Aufgaben zu linearen Gleichungen und Ungleichungen

Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.

$3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)$

$2{,}6\left(x-1\right)=-6{,}5\left(x+1\right)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$

$3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)$

$3\left(4x+4\right)=4\left(3-4x\right)$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=x\left(x+2\right)+5$

$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$

$\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50$

$3\left(2x-0{,}5\right)=4-2\left(1-x\right)$

$7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)$

$-1\frac34-0{,}8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0{,}5$

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x=-x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$

Prüfe durch Einsetzen, ob $x=1,\;2,\;3,\;4,\;5$ eine Lösung der folgenden Gleichung ist:

$\dfrac{90}{x}=x^2+21$

6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Finde die beiden Lösungen von $\left|x-3\right|=2$
Hierbei bezeichnet $\left|…\right|$ den Betrag, z.B. $\left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösung durch Umformen der Gleichung
Die Gleichung $|x-3|=2$ hat zwei Lösungen. Wenn der Term $x-3$ im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist $x-3$ jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.
Also kannst du berechnen: Wann ist $x-3 =2$ ? Und wann ist $x-3 = -2$ ?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&2&|+3 \\x&=&2+3\\x&=&5\end{array}$
Wenn $x = 5$ ist, ist die Gleichung also erfüllt: $|5-3|=|2|=2$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&-2&|+3 \\x&=&-2+3\\x&=&1\end{array}$
Für $x=1$ ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: $|1-3|=|-2|=2$
Lösung mithilfe einer Wertetabelle
Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
$\vert x-3\vert$
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Du erkennst in der Wertetabelle, dass $|x-3|=2$ für $x=1$ und $x=5$ gilt.
Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls
Der Betrag $|x-3|$ gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $3$ voneinander an.
Der Abstand zwischen $x$ und $3$ soll $2$ sein, da $|x-3|=2$ nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl links der $3$ und eine Zahl rechts der $3$ , die zur $3$ den Abstand $2$ hat. Diese Zahlen sollen $x_1$ und $x_2$ heißen.
Um $x_1$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl $2$ vor und landest bei $3+2=5$ . Somit ist $x_1=5$ deine zweite Lösung.
Um $x_2$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei $3-2=1$ . Somit ist $x_2=1$ deine zweite Lösung.
Kontrolle:
$|x_1-3|=|5-3|=|2|=2 \;\;\;\checkmark$
$|x_2-3|=|1-3|=|-2|=2 \;\;\;\checkmark$

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$\vert x-3\vert$	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3

Forme so um, dass $r^2$ auf der linken Seite steht:

$A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$

Löse folgende Gleichungen:

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern $\{\}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L =\{4{,}5,9\}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4{,}5,9$ .

$4x+4=3x+3$

Nach x auflösen
$\displaystyle 4x+4$ $=$ $\displaystyle 3x+3$ $\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -1$
Also ist $L=\left\{-1\right\}.$
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\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

$3x=x+5$

$2x=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
$\displaystyle L$ $=$ $\displaystyle \left\{2\right\}$
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\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

$\frac1{12}x-5=3$

Nach x auflösen
$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$ $=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \cdot12$
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$-8x+5=-5$

$x+4=9x-\left(5-x\right)$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$\frac1{24}x=0$

Gleichungen auflösen
$\displaystyle \frac{1}{24}x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0$
$L=\{0\}$
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Löse die folgenden Ungleichungen.

$\frac13x-5\leq\frac14x+3$

$\frac{2-x}3+5\geq\frac x2$

$-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6$

$3\left(x-3\right)\geq5\left(1-\frac x2\right)$

$\frac12\left(x-5\right)>0$

$2x+\frac52<-(3+4x)-3$

$\frac x5+3\geq\frac x2$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$-3<2(x-2)<5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$-3<2(x-2)<5$
Klammer ausmultiplizieren.
$-3<2x-4<5$
Addiere 4.
$1<2x<9$
Dividiere durch 2.
$\frac12<x<\frac92$
$x \in ]\frac 12; \frac 92[$
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Der Term $K=0{,}85x+24$ liefert die Kosten bei der Produktion von $x$ Stück einer Ware.

Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung $E=1{,}45$ $x$ . Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn?

Die Versicherung A bezahlt 90% der um 300 € verminderten Schadenssumme, die Versicherung B übernimmt 85% des um 200€ verminderten Schadens. Bis zu welcher Schadenssumme ist bei gleicher Jahresprämie die Versicherung B günstiger?

