Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form $f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ , wobei sowohl $p(x)$ als auch $q(x)$ Polynome sind.

Eine gebrochenrationale Funktion wird genau dann Null, wenn das Zählerpolynom $p(x)\ =\ 0$ ist und das Nennerpolynom an der ermittelten Nullstelle $q\left(x\right)\ \ne0$ ist.

Beispiel

$f\left(x\right)\ =\ \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{\ x^2-4x+3}{x^2-1}$

Sowohl das Zählerpolynom als auch das Nennerpolynom hat eine Nullstelle unter anderem bei $x_{0\ }\ =\ 1$ . An dieser Stelle nimmt die gebrochenrationale Funktion den Wert $f\left(x_0\right)\ =-1$ an.

Berechnung der Nullstellen

Um die Nullstellen von $f(x)$ zu berechnen, brauchst du also nur das Polynom $p(x)=0$ zu setzen. Du musst aber danach prüfen, dass für das Nennerpolynom an der ermittelten Nullstelle $q\left(x\right)\ne0$ gilt. Die Nullstellen von $p(x)$ kannst du auf die gleiche Weise bestimmen, wie es auf der Kursseite Nullstellen von ganzrationalen Funktionen beschrieben wird.

Dabei muss eine beliebige Nullstellen $x_0$ auch im Definitionsbereich der Funktion liegen, also $x_0\in{\mathbb{D}_f }$ .

Beispiel

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2-x-6}{(x-1)(x^2+x+3)}=0$
	↓	Berechne die möglichen Nullstellen von $f(x)$ . Setze dazu $p(x)=0$ .
$\displaystyle p(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-x-6=0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$

Überprüfe nun, ob das Nennerpolynom an den ermittelten Nullstellen nicht auch Null wird.

$q\left(x_1\right)\ =\ -15\ \ne0$ , und $q\left(x_2\right)=30\ \ne0$ .

Überprüfe nun, ob die Nullstellen im Definitionsbereich der Funktion liegen, indem du die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ bestimmst. Setze dazu das Nennerpolynom gleich Null und berechne die Nullstellen von $q(x)$ .

$q(x)=(x-1)(x^2+x+3)=0$

Aus dem Linearfaktor $(x-1)$ kannst du die Nullstelle $x_{q_1}=1$ von $q(x)$ ablesen. Überprüfe $q(x)$ auf weitere Nullstellen. Setze dazu die zweite Klammer gleich Null.

$\displaystyle x^2+x+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{q_{2{,}3}}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{-11}}{2}%$

Da die Diskriminante $D<0$ , besitzt $q(x)$ keine weiteren Nullstellen. Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ .

$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}$

Da $x_1\in\mathbb{D}_f$ und $x_2\in\mathbb{D}_f$ , hat $f(x)$ zwei Nullstellen bei $x_1=-2$ , $x_2=3$ .

Nullstellen bei einer gebrochenrationalen Funktion

5Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen

Beispiel

Berechnung der Nullstellen

Beispiel