Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

1

Gegeben ist der Graph GfG_f einer integrierbaren Funktion ff.

a) Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

b) Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x\mapsto \int_{-1}^x f(t)\operatorname{d}t an.

2

Sei die Funktion f:x(x+1)31f: x\mapsto (x+1)^3-1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von ff und ihrer Umkehrfunktion f1f^{-1} eingeschlossen wird.

3

Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

    

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0    1)\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right) und dem Tiefpunkt TIP=(2    3)\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right) .

Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

   

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Berechne nun A.

4

Die Parabel mit dem Scheitel S=(2    3)\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5x3\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                     

Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

5

Die abgebildete Parabel f und Gerade g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche.

   

Bestimme die Funktionsterme von f und g und die beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1 und S2{\mathrm S}_2 der Graphen.

Gib A als bestimmtes Integral an und berechne dann A.

6

Die Graphen der Funktionen f(x)=2x2\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2 und g(x)=0,5x2+0,5\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

      

  

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

raschweb.de (Aufgabenstellung)
7

Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen f(x)=0,5x2+2\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+2   und g(x)=0,5x+1\mathrm g(\mathrm x)=-0{,}5\mathrm x+1 .

Man erkennt: f(x)>g(x)\mathrm f(\mathrm x)>\mathrm g(\mathrm x) für alle xR\mathrm x\in\mathbb{R} .

Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen x1=1{\mathrm x}_1=-1 und x2=1,5{\mathrm x}_2=1{,}5 .

Zeichne diese Fläche ein.

raschweb.de (Aufgabenstellung)
8

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das GfG_f und die x-Achse einschließen.

9

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und GftG_{f_t} liegt.

10

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die GfG_f im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von GfG_f und der Geraden eingeschlossen ist.

11

Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

 

f:  xx24x+1f:\;x\mapsto x^2-4x+1 ;

g:  xx2+6x7g:\;x\mapsto-x^2+6x-7 ;    Df=Dg=RD_f=D_g=\mathbb{R}

12

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GaG_a und der x-Achse.

13

Berechne die zwischen GfG_f und der xx-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen ff:

a
b
14
a

Berechne  01f(x)dx\int_0^1f(x)\mathrm{dx} ; 0πf(x)dx\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx} ; π32πf(x)dx\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}

b

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GfG_f , der y-Achse und der Geraden y=2πy=2\operatorname{\pi} im Bereich von 0 bis π\mathrm\pi

15

Gegeben ist der Graph GfG_f einer integrierbaren Funktion ff.

a

Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

b

Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion

F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x\mapsto \int_{-1}^x f(t)\operatorname{d}t an.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?