Löse folgende Ungleichungen

$-3x^2-4x+5\geq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$-3x^2-4x+5=0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $-3x^2-4x+5=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

Du hast als Lösung $x_{1 , 2}=-\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$ erhalten.

$x_1=-\dfrac{2+ \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3}\approx-2{,}1$

und $x_2 =-\dfrac{2- \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\approx0{,}8$

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=-3x^2-4x+5$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: Im mittleren Intervall $I_2$ ist $f(x)>0$ .

In der Ungleichung steht ein " $\geq$ ". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.

4. Angabe der Lösungsmenge

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

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$x^2-3x+10\leq0$

$2x^2+98>28x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

$\displaystyle 2x^2+98$	$>$	$\displaystyle 28x$	$\displaystyle -28x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-28x+98$	$>$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Ungleichung $2x^2-28x+98>0$ erhalten.

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$2x^2-28x+98=0$

3. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $2x^2-28x+98=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=2$ , $b=-28$ und $c=98$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=-28$ und $c=98$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-28)\pm \sqrt{(-28)^{2}-4\cdot2 \cdot98}}{2\cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm \sqrt{784-784}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm 0}{4}$
	$=$	$\displaystyle 7$

Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x=7$ erhalten.

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=2x^2-28x+98$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f(x)$ jeweils positiv.

Lediglich für $x=7$ ist $f(7)=0$ .

Für $x\in \mathbb R\backslash\{7\}$ ist also die Ungleichung erfüllt.

4. Angabe der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

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Hans ist gerade 48 Jahre und sein Sohn Hänschen ist gerade 15 Jahre alt.

Nach wie vielen Jahren ist Hans doppelt so alt wie Hänschen dann ist? Und wie alt ist Hans dann?

Drei Bäcker haben insgesamt $360$ Brötchen gebacken. Bäcker A hat doppelt so viele gebacken wie Bäcker B. Bäcker C hat $40$ Brötchen weniger gebacken als A.

Wie viele Brötchen hat jeder der drei Bäcker gebacken?

Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung aufstellen

Alex bekommt einen "bestimmten Geldbetrag" für die Note 3. Abhängig von diesem Betrag werden alle anderen Geldbeträge berechnet. Wähle also:

$x$ = Geld für die Note 3.

Für die Note 2 bekommt Alex das Doppelte, also $2\cdot x$ .

Für die Note 1 bekommt Alex das Dreifache, also $3\cdot x$ .

Wenn Alex eine Note 4 im Zeugnis hat, bekommt er kein Geld. Es wird ihm aber auch nichts abgezogen, also $0€$ .

Für eine Note 5 muss Alex von seinem Taschengeld das Doppelte vom Betrag für eine Note 2 abziehen, also $-2\cdot\underbrace{(2\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 2}}=-4\cdot x$

Bei einer Note 6 wird Alex das Vierfache des Betrags für eine Note 1 abgezogen, also: $-4\cdot\underbrace{(3\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 1}}=-12\cdot x$

Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass Alex am Ende $42 €$ von seinem Taschengeld abgezogen werden. Im Zeugnis hat er:

eine Note 1
eine Note 2
viermal die Note 3
zweimal eine Note 4
eine Note 5
eine Note 6

Stelle damit einen Ansatz für die Berechnung von $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x+2\cdot 0€+1\cdot (-1\cdot2\cdot2x)+1\cdot (-1\cdot4\cdot3x)&=&-42€&\\ 3x+2x+4x-4x-12x&=&-42€&\\ -7x&=&-42€&|:(-7)\\x&=&6€&\end{array}$

Note	Betrag
1	$3\cdot 6€=18€$
2	$2\cdot 6€=12€$
3	$6€$
4	$0€$
5	$-2\cdot 2\cdot 6€=-24€$
6	$-4\cdot 3\cdot 6€=-72€$

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In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf dem Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Berechne jeweils die Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

Grad

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

In einem Dreieck ist $\alpha$ um 20° kleiner als $\beta$ und $\gamma$ doppelt so groß wie $\alpha$ .

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.

Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2\cdot(s-2€)$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€$

Berechne mit dem Gesamtansatz nun $s$ .

$\displaystyle s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle s+s-2€+2s+2s-4€$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6s-6€$	$=$	$\displaystyle 66€$	$\displaystyle +6€$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle 72€$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 12€$

Nachdem du $s=12€$ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s=12€$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€=12€-2€=10€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s=2\cdot 12€=24€$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2(s-2€)=2\cdot 10€=20€$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark$

Sabine hat also $12€$ , Marco hat $10€$ , Volker hat $24€$ und Lena hat $20€$ .

