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Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du das Bestimmen von Flächeninhalten mit Integralen. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Sei die Funktion f:x(x+1)31f: x\mapsto (x+1)^3-1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von ff und ihrer Umkehrfunktion f1f^{-1} eingeschlossen wird.

  2. 2
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    Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

        

    Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0    1)\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right) und dem Tiefpunkt TIP=(2    3)\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right) .

    Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

       

    Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

    Berechne nun A.

  3. 3
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    Die Parabel mit dem Scheitel S=(2    3)\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5x3\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                         

    Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

    Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

  4. 4
    Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

    Die abgebildete Parabel ff und Gerade gg schließen eine Fläche mit dem Inhalt AA ein.

    Schraffiere diese Fläche.

       

    Bestimme die Funktionsterme von ff und gg und die beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1 und S2{\mathrm S}_2 der Graphen.

    Gib AA als bestimmtes Integral an und berechne dann AA.

  5. 5
    Graphen von f und g im Koordinatensystem

    Die Graphen der Funktionen f(x)=2x2\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2 und g(x)=0,5x2+0,5\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

          

      

    Schraffiere diese Fläche und berechne A.

  6. 6
    Graphen von f und g im Koordinatensystem

    Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen f(x)=0,5x2+2\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+2   und g(x)=0,5x+1\mathrm g(\mathrm x)=-0{,}5\mathrm x+1 .

    Man erkennt: f(x)>g(x)\mathrm f(\mathrm x)>\mathrm g(\mathrm x) für alle xR\mathrm x\in\mathbb{R} .

    Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen x1=1{\mathrm x}_1=-1 und x2=1,5{\mathrm x}_2=1{,}5 .

    Zeichne diese Fläche ein.

  7. 7

    f(x)=19x489x3+2x2,Df=Rf(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das GfG_f und die x-Achse einschließen.

  8. 8

    ft(x)=19(t3)x2+t,Dft=R,  tRf_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und GftG_{f_t} liegt.

  9. 9

    f(x)=38x332x,  Df=Rf(x)=\frac38x^3-\frac32x,\;D_f=\mathbb{R}

    Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die GfG_f im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von GfG_f und der Geraden eingeschlossen ist.

  10. 10

    Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

     

    f:  xx24x+1f:\;x\mapsto x^2-4x+1 ;

    g:  xx2+6x7g:\;x\mapsto-x^2+6x-7 ;    Df=Dg=RD_f=D_g=\mathbb{R}

  11. 11

    a(x)=6124x2,  Da=Ra(x)=6-\frac1{24}x^2,\;D_a=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GaG_a und der x-Achse.

  12. 12

    Berechne die zwischen GfG_f und der xx-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen ff:

    1. f(x)=2xx2f\left(x\right)=2-x-x^2

    2. f:  xx2(x+2)f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)

  13. 13

    f(x)=3+sin(x),  Df=Rf(x)=3+sin(x),\;D_f=\mathbb{R}

    1. Berechne  01f(x)dx\int_0^1f(x)\mathrm{dx} ; 0πf(x)dx\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx} ; π32πf(x)dx\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}

    2. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GfG_f , der y-Achse und der Geraden y=2πy=2\pi im Bereich von 00 bis π\mathrm\pi

  14. 14

    Gegeben ist der Graph GfG_f einer integrierbaren Funktion ff.

    Graph
    1. Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

    2. Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion

      F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x\mapsto \int_{-1}^x f(t)\operatorname{d}t an.

  15. 15

    Das stilisierte Fischlogo des Marineclubs soll neu lackiert werden. Dazu braucht der Maler die Fläche des Logos.

    Die orangefarbene Randfunktion ist gegeben durch g(x)=x2x+2g(x)=-\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x+2}.

    Fischlogo

    Fischlogo

  16. 16

    Gegeben sind die beiden Funktionen fa(x)=ax2af_a(x)=a-\dfrac{x^2}{a} und ga(x)=a3ax2g_a(x)=a^3-ax^2 mit a>1a>1.

    1. Berechne das Flächenstück A(a)A(a) oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen faf_a und gag_a begrenzt wird.

    2. Wie groß ist der eingeschlossene Flächeninhalt, wenn a=3a=3 ist?


  17. 17

    Gegeben sind die Funktionen 

     und  

    mit 0<m<60<m<6 . Die beiden Funktionsgraphen und die senkrechte Gerade x=6x=6 schließen im ersten Quadranten eine Fläche ein, die aus zwei Teilflächen besteht. Skizzieren Sie den Sachverhalt und bestimmen Sie m so, dass die beiden Teilflächen die gleichen Flächeninhalte besitzen.


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