2}{3})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y = 2 (x - \frac{2}{3})$
  $y = 2 x - \frac{4}{3}$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & 2 x - \frac{4}{3} & | + \frac{4}{3} \\ 2 x & = & \frac{4}{3} & | : 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( \frac{2}{3} | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y = 2 \cdot 0 - \frac{4}{3}$
  $y = - \frac{4}{3}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .
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6. $y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$
  $= - \frac{1}{2} x - \frac{4}{3}$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x & | + \frac{1}{2} x \\ \frac{1}{2} x & = & - \frac{4}{3} & | \cdot 2 \\ x & = & - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3} \end{array}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( - \frac{8}{3} | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
  $y = - \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{4}{3}$
  $y = - \frac{4}{3}$
  $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .
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7
Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung ermitteln
P(-25|30); Q(55|-30)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
$m = \frac{30 - (- 30)}{- 25 - 55} = \frac{60}{- 80} = - \frac{3}{4}$
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.
$30 = \frac{- 3}{4} (- 25) + t$
Vereinfache: $\frac{- 3}{4} (- 25) = \frac{- 3 (- 25)}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4} = \frac{75}{4}$
$30$ $=$ $\frac{75}{4} + t$ $- \frac{75}{4}$
↓
Löse nach t auf.
$t$ $=$ $30 - \frac{75}{4}$
$t$ $=$ $\frac{45}{4}$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{45}{4}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.
$0 = \frac{- 3}{4} x + \frac{45}{4}$
Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch: $| \cdot \frac{- 4}{3}$
Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.
$0 = \frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} x + \frac{45 (- 4)}{4 \cdot 3}$
$\frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 4}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$0 = x + \frac{- 180}{12}$
$0 = x - 15$
Addiere 15
$x = 15$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Gerade durch $P (2,5 | 0)$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Dreieck
Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig. Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).
Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: $Q_{1} (0 | 2,5)$ und $Q_{2} (0 | - 2,5)$ . Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.
Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für $Q_{1}$ mit der Steigung $- 1$ und eines für $Q_{2}$ mit der Steigung $1$ .
Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen $m_{1} = - 1$ und $m_{2} = 1$ auf.

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$a_{1} = \frac{1}{2}$ $P (4 | - 2)$

$a_{1} = \frac{3}{4} P (1 | - 3)$

$a_{1} = 2 P (3 | - 1)$

$a_{1} = \frac{4}{5} P (\frac{3}{2} | 4)$

10
Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$y = m \cdot x + t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P (2 | 2)$ und $Q (4 | 5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m = \frac{5 - 2}{4 - 2} = \frac{3}{2} = 1,5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m = \frac{senkrecht}{waagerecht} = \frac{3}{2} = 1,5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$g (x) = \frac{3}{2} \cdot x - 1 = 1,5 x - 1$

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m = - \frac{4}{3}$ durch den Punkt $P (- 2 | - 0,5)$ auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

