Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Gegeben ist der Graph $\sf G_f$ einer integrierbaren Funktion $\sf f$.

a) Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

b) Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion $\sf F: x\mapsto \int_{-1}^x f(t)\operatorname{d}t$ an.

Sei die Funktion $\sf f: x\mapsto (x+1)^3-1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $\sf f$ und ihrer Umkehrfunktion $\sf f^{-1}$ eingeschlossen wird.

Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt $\sf {HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right)$ und dem Tiefpunkt $\sf {TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right)$ .

Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Berechne nun A.

Die Parabel mit dem Scheitel $\sf S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ und der Graph der Funktion f mit $\sf f( x)=1+0{,}5\cdot x^3$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

Die abgebildete Parabel f und Gerade g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche.

Bestimme die Funktionsterme von f und g und die beiden Schnittpunkte $\sf { S}_1$ und $\sf { S}_2$ der Graphen.

Gib A als bestimmtes Integral an und berechne dann A.

Die Graphen der Funktionen $\sf f( x)=2- x^2$ und $\sf g( x)=0{,}5 x^2+0{,}5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen $\sf f( x)=0{,}5 x^2+2$   und $\sf g( x)=-0{,}5 x+1$ .

Man erkennt: $\sf f( x)> g( x)$ für alle $\sf x\in\mathbb{R}$ .

Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen $\sf { x}_1=-1$ und $\sf { x}_2=1{,}5$ .

Zeichne diese Fläche ein.

1. Berechne  $\sf \int_0^1f(x){dx}$ ; $\sf \int_0^{\pi}f(x){dx}$ ; $\sf \int_\dfrac{\pi}3^{2{\pi}}f(x){dx}$.

2. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $\sf G_f$ , der y-Achse und der Geraden $\sf y=2\operatorname{\pi}$ im Bereich von 0 bis $\sf \pi$.

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $\sf G_f$ und die x-Achse einschließen.

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $\sf G_{f_t}$ liegt.

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die $\sf G_f$ im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von $\sf G_f$ und der Geraden eingeschlossen ist.

Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

$\sf f:\;x\mapsto x^2-4x+1$ ;

$\sf g:\;x\mapsto-x^2+6x-7$ ;    $\sf D_f=D_g=\mathbb{R}$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $\sf G_a$ und der x-Achse.