7Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (1|5)

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sie tauchen sowohl am rechtwinkligen Dreieck, als auch in der Kreisgeometrie (Trigonometrie am Einheitskreis) auf.

Durch die Form ihrer Graphen spielen sie auch eine wichtige Rolle bei der mathematischen Beschreibung von Wellen und Schwingungen.

Trigonometrische Funktionen sind periodisch, d. h. es gibt nicht nur eine oder zwei Nullstellen, sondern entweder unendlich viele oder gar keine.

Trigonometrische Funktionen haben unendlich viele oder gar keine Nullstellen.

Sinus

Für welche $x\in \mathbb R$ wird $f(x)=\mathrm{sin}(x)$ Null?

Am Einheitskreis kannst du erkennen, für welche $x\in[0°;360°[\;\mathrm{sin}(x)$ Null wird.

$\;$

Es gilt: $360°\hat{=}\;2\pi$, also für jedes beliebige $\alpha:\;\;\;\;x=\displaystyle\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi$ .

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass $x_1=0°$ bzw. $x_1=0$ und $x_2=180°$ bzw. $x_2=\pi$ Nullstellen im Intervall $[0°;360°[$ bzw. $[0;2\pi[$ sind.

Da die Sinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen.

Wir wissen, dass der Sinus an ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ Null wird. Es gilt also: $\sin(k\cdot\pi)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

Die Nullstellenmenge für $f(x)=\sin(x)$ lautet somit: $N=\{k\cdot\pi\;\vert k\in \mathbb{Z}\}$ .