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Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

20
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um $1\;\mathrm{cm}^2$ größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen
Variable einführen
a = Seite des Quadrats
Gleichung aufstellen
Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
$a$ : Seite des Quadrats
$a+3$ : lange Seite des Rechtecks
$a-2$ : kurze Seite des Rechtecks
$a^2+1$ : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
$(a+3)(a-2)$ : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
$a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)$
Gleichung lösen
Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
$a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2$
$\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6$
$\hspace{0.75cm} 7 = a$
Lösung überprüfen:
Wenn die Quadratseite $7\ cm$ ist, dann wäre die Fläche des Quadrats $a^2=49\ cm^2$ und die Fläche vom Rechteck: $10\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2$ und damit $1\ cm^2$ größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!
Antwortsatz
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Das Dreifache einer Zahl ist doppelt so groß wie die um $3$ verminderte Zahl. Wie lautet die Zahl?

22
Bildet man die Differenz aus dem Achtzehnfachen einer Zahl und 8 und addiert anschließend 0,5, so erhält man die Summe aus dem Siebzehnfachen der Zahl und 7.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Gleichung aufstellen
Die gesuchte "Zahl" wird mit $x$ bezeichnet.
Gehe nun Schritt für Schritt anhand des Aufgabentextes vor:
"Das Achtzehnfache der Zahl" ist gleich $18\cdot x$ oder einfach $18x$ .
"Differenz" ist das Ergebnis einer Minus-Rechnung; die "Differenz aus dem Achtzehnfachen der Zahl und 8" ist also: $18x-8$
"addiert 0,5" bedeutet, dass man "plus $0{,}5$ " rechnet.
"so erhält man" zeigt dir an, dass jetzt das Gleichheitszeichen kommt.
Für die eine Seite der Gleichung hast du also bereits: " $(18x-8)+0{,}5=…$ " (wobei die Klammer mathematisch nicht notwendig ist).
Gehe nun für die andere Seite der Gleichung ebenso Schritt für Schritt vor:
"Summe" ist das Ergebnis einer Plus-Rechnung.
"das Siebzehnfache der Zahl" ist $17\cdot x$ oder einfach $17x$ .
Für die andere Seite der Gleichung bekommst du: " $…= 17x +7$ "
Setze beide Seiten zusammen, und du erhältst insgesamt den Ansatz:
$(18x-8)+0{,}5= 17x+7$
Gleichung lösen
$(18x-8)+0{,}5= 17x+7$
Die Klammer auf der linken Seite hat weder ein "minus" davor noch ein "mal" davor oder dahinter; du kann sie daher auflösen, indem du sie einfach weglässt.
$18x-8+0{,}5= 17x+7$
Fasse auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen;
hier geht das nur auf der linken Seite und nur mit $-8$ und $+0{,}5$ .
$18x-7{,}5= 17x+7$
Forme nun die Gleichung so um, dass nachher
auf der einen Seite der Gleichung nur noch Terme mit $x$
und auf der anderen Seite nur noch Zahlen ohne $x$ stehen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}18x-7{,}5&= &17x+7\quad &|-17x\\1x-7{,}5&= &+7\quad &|+7{,}5\\x&=&14{,}5\end{array}$
Durch die Umformungen kommst du Schritt für Schritt zu dem Ergebnis: $x=14{,}5$
und kannst die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ angeben.
$\mathbb{L}=\{14{,}5\}$
Schreibe nun noch einen Antwortsatz.
Ergebnis:
Die gesuchte Zahl ist $14{,}5$ .
Textaufgaben mit Gleichungen lösen
Bilde zunächst aus dem Text heraus eine Gleichung,
und löse anschließend die Gleichung.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3(a-4)$	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}(2-a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle 1-\frac25+\frac15a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle \frac35+\frac15a$	$\displaystyle -\frac15a+12$
$\displaystyle 3a-\frac{1}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{3}5+12$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{14}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{63}5$	$\displaystyle :\frac{14}5$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac92=4{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{4{,}5\}$

$\displaystyle 3(4x-3)$	$=$	$\displaystyle 4(3x-4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x-9$	$=$	$\displaystyle 12x-16$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle -16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \emptyset$