Zeichne die Geraden $y = 3 x - 2$ und $y = - \frac{3}{4} x + 1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Betrachte folgende Graphen.
1. Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$
  Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $A (0 | 3)$ und $B (4 | 2)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
  $m_{f} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
  Setz die Werte ein.
  $m_{f} = \frac{2 - 3}{4 - 0} = - \frac{1}{4}$
  Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{f}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
  $f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$
  Setz zum Beispiel $A$ ein.
  $3 = - \frac{1}{4} \cdot 0 + b_{f}$
  Vereinfache.
  $3 = b_{f} \Rightarrow b_{f} = 3$
  Also lautet die Geradengleichung $f (x) = - \frac{1}{4} \cdot x + 3$ .
  $g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$
  Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $C (- 4 | 0)$ und $D (0 | 1)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
  $m_{g} = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}}$
  Setz die Werte ein.
  $m_{g} = \frac{1 - 0}{0 - (- 4)} = \frac{1}{4}$
  Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{g}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
  $g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$
  Setz zum Beispiel $D$ ein.
  $1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + b_{g}$
  Vereinfache.
  $1 = b_{g} \Rightarrow b_{g} = 1$
  Also lautet die Geradengleichung $g (x) = \frac{1}{4} \cdot x + 1$ .
  $h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$
  Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $E (- 1 | 0)$ und $A (0 | 3)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
  $m_{h} = \frac{y_{A} - y_{E}}{x_{A} - x_{E}}$
  Setz die Werte ein.
  $m_{h} = \frac{3 - 0}{0 - (- 1)} = 3$
  Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{h}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
  $h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$
  Setz zum Beispiel $A$ ein.
  $3 = 3 \cdot 0 + b_{h}$
  Vereinfache.
  $3 = b_{h} \Rightarrow b_{h} = 3$
  Also lautet die Geradengleichung $h (x) = 3 \cdot x + 3$ .
  $i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$
  Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $F (0 | - 3)$ und $S (6 | 0)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
  $m_{i} = \frac{y_{S} - y_{F}}{x_{S} - x_{F}}$
  Setz die Werte ein.
  $m_{i} = \frac{0 - (- 3)}{6 - 0} = \frac{1}{2}$
  Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{i}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
  $i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$
  Setz zum Beispiel $F$ ein.
  $- 3 = \frac{1}{2} \cdot 0 + b_{i}$
  Vereinfache.
  $- 3 = b_{i} \Rightarrow b_{i} = - 3$
  Also lautet die Geradengleichung $i (x) = \frac{1}{2} \cdot x - 3$ .
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2. Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Schnittpunkt $P (x_{p} | y_{p})$ von g und h
  Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $g (x) : y = \frac{1}{4} x + 1$ und $h (x) : y = 3 x + 3$ .
  $\frac{1}{4} x_{P} + 1$ $=$ $3 x_{P} + 3$ $- 3 x_{p} - 1$
  ↓
  Subtrahiere $3 x_{P}$ und 1.
  $- \frac{11}{4} x_{P}$ $=$ $2$ $\div (- \frac{11}{4})$
  ↓
  Dividiere durch $- \frac{11}{4}$ .
  $x_{p}$ $=$ $- \frac{8}{11}$
  Setz nun $- \frac{8}{11}$ in die Geradengleichung von g oder h ein, um $y_{P}$ zu bestimmen.
  $h (x_{P}) : y_{P} = 3 \cdot x_{P} + 3$
  Setz $x_{P}$ ein.
  $y_{P} = 3 \cdot (- \frac{8}{11}) + 3 = \frac{9}{11}$
  Die Geraden g und h schneiden sich also bei $P (- \frac{8}{11} | \frac{9}{11})$ .
  Die Nullstelle $x_{N_{f}}$ von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung $f (x) : y = - \frac{1}{4} x + 3$ mit 0 gleichsetzt und nach $x$ umformst.
  $- \frac{1}{4} x_{N_{f}} + 3$ $=$ $0$ $- 3$
  $- \frac{1}{4} x_{N_{f}}$ $=$ $- 3$ $: \frac{1}{4}$
  $x_{N_{f}}$ $=$ $12$
  Die Nullstelle von f ist also 12.
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3. Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.
  Schnittpunkt $T (x_{T} | y_{T})$ von h und i
  Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $h (x) : y = 3 x + 3$ und $i (x) : y = \frac{1}{2} x - 3$ .
  $3 x_{T} + 3$ $=$ $\frac{1}{2} x_{T} - 3$ $- \frac{1}{2} x - 3$
  $\frac{5}{2} x_{T}$ $=$ $- 6$ $: \frac{5}{2}$
  $x_{T}$ $=$ $- \frac{12}{5}$
  Setz nun $- \frac{12}{5}$ in die Geradengleichung von h oder i ein, um $y_{T}$ zu bestimmen.
  $h (x_{T}) : y_{T} = 3 \cdot x_{T} + 3$
  Setz $x_{T}$ ein.
  $y_{T} = 3 \cdot (- \frac{12}{5}) + 3 = - \frac{21}{5}$
  Die Geraden h und i schneiden sich also bei $T (- \frac{12}{5} | - \frac{21}{5})$ .
  Schnittpunkt $Q (x_{Q} | y_{Q})$ von g und i
  Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $g (x) : y = \frac{1}{4} x + 1$ und $i (x) : y = \frac{1}{2} x - 3$ .
  $\frac{1}{4} x_{Q} + 1$ $=$ $\frac{1}{2} x_{Q} - 3$ $- \frac{1}{2} x - 1$
  $- \frac{1}{4} x_{Q}$ $=$ $- 4$ $: (- \frac{1}{4})$
  $x_{Q} = 16$
  Setz nun $16$ in die Geradengleichung von g oder i ein, um $y_{Q}$ zu bestimmen.
  $g (x_{Q}) : y_{Q} = \frac{1}{4} \cdot x_{Q} + 1$
  Setz $x_{Q}$ ein.
  $y_{Q} = \frac{1}{4} \cdot 16 + 1 = 5$
  Die Geraden g und i schneiden sich also bei $Q (16 | 5)$ .
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4. Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
  Schnittpunkte kann es höchstens geben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
  f und g
  f und h
  f und i
  g und h
  g und i
  h und i
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Löse die folgenden Aufgaben.
1. Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 | 3)$ und $Q (2 | - 3)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Geradengleichung
  Gegeben: Punkt $P (0 | 3)$ und Punkt $Q (2 | - 3)$
  Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $3 = m \cdot 0 + t$
  $- 3 = m \cdot 2 + t$
  Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass $t = 3$ . Dieses $t$ kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um $m$ auszurechnen.
  $- 3$ $=$ $m \cdot 2 + 3$ $- 3$
  $- 6$ $=$ $m \cdot 2$ $: 2$
  $- 3$ $=$ $m$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $y = - 3 x + 3$
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2. Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$ auf.
  
