Aufgaben zu linearen Gleichungen und Ungleichungen

Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.

$3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)$

$2{,}6\left(x-1\right)=-6{,}5\left(x+1\right)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$

$3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)$

$3\left(4x+4\right)=4\left(3-4x\right)$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-3\frac{7}{12}

=x

3

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=x\left(x+2\right)+5$

$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$

$\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50$

$3\left(2x-0{,}5\right)=4-2\left(1-x\right)$

=x

$7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)$

=x

$-1\frac34-0{,}8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0{,}5$

=x

4

Löse folgende Gleichung.

$\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{3}x=-x+1\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{12}x+2$

=x

5

Prüfe durch Einsetzen, ob $x=1,\;2,\;3,\;4,\;5$ eine Lösung der folgenden Gleichung ist:

$\dfrac{90}{x}=x^2+21$

6

Finde die beiden Lösungen von $\left|x-3\right|=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Lösung durch Umformen der Gleichung

Die Gleichung $|x-3|=2$ hat zwei Lösungen. Wenn der Term $x-3$ im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist $x-3$ jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.

Also kannst du berechnen: Wann ist $x-3 =2$ ? Und wann ist $x-3 = -2$ ?

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&2&|+3 \\x&=&2+3\\x&=&5\end{array}$

Wenn $x = 5$ ist, ist die Gleichung also erfüllt: $|5-3|=|2|=2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&-2&|+3 \\x&=&-2+3\\x&=&1\end{array}$

Für $x=1$ ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: $|1-3|=|-2|=2$

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$\vert x-3\vert$	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3

Du erkennst in der Wertetabelle, dass $|x-3|=2$ für $x=1$ und $x=5$ gilt.

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Der Betrag $|x-3|$ gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $3$ voneinander an.

Der Abstand zwischen $x$ und $3$ soll $2$ sein, da $|x-3|=2$ nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl links der $3$ und eine Zahl rechts der $3$ , die zur $3$ den Abstand $2$ hat. Diese Zahlen sollen $x_1$ und $x_2$ heißen.

Um $x_1$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl $2$ vor und landest bei $3+2=5$ . Somit ist $x_1=5$ deine zweite Lösung.

Um $x_2$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei $3-2=1$ . Somit ist $x_2=1$ deine zweite Lösung.

Kontrolle:

$|x_1-3|=|5-3|=|2|=2 \;\;\;\checkmark$

$|x_2-3|=|1-3|=|-2|=2 \;\;\;\checkmark$

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7

Forme so um, dass $r^2$ auf der linken Seite steht:

$A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$

8

Löse folgende Gleichungen:

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern $\{\}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L =\{4{,}5,9\}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4{,}5,9$ .

$4x+4=3x+3$

Nach x auflösen
$\displaystyle 4x+4$ $=$ $\displaystyle 3x+3$ $\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -1$
Also ist $L=\left\{-1\right\}.$
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\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-3\frac{7}{12}

$3x=x+5$

$2x=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
$\displaystyle L$ $=$ $\displaystyle \left\{2\right\}$
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\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-3\frac{7}{12}

$\frac1{12}x-5=3$

Nach x auflösen
$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$ $=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \cdot12$
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$-8x+5=-5$

$x+4=9x-\left(5-x\right)$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$\frac1{24}x=0$

Gleichungen auflösen
$\displaystyle \frac{1}{24}x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0$
$L=\{0\}$
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9

Löse die folgenden Ungleichungen.

$\frac13x-5\leq\frac14x+3$

$\frac{2-x}3+5\geq\frac x2$

$-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6$

$3\left(x-3\right)\geq5\left(1-\frac x2\right)$

$\frac12\left(x-5\right)>0$

$2x+\frac52<-(3+4x)-3$

$\frac x5+3\geq\frac x2$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$-3<2(x-2)<5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$-3<2(x-2)<5$
Klammer ausmultiplizieren.
$-3<2x-4<5$
Addiere 4.
$1<2x<9$
Dividiere durch 2.
$\frac12<x<\frac92$
$x \in ]\frac 12; \frac 92[$
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10

Der Term $K=0{,}85x+24$ liefert die Kosten bei der Produktion von $x$ Stück einer Ware.

Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung $E=1{,}45$ $x$ . Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn?

