Aufgaben

Löse folgende Gleichungen

%%3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)%%

%%3(a-4)=1-\frac15(2-a)%%

%%3a-12=1-\frac25+\frac15a%%

Fasse zusammen.

%%3a-12=\frac35+\frac15a%%

%%|-\frac15a%%

%%|+12%%

%%3a-\frac{1}5a=\frac{3}5+12%%

Fasse zusammen.

%%\frac{14}5a=\frac{63}5%%

%%\left|:\frac{14}5\right.%%

%%a=\frac92=4,5%%

%%L=\{4,5\}%%

%%3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)%%

Nach x auflösen

Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, sieh dir diesen Artikel an zum Lösen von Gleichungen.

%%12x-9=12x-16%%

%%\left|-12x\right.%%

%%-9=-16%%

Ist nicht lösbar.

%%L=\emptyset%%

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung. 
(11,25+223)x=4,73712\displaystyle \left(11,25+2\frac{2}{3}\right)-x=4,7-3\frac{7}{12}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

(11,25 + 2 23)3\left(11,25\ +\ 2\ \frac{2}{3}\right)-3==4,73 7124,7-3\ \frac{7}{12}
Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
454+83x\frac{45}{4}+\frac{8}{3}-x==47104312\frac{47}{10}-\frac{43}{12}| 83-\ \frac{8}{3}
Bringe alle Zahlen auf eine Seite und xx auf die andere.
454x\frac{45}{4}-x==4710431283\frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}|454-\frac{45}{4}
x-x==4710431283454\frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}-\frac{45}{4}
Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
x-x==28260215601606067560\frac{282}{60}-\frac{215}{60}-\frac{160}{60}-\frac{675}{60}
x-x==28221516067560\frac{282-215-160-675}{60}
x-x==76860-\frac{768}{60}|(1)\cdot\left(-1\right)
xx==76860\frac{768}{60}
Kürze den Bruch mit 12.
xx==645\frac{64}{5}
L={645}L=\left\{\frac{64}5\right\}

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

%%\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)%%

%%(x-2)(3x-1)=3(x+1)x-2(5x+1)%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=3x^2+3x-10x-2%%

Fasse zusammen.

%%3x^2-7x+2=3x^2-7x-2%%

%%\begin{array}{l}\left|-3x^2\right.\\\left|+7x\right.\end{array}%%

%%2=-2%%

=> Für x kann keine Zahl eingesetzt werden, sodass die Gleichung wahr ist.

%%L=\emptyset%%

%%\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

%%\left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

Multipliziere die Klammern aus.

(Runde Klammern haben höhere Priorität als Eckige)

%%\left[2x+6+4\right]\cdot5-10x=50%%

Fasse in der eckigen Klammer zusammen.

%%\left[2x+10\right]\cdot5-10x=50%%

%%10x+50-10x=50%%

Fasse zusammen.

%%50=50%%

Gilt für jedes x.

%%L=G%%

=> Alle Zahlen sind einsetzbar

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%6x-1,5=4-2+2x%%

Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren:
Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.

%%6x-1,5=2x+2%%

%%\left|-2x +1,5\right.%%

Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen.

%%4x=3,5%%

%%\left|:4\right.%%

Durch die Zahl vor der Variablen dividieren.

%%x=\frac{3,5}4%%

Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.

%%x=\frac{3,5\cdot2}{4\cdot2}=\frac78%%

%%\,%%

%%L=\left\{\frac78\right\}%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.

%%7-\left[-33+15x\right]=2x-1-1+4x%%

%%7+33-15x=2x-1-1+4x%%

Fasse zusammen.

%%40-15x=-2+6x%%

%%\begin{array}{l}\left|+15x\right.\\\left|+2\right.\end{array}%%

%%21x=42%%

%%\left|:21\right.%%

%%x=2%%

 

%%L=\left\{2\right\}%%

 

%%-1\frac34-0,8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8(x-4)=-\frac23(\frac3{10}x-3)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8x+3,2=-\frac15x+2+0,5%%

Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)

%%1,45-0,8x=-\frac15x+2,5%%

%%\vert+\frac15x%%

%%\mid-1,45%%

Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.

%%-0,8\mathrm x+\frac15\mathrm x=-1,45+2,5%%

Fasse zusammen.