  Gegeben: Punkt $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$
  Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
  x-Werte: $3 - 1 = 2$
  y-Werte: $- 1 - 3 = - 4$
  Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
  $m = \frac{- 4}{2} = - 2$
  Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.
  $3$ $=$ $- 2 \cdot 1 + t$
  $3$ $=$ $- 2 + t$ $+ 2$
  $t$ $=$ $5$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
  $y = - 2 x + 5$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$3 x - 2$	$=$	$- \frac{3}{4} x + 1$	$+ \frac{3}{4} x + 2$
$3 x + \frac{3}{4} x$	$=$	$1 + 2$
$3,75 x$	$=$	$3$	$: 3,75$
$x$	$=$	$\frac{3}{3,75}$
$x_{S}$	$=$	$0,8$
	↓	Setze $x_{S}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y$	$=$	$3 \cdot 0,8 - 2$
$y$	$=$	$2,4 - 2$
$y_{S}$	$=$	$0,4$

$m$	$=$	$\frac{8 - 7}{- 3 - 5}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$m$	$=$	$\frac{1}{- 8}$
$m$	$=$	$- \frac{1}{8}$

$m$	$=$	$\frac{4 - 2}{3 - 1}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$m$	$=$	$\frac{2}{2}$
$m$	$=$	$1$

$30$	$=$	$\frac{75}{4} + t$	$- \frac{75}{4}$
	↓	Löse nach t auf.
$t$	$=$	$30 - \frac{75}{4}$
$t$	$=$	$\frac{45}{4}$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	Setze $a_{1} = \frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x + t$
	↓	Setze P in f(x) ein.
$- 2$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 + t$	$- 2$
	↓	löse nach t auf
$t$	$=$	$- 4$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x)$	$=$	$0$
	↓	Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
$\frac{1}{2} x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$4$	$: \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$\frac{4}{\frac{1}{2}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$4 \cdot 2$
$x$	$=$	$8$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{2} = \frac{3}{4}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{3}{4} x + t$
	↓	Setze P(1/-3) in f(x) ein.
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 1 + t$
	↓	Multipliziere
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} + t$	$- \frac{3}{4}$
$t$	$=$	$- 3 - \frac{3}{4}$
	↓	Addiere
$t$	$=$	$- 3,75$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\frac{3}{4} x - 3,75$	$=$	$0$	$+ 3,75$
$\frac{3}{4} x$	$=$	$3,75$	$: \frac{3}{4}$
$x$	$=$	$3,75 : \frac{3}{4}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$3,75 \cdot \frac{4}{3}$
	↓	Multiplikation
$x$	$=$	$5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{3} = 2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$2 x + t$
	↓	Setze P(3/-1) in f(x) ein.
$- 1$	$=$	$2 \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$- 1$	$=$	$6 + t$	$- 6$
$t$	$=$	$- 1 - 6$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$- 7$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$2 x - 7$	$=$	$0$	$+ 7$
$2 x$	$=$	$7$	$: 2$
$x$	$=$	$7 : 2$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$3,5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{4} = \frac{4}{5}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{4}{5} x + t$
	↓	Setze $P (\frac{3}{2} \| 4)$ in f(x) ein.
$4$	$=$	$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} + t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$4$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$4$	$=$	$\frac{6}{5} + t$	$- \frac{6}{5}$
$t$	$=$	$4 - \frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$t$	$=$	$\frac{20}{5} - \frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$\frac{14}{5}$
$t$	$=$	$2,8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$3 x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$3 x$	$=$	$2$	$: 3$
$x_{N1}$	$=$	$\frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $x_{N} = \frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