11

Die Versicherung A bezahlt 90% der um 300 € verminderten Schadenssumme, die Versicherung B übernimmt 85% des um 200€ verminderten Schadens. Bis zu welcher Schadenssumme ist bei gleicher Jahresprämie die Versicherung B günstiger?

12

Löse folgende Ungleichungen

$-3x^2-4x+5\geq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$-3x^2-4x+5=0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $-3x^2-4x+5=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

Du hast als Lösung $x_{1 , 2}=-\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$ erhalten.

$x_1=-\dfrac{2+ \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3}\approx-2{,}1$

und $x_2 =-\dfrac{2- \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\approx0{,}8$

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=-3x^2-4x+5$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: Im mittleren Intervall $I_2$ ist $f(x)>0$ .

In der Ungleichung steht ein " $\geq$ ". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.

4. Angabe der Lösungsmenge

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-3\frac{7}{12}

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$x^2-3x+10\leq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$x^2-3x+10=0$
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $x^2-3x+10=0$ . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p=-3$ und $q=10$

$\displaystyle 3(a-4)$	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}(2-a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle 1-\frac25+\frac15a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle \frac35+\frac15a$	$\displaystyle -\frac15a+12$
$\displaystyle 3a-\frac{1}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{3}5+12$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{14}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{63}5$	$\displaystyle :\frac{14}5$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac92=4{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{4{,}5\}$

$\displaystyle 3(4x-3)$	$=$	$\displaystyle 4(3x-4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x-9$	$=$	$\displaystyle 12x-16$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle -16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \emptyset$

$\displaystyle \left(11{,}25\ +\ 2\ \frac{2}{3}\right)-x$	$=$	$\displaystyle 4{,}7-3\ \frac{7}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\displaystyle \frac{45}{4}+\frac{8}{3}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}$	$\displaystyle -\ \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\displaystyle \frac{45}{4}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}$	$\displaystyle -\frac{45}{4}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}-\frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282}{60}-\frac{215}{60}-\frac{160}{60}-\frac{675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282-215-160-675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -\frac{768}{60}$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{64}{5}$

$\displaystyle \left(x-7\right)\cdot\left(x+3\right)$	$=$	$\displaystyle x\left(x+2\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2+3x-7x-21$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$	$\displaystyle -x^2\ -2x\ +21$
$\displaystyle -6x$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{26}{-6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{13}{3}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\frac{13}{3}\right\}$

$\displaystyle \left(x-2\right)\left(3x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle \left(3x+3\right)x-10x-2$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2+3x-10x-2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x^2-7x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2-7x-2$	$\displaystyle -3x^{2\ }+7x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle 2{,}6\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle -6{,}5(x+1)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -6{,}5x-6{,}5-\frac{1}{2}x+3{,}9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -7x-2{,}6$	$\displaystyle +7x+2{,}6$
$\displaystyle 9{,}6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :9{,}6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{0\}$

$\displaystyle 3(4x+4)$	$=$	$\displaystyle 4(3-4x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 12-16x$	$\displaystyle +16x-12$
$\displaystyle 28x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :28$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{0\right\}$

$\displaystyle \left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$\displaystyle \left[2x+6+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$\displaystyle \left[2x+10\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$\displaystyle 10x+50-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	gilt für jedes $x$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$\displaystyle 3\left(2x-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2\left(1-x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 4-2+2x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2x\ +1{,}5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle :4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\cdot2}{4\cdot2}=\frac{7}{8}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac{7}{8}\right\}$

$\displaystyle 7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-\left(1-4x\right)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$\displaystyle 7-\left[-33+15x\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$\displaystyle 7+33-15x$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 40-15x$	$=$	$\displaystyle -2+6x$	$\displaystyle +15x\ +2$
$\displaystyle 21x$	$=$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle :21$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{3}{10}x-3\right)+0{,}5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8x+3{,}2$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2+0{,}5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$\displaystyle 1{,}45-0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2{,}5$	$\displaystyle +\frac{1}{5}x\ -1{,}45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$\displaystyle -0{,}8x+\frac{1}{5}x$	$=$	$\displaystyle -1{,}45+2{,}5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle -0{,}6x$	$=$	$\displaystyle 1{,}05$	$\displaystyle :\left(-0{,}6\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}75$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-1{,}75\right\}$