%%-0,6x = 1,05%%

%%\mid : (-0,6)%%

      %%\mathrm x=-1,75%%

 

%%L=\{-1,75\}%%

Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst:
13x310+43x=x+116512x+2\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{3}x=-x+1\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{12}x+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen lösen

13x310+43x\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{3}x==x+116512x+2-x+1\dfrac16-\dfrac5{12}x+2
Fasse zuerst die linke Seite zusammen und bringe die Terme auf der rechten Seite auf den gleichen Nenner.
53x0,3\dfrac53x - 0{,}3==1212x+76512x+126-\dfrac{12}{12}x + \dfrac76 - \dfrac{5}{12}x + \dfrac{12}{6}
Fasse jetzt auch die rechte Seite zusammen
53x0,3\dfrac53x - 0{,}3==1712x+196-\dfrac{17}{12}x + \dfrac{19}{6}|6\cdot 6
10x202x1,8\underbrace{10x}_{\frac{20}{2}x} - 1{,}8==172x+19-\dfrac{17}{2}x + 19|+172x+1,8+ \dfrac{17}{2}x + 1{,}8
Löse nach dem x-Term auf.
372x\dfrac{37}{2}x==20,820{,}8|2\cdot 2
37x37x==41,641{,}6|:37:37
xx==208185\dfrac{208}{185}
L={208185}L=\left\{\dfrac{208}{185}\right\}

Prüfe durch Einsetzen, ob %%x=1,\;2,\;3,\;4,\;5%% eine Lösung ist :

%%\frac{90}x=x^2+21%%

1. x = 1

%%\frac{90}x=x^2+21%%

Setze ein.

%%{\textstyle90}=1+21%%

%%{\textstyle90}\neq22%%

x = 1 löst die Gleichung nicht.

2. x = 2

%%\frac{90}2=2^2+21%%

%%45=2^2+21%%

%%45=4+21%%

%%45\neq25%%

x = 2 löst die Gleichung nicht.

3. x = 3

%%\frac{90}3=3^2+21%%

%%30=3^2+21%%

%%30=9+21%%

%%30=30%%

x = 3 ist Lösung der Gleichung.

4. x = 4

%%\frac{90}4=4^2+21%%

%%22,5=4^2+21%%

%%22,5=16+21%%

%%22,5\neq37%%

x = 4 löst die Gleichung nicht.

5. x = 5

%%\frac{90}5=5^2+21%%

%%18=5^2+21%%

%%18=25+21%%

%%18\neq46%%

x = 5 löst die Gleichung nicht.

Finde die beiden Lösungen von x3=2\left|x-3\right|=2

Hierbei bezeichnet \left|…\right| den Betrag, z.B. 7=+7,  +7=+7  \left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Lösung durch Umformen der Gleichung

Die Gleichung x3=2|x-3|=2 hat zwei Lösungen. Wenn der Term x3x-3 im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist x3x-3 jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.
Also kannst du berechnen: Wann ist x3=2x-3 =2? Und wann ist x3=2x-3 = -2?
x3=2+3x=2+3x=5\begin{array}{rcll}x-3&=&2&|+3 \\x&=&2+3\\x&=&5\end{array}
Wenn x=5x = 5 ist, ist die Gleichung also erfüllt: 53=2=2|5-3|=|2|=2
x3=2+3x=2+3x=1\begin{array}{rcll}x-3&=&-2&|+3 \\x&=&-2+3\\x&=&1\end{array}
Für x=1x=1 ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: 13=2=2|1-3|=|-2|=2

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

%%\vert x-3\vert%%

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

Du erkennst in der Wertetabelle, dass x3=2|x-3|=2 für x=1x=1 und x=5x=5 gilt.

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Der Betrag x3|x-3| gibt den Abstand der Zahlen xx und 33 voneinander an.
Der Abstand zwischen xx und 33 soll 22 sein, da x3=2|x-3|=2 nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl eine links der 33 und eine Zahl rechts der 33, die zur 33 den Abstand 22 hat. Diese Zahlen sollen x1x_1 und x2x_2 heißen.
Um x1x_1 zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 22 vor und landest bei 3+2=53+2=5. Somit ist x1=5x_1=5 deine zweite Lösung.
Um x2x_2 zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei 32=13-2=1. Somit ist x2=1x_2=1 deine zweite Lösung.

Kontrolle:

x13=53=2=2      |x_1-3|=|5-3|=|2|=2 \;\;\;\checkmark
x23=13=2=2      |x_2-3|=|1-3|=|-2|=2 \;\;\;\checkmark
Forme so um, dass r2r^2 auf der linken Seite steht:
A=a+c2hπr2A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne LL, das Gleichheitszeichen == und die geschweiften Klammern {}\{\} an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata ,, trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge L={4,5,9}L =\{4,5,9\} ist, dann gib in das Feld ein: 4,5,94,5,9.
4x+4=3x+34x+4=3x+3
4x+4=3x+34x+4=3x+3
3x\left|-3x\right.

x+4=3x+4=3
4\left|-4\right.

x=1x=-1


L={1}L=\left\{-1\right\}

3x=x+53x=x+5
3x=x+53x=x+5
x\left|{-x}\right.
2x=52x=5
:2\left|{:2}\right.
x=2,5x=2,5