$\displaystyle \left(11{,}25\ +\ 2\ \frac{2}{3}\right)-x$	$=$	$\displaystyle 4{,}7-\frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\displaystyle \frac{45}{4}+\frac{8}{3}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}$	$\displaystyle -\ \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\displaystyle \frac{45}{4}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}$	$\displaystyle -\frac{45}{4}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}-\frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282}{60}-\frac{215}{60}-\frac{160}{60}-\frac{675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282-215-160-675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -\frac{768}{60}$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{64}{5}$

$\displaystyle \left(x-7\right)\cdot\left(x+3\right)$	$=$	$\displaystyle x\left(x+2\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2+3x-7x-21$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$	$\displaystyle -x^2\ -2x\ +21$
$\displaystyle -6x$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{26}{-6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{13}{3}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\frac{13}{3}\right\}$

$\displaystyle \left(x-2\right)\left(3x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle \left(3x+3\right)x-10x-2$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2+3x-10x-2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x^2-7x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2-7x-2$	$\displaystyle -3x^{2\ }+7x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle 2{,}6\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle -6{,}5(x+1)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -6{,}5x-6{,}5-\frac{1}{2}x+3{,}9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -7x-2{,}6$	$\displaystyle +7x+2{,}6$
$\displaystyle 9{,}6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :9{,}6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{0\}$

$\displaystyle 3(4x+4)$	$=$	$\displaystyle 4(3-4x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 12-16x$	$\displaystyle +16x-12$
$\displaystyle 28x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :28$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{0\right\}$

$\displaystyle \left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$\displaystyle \left[2x+6+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$\displaystyle \left[2x+10\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$\displaystyle 10x+50-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	gilt für jedes $x$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$\displaystyle 3\left(2x-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2\left(1-x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 4-2+2x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2x\ +1{,}5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle :4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\cdot2}{4\cdot2}=\frac{7}{8}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac{7}{8}\right\}$

$\displaystyle 7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-\left(1-4x\right)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$\displaystyle 7-\left[-33+15x\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$\displaystyle 7+33-15x$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 40-15x$	$=$	$\displaystyle -2+6x$	$\displaystyle +15x\ +2$
$\displaystyle 21x$	$=$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle :21$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{3}{10}x-3\right)+0{,}5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8x+3{,}2$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2+0{,}5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$\displaystyle 1{,}45-0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2{,}5$	$\displaystyle +\frac{1}{5}x\ -1{,}45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$\displaystyle -0{,}8x+\frac{1}{5}x$	$=$	$\displaystyle -1{,}45+2{,}5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle -0{,}6x$	$=$	$\displaystyle 1{,}05$	$\displaystyle :\left(-0{,}6\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}75$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-1{,}75\right\}$

$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x$	$=$	$\displaystyle -x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle \dfrac53x -\dfrac{3}{10}$	$=$	$\displaystyle -x + \dfrac76 - \dfrac{5}{12}x + 2$	$\displaystyle \cdot \text{HN } 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -60x+70-25x+120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -85x+190$	$\displaystyle + 85x+18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 185x$	$=$	$\displaystyle 208$	$\displaystyle :185$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{208}{185}$

$\displaystyle \dfrac{90}{x}$	$=$	$\displaystyle x^2 + 21$
	↓	Setze ein.
$\displaystyle \dfrac{90}1$	$=$	$\displaystyle 1^2+21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$\displaystyle 90$	$=$	$\displaystyle 1 +21$
	↓	Addiere.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h-\mathrm{\pi }\cdot \mathrm{r}^2$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$\displaystyle +\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$
$\displaystyle A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm h\cdot(\mathrm a+\mathrm c)}2$	$\displaystyle -A$
$\displaystyle \mathrm{\pi}\cdot\mathrm{r}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha + hc}2-A$	$\displaystyle \pi$
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{ha+hc}{2}-A}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\frac{ha+hc}{2}-\frac{2A}{2}\right)}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2}\cdot\frac{1}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2\mathrm{\pi}}$

$\displaystyle 4x+4$	$=$	$\displaystyle 3x+3$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \frac{2-x}{3}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2\left(2-x\right)}{6}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{6}$	$\displaystyle \cdot6$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+5\cdot6$	$≥$	$\displaystyle 3x$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-2x+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 34$	$≥$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle \frac{34}{5}$	$≥$	$\displaystyle x$