$\displaystyle \dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{3}x$	$=$	$\displaystyle -x+1\dfrac16-\dfrac5{12}x+2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle \dfrac53x -\dfrac{3}{10}$	$=$	$\displaystyle -x + \dfrac76 - \dfrac{5}{12}x + 2$	$\displaystyle \cdot HN 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -60x+70-25x+120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -85x+190$	$\displaystyle + 85x+18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 185x$	$=$	$\displaystyle 208$	$\displaystyle :185$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{208}{185}$

$\displaystyle \dfrac{90}{x}$	$=$	$\displaystyle x^2 + 21$
	↓	Setze ein.
$\displaystyle \dfrac{90}1$	$=$	$\displaystyle 1^2+21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$\displaystyle 90$	$=$	$\displaystyle 1 +21$
	↓	Addiere.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h-\mathrm{\pi }\cdot \mathrm{r}^2$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$\displaystyle +\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$
$\displaystyle A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm h\cdot(\mathrm a+\mathrm c)}2$	$\displaystyle -A$
$\displaystyle \mathrm{\pi}\cdot\mathrm{r}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha + hc}2-A$	$\displaystyle \pi$
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{ha+hc}{2}-A}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\frac{ha+hc}{2}-\frac{2A}{2}\right)}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2}\cdot\frac{1}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2\mathrm{\pi}}$

$\displaystyle 4x+4$	$=$	$\displaystyle 3x+3$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \frac{2-x}{3}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2\left(2-x\right)}{6}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{6}$	$\displaystyle \cdot6$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+5\cdot6$	$≥$	$\displaystyle 3x$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-2x+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 34$	$≥$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle \frac{34}{5}$	$≥$	$\displaystyle x$

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x-6\right)$	$<$	$\displaystyle 6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle -\frac{x}{2}+3$	$<$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle +\frac{x}{2}$
$\displaystyle 3$	$<$	$\displaystyle 6+\frac{x}{2}$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -3$	$<$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle -6$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 2x+\frac{5}{2}$	$<$	$\displaystyle -\left(3+4x\right)-3$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 2x+2{,}5$	$<$	$\displaystyle -3-4x-3$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 2x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5-4x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 6x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -\frac{17}{12}$

$\displaystyle \frac{x}{5}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2x}{10}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{5x}{10}$	$\displaystyle -\frac{2x}{10}$
$\displaystyle 3$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{10}$	$\displaystyle \cdot10$
$\displaystyle 30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 10$	$≥$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 5x-2$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle x+8$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x+5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2{,}5\right\}$

$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle 7x-9$	$=$	$\displaystyle 2x+5$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 5x-9$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :5$

$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot12$

$\displaystyle -8x+5$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle -8x$	$=$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle :\left(-8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-10}{-8}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25$

$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-(5-x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-5+x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 10x-5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 9x-5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 9x$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \frac{1}{24}x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \frac{1}{3}x-5$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{3}x$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+8$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{4}{12}x-\frac{3}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot\frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 96$

$\displaystyle 3\left(x-3\right)$	$≥$	$\displaystyle 5\left(1-\frac{x}{2}\right)$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 3x-9$	$≥$	$\displaystyle 5-\frac{5}{2}x$	$\displaystyle +9+\frac{5}{2}x$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \frac{11}{2}x$	$≥$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{28}{11}$

Aufgaben zu linearen Gleichungen und Ungleichungen

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Für x = 1

Für x = 2

Für x = 3

Für x = 4

Für x = 5

Lösung durch Umformen der Gleichung

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Kontrolle:

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Ungleichungen

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Versicherung A

Versicherung B

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-5\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-2{,}5$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle 0{,}85x + 24$	$<$	$\displaystyle 1{,}45x$	$\displaystyle -0{,}85x$
$\displaystyle 24$	$<$	$\displaystyle 0{,}6x$	$\displaystyle :0{,}6$
$\displaystyle 40$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \left(x-200\right)\cdot0{,}85$	$>$	$\displaystyle (x-300)\cdot0{,}9$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}85x-170$	$>$	$\displaystyle 0{,}9x-270$	$\displaystyle +270$
$\displaystyle 0{,}85x+100$	$>$	$\displaystyle 0{,}9x$	$\displaystyle -0{,}85x$
$\displaystyle 100$	$>$	$\displaystyle 0{,}05x$	$\displaystyle :0{,}05$
$\displaystyle 2000$	$>$	$\displaystyle x$