$\frac{1}{4} x_{P} + 1$	$=$	$3 x_{P} + 3$	$- 3 x_{p} - 1$
	↓	Subtrahiere $3 x_{P}$ und 1.
$- \frac{11}{4} x_{P}$	$=$	$2$	$\div (- \frac{11}{4})$
	↓	Dividiere durch $- \frac{11}{4}$ .
$x_{p}$	$=$	$- \frac{8}{11}$

$- \frac{1}{4} x_{N_{f}} + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$- \frac{1}{4} x_{N_{f}}$	$=$	$- 3$	$: \frac{1}{4}$
$x_{N_{f}}$	$=$	$12$

$3 x_{T} + 3$	$=$	$\frac{1}{2} x_{T} - 3$	$- \frac{1}{2} x - 3$
$\frac{5}{2} x_{T}$	$=$	$- 6$	$: \frac{5}{2}$
$x_{T}$	$=$	$- \frac{12}{5}$

$\frac{4}{5} x + 2,8$	$=$	$0$	$- 2,8$
$\frac{4}{5} x$	$=$	$- 2,8$	$: \frac{4}{5}$
$x$	$=$	$- 2,8 : \frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$- \frac{7}{2}$
$x$	$=$	$- 3,5$

$- \frac{1}{2}$	$=$	$- \frac{4}{3} \cdot (- 2) + t$
	↓	$- \frac{4}{3} \cdot (- 2) = \frac{(- 4) \cdot (- 2)}{3} = \frac{8}{3}$
$- \frac{1}{2}$	$=$	$\frac{8}{3} + t$	$- \frac{8}{3}$
$t$	$=$	$- \frac{1}{2} - \frac{8}{3}$
	↓	Bringe die beiden Brüche auf denselben Nenner.
$t$	$=$	$- \frac{3}{6} - \frac{16}{6}$
	↓	Subtrahiere.
$t$	$=$	$- \frac{19}{6}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
$t$	$=$	$- 3 \frac{1}{6}$
	↓	Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

$y$	$=$	$- \frac{3}{4} x + 1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$- \frac{3}{4} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$- 1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$x_{N2}$	$=$	$\frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $x_{N} = \frac{4}{3}$ eine Nullstelle.

$\frac{1}{4} x_{Q} + 1$	$=$	$\frac{1}{2} x_{Q} - 3$	$- \frac{1}{2} x - 1$
$- \frac{1}{4} x_{Q}$	$=$	$- 4$	$: (- \frac{1}{4})$

$- 3$	$=$	$m \cdot 2 + 3$	$- 3$
$- 6$	$=$	$m \cdot 2$	$: 2$
$- 3$	$=$	$m$

Aufgaben zur linearen Funktion

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Bestimmung der Steigung m

Ermittlung des y-Achsenabschnitts t

Steigung

Funktionsgleichung

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

Zeichnung

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichung

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

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Geradengleichung erstellen

Gerade zeichnen

Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

f(x):y=mfx+bf

g(x):y=mgx+bg

h(x):y=mhx+bh

i(x):y=mix+bi

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Schnittpunkt P(xp|yp) von g und h

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Schnittpunkt T(xT|yT) von h und i

Schnittpunkt Q(xQ|yQ) von g und i

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Bestimmung der Steigung $m$

Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$

$f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$

$g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$

$h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$

$i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$

Schnittpunkt $P (x_{p} | y_{p})$ von g und h

Schnittpunkt $T (x_{T} | y_{T})$ von h und i

Schnittpunkt $Q (x_{Q} | y_{Q})$ von g und i