L={2,5}L=\left\{2,5\right\}

2x=42x=4
2x=42x=4
:2\vert:2

x=2x=2

L={2}L=\{2\}

7x9=2x+5\displaystyle 7x-9=2x+5
7x9=2x+5\displaystyle 7x-9=2x+5
2x\displaystyle |-2x
5x9=5\displaystyle 5x-9=5
+9\displaystyle |+9
5x=14\displaystyle 5x=14
:5\displaystyle |:5
x=2,8\displaystyle x=2,8
L={2,8}\displaystyle L=\{2,8\}
112x5=3\frac1{12}x-5=3
112x5=3\frac1{12}x-5=3
+5\displaystyle |+5
112x=8\frac1{12}x=8
12\displaystyle \left|\cdot12\right.
x=96\displaystyle x=96
L={96}\displaystyle L=\{96\}
8x+5=5-8x+5=-5
8x+5=5-8x+5=-5
5\left|-5\right.
8x=10-8x=-10
:(8)\left|:(-8)\right.
x=108\displaystyle x=\frac{-10}{-8}

x=108=54=1,25\displaystyle x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25

L={1,25}L=\left\{1,25\right\}
x+4=9x(5x)x+4=9x-\left(5-x\right)
124x=0\frac1{24}x=0
124x=0\frac1{24}x=0
24\left|\cdot24\right.
x=0x=0

L={0}L=\{0\}
Löse die folgenden Ungleichungen.
13x514x+3\frac13x-5\leq\frac14x+3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

13x514x+3\frac13x-5\leq\frac14x+3
+5\left|+5\right.
13x14x+8\frac13x\leq\frac14x+8
14x\left|-\frac14x\right.
13x14x8\frac13x-\frac14x\leq8
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
412x312x8\frac4{12}x-\frac3{12}x\leq8
Zusammenfassen.
112x8\frac1{12}x\leq8
121\left|\cdot\frac{12}1\right.
Durch einen Bruch zu dividieren , bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
x96x\leq96
x];96]x \in ]- \infty; 96]
2x3+5x2\frac{2-x}3+5\geq\frac x2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

Ungleichungen

2x3+5x2\frac{2-x}3+5\geq\frac x2
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
2(2x)6+53x6\frac{2(2-x)}6+5\geq\frac{3x}6
6\left|\cdot6\right.
2(2x)+303x2\left(2-x\right)+30\geq3x
42x+303x4-2x+30\geq3x
+2x\left|+2x\right.
345x34\geq5x
:5\left|:5\right.
345x\frac{34}5\geq x
x];345]x\in]-\infty;\frac{34}{5}]
12(x6)<6-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

12(x6)<6-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6
x2+3<6-\frac x2+3<6
+x2\left|+\frac x2\right.
3<6+x23<6+\frac x2
6\left|-6\right.
3<x2-3<\frac x2
2\left|\cdot2\right.
6<x-6<x
x]6;[x\in]-6;\infty[

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

3(x3)5(1x2)3\left(x-3\right)\geq5\left(1-\frac x2\right)
3x955x23x-9\geq5-\frac{5x}2
3x952,5x3x-9\geq5-2,5x
+9\left|+9\right.
3x142,5x3x\geq14-2,5x
+2,5x\left|+2,5x\right.
5,5x145,5x\geq14
:5,5\left|:5,5\right.
x145,5x\geq\frac{14}{5,5}
x2,55x\geq2,55
x[2,25;[x \in [2,25; \infty[
12(x5)>0\frac12\left(x-5\right)>0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

12(x5)>0\frac12\left(x-5\right)>0
12x2,5>0\frac12x-2,5>0
+2,5\left|+2,5\right.
12x>2,5\frac12x>2,5
2\left|\cdot\right.2
Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
x>5x>5
x]5;[x \in ]5; \infty[

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

2x+52<(3+4x)32x+\frac52<-(3+4x)-3
2x+2,5<34x32x+2,5<-3-4x-3
Zusammenfassen.
2x<8,54x2x<-8,5-4x
2,5\left|-2,5\right.
6x<8,56x<-8,5
:6\left|:6\right.

x<1712x<-\frac{17}{12}
x];1712[x \in ]- \infty;-\frac{17}{12} [

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

3<2(x2)<5-3<2(x-2)<5
3<2x4<5-3<2x-4<5
Addiere 4.
1<2x<91<2x<9
Dividiere durch 2.
12<x<92\frac12<x<\frac92
x]12;92[x \in ]\frac 12; \frac 92[
Der Term K=0,85x+24K=0,85x+24 liefert die Kosten bei der Produktion von  xx Stück einer Ware.
Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung E=1,45E=1,45 xx . Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

Die Firma erzielt einen Gewinn, sobald der Erlös höher als die Kosten ist:
0,85x+240{,}85x + 24<<1,45x1{,}45x|0,85x-0{,}85x
2424<<0,6x0{,}6x|:0,6:0{,}6
4040<<xx
x]40;;[x \in ]40;\infty;[
\Rightarrow Die Firma erzielt ab einer Stückzahl von x>40x>40 einen Gewinn.
Die Versicherung A bezahlt 90% der um 300 € verminderten Schadenssumme, die Versicherung B übernimmt 85% des um 200€ verminderten Schadens. Bis zu welcher Schadenssumme ist bei gleicher Jahresprämie die Versicherung B günstiger?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

Versicherung A

x=x=