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x-6\right)$	$<$	$\displaystyle 6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle -\frac{x}{2}+3$	$<$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle +\frac{x}{2}$
$\displaystyle 3$	$<$	$\displaystyle 6+\frac{x}{2}$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -3$	$<$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle -6$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 0{,}85x + 24$	$<$	$\displaystyle 1{,}45x$	$\displaystyle -0{,}85x$
$\displaystyle 24$	$<$	$\displaystyle 0{,}6x$	$\displaystyle :0{,}6$
$\displaystyle 40$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 5x-2$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle x+8$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x+5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2{,}5\right\}$

$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle 7x-9$	$=$	$\displaystyle 2x+5$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 5x-9$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :5$

$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot12$

$\displaystyle -8x+5$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle -8x$	$=$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle :\left(-8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-10}{-8}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25$

$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-(5-x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-5+x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 10x-5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 9x-5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 9x$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \frac{1}{24}x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \frac{1}{3}x-5$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{3}x$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+8$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{4}{12}x-\frac{3}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot\frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 96$

$\displaystyle 3\left(x-3\right)$	$≥$	$\displaystyle 5\left(1-\frac{x}{2}\right)$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 3x-9$	$≥$	$\displaystyle 5-\frac{5}{2}x$	$\displaystyle +9+\frac{5}{2}x$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \frac{11}{2}x$	$≥$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{28}{11}$

Aufgaben zu linearen Gleichungen und Ungleichungen

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Für x = 1

Für x = 2

Für x = 3

Für x = 4

Für x = 5

Lösung durch Umformen der Gleichung

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Kontrolle:

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Ungleichungen

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Versicherung A

Versicherung B

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

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1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

3. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von xxx

Lösung der Gleichung zur Berechnung von xxx

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von yyy

Einsetzen von xxx in die Gleichung zur Berechnung von yyy

Antwort:

Aufstellen der Gleichungen

Lösen der Gleichung

Lösung:

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Winkelsummen im Dreieck

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Lösung überprüfen:

Antwortsatz

Aufstellen der Gleichung

Lösen der Gleichung

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Textaufgaben mit Gleichungen lösen

Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von $x$

Lösung der Gleichung zur Berechnung von $x$

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von $y$

Einsetzen von $x$ in die Gleichung zur Berechnung von $y$

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-5\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-2{,}5$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle 2x+\frac{5}{2}$	$<$	$\displaystyle -\left(3+4x\right)-3$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 2x+2{,}5$	$<$	$\displaystyle -3-4x-3$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 2x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5-4x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 6x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -\frac{17}{12}$

$\displaystyle \frac{x}{5}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2x}{10}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{5x}{10}$	$\displaystyle -\frac{2x}{10}$
$\displaystyle 3$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{10}$	$\displaystyle \cdot10$
$\displaystyle 30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 10$	$≥$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \left(x-200\right)\cdot0{,}85$	$>$	$\displaystyle (x-300)\cdot0{,}9$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}85x-170$	$>$	$\displaystyle 0{,}9x-270$	$\displaystyle +270$
$\displaystyle 0{,}85x+100$	$>$	$\displaystyle 0{,}9x$	$\displaystyle -0{,}85x$
$\displaystyle 100$	$>$	$\displaystyle 0{,}05x$	$\displaystyle :0{,}05$
$\displaystyle 2000$	$>$	$\displaystyle x$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-3$ und $q=10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-3)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{31}{4}}$

$\displaystyle 48\ +\ x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(15+x)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 48\ +\ x$	$=$	$\displaystyle 30\ +\ 2\cdot x$	$\displaystyle -x-30$
$\displaystyle 18$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 48\ +\ x$
	$=$	$\displaystyle 48\ +\ 18$
	$=$	$\displaystyle 66$

$\displaystyle A+B+C$	$=$	$\displaystyle 360$
	↓	Die beiden Bedingungen in die Gleichung einsetzen.
$\displaystyle 2\cdot B+B+2\cdot B-40$	$=$	$\displaystyle 360$
	↓	Die Gleichung zusammenfassen und umformen.
$\displaystyle 5\cdot B-40$	$=$	$\displaystyle 360$	$\displaystyle +40$
$\displaystyle 5\cdot B$	$=$	$\displaystyle 400$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle B$	$=$	$\displaystyle 80$

$\displaystyle 12\cdot2000+12\cdot1500+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 24000+18000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
$\displaystyle 42000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$	$\displaystyle -42000$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -25000$

$\displaystyle 90°$	$=$	$\displaystyle x-32°+x$	$\displaystyle +32°$
$\displaystyle 122°$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 61°$