9Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3|5)

Als Nächstes schauen wir uns den Cosinus an.

Cosinus

Für welche $x\in\mathbb R$ wird $f(x)=\mathrm{cos}(x)$ Null?

Am Einheitskreis kannst du erkennen, für welche $x\in[0°;360°[\;\mathrm{cos}(x)$ Null wird.

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Es gilt: $360°\hat{=}\;2\pi$, also für jedes beliebige $\alpha:\;\;\;\;x=\displaystyle\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi$ .

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass $x_1=90°$ bzw. $x_1=\frac12\pi$ und $x_2=270°$ bzw. $x_2=\frac32\pi$ Nullstellen im Intervall $[0°;360°[$ bzw. $[0;2\pi[$ sind.

Da die Cosinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen.

Wir wissen, dass der Cosinus an ungeradzahligen Vielfachen von $\dfrac{\pi}{2}$ Null wird. Es gilt also $\cos\left(k\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ mit $k=1{,}3,5{,}7,9,\dots$. Gerade Zahlen sind ein Vielfaches von $2$. Ungerade Zahlen kann man beschreiben, indem man von einer geraden Zahl $1$ abzieht. Es gilt also $\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

Die Nullstellenmenge für $f(x)=\cos(x)$ lautet somit: $N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\}$ .