Aufgaben

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit %%{\mathrm m}_0%% , im Jahr 1 mit %%{\mathrm m}_1%% , im Jahr 2 mit %%{\mathrm m}_2%% …, im Jahr 10 mit %%{\mathrm m}_{10}%% .

Jahr

Noch vorhandene Masse

0

%%{\mathrm m}_0%%

1

%%{\mathrm m}_1%% = %%0.9%% %%{\mathrm m}_0%%

2

%%{\mathrm m}_2%% = %%0.9%% %%{\mathrm m}_1%% = %%0.9%% ( %%0.9%% %%{\mathrm m}_0%% )= %%0.9^2%% %%{\mathrm m}_0%%

3

%%{\mathrm m}_3=0.9{\mathrm m}_2=0.9^3{\mathrm m}_0%%

%%\vdots%%

%%\vdots%%

9

%%{\mathrm m}_9=0.9{\mathrm m}_8=0.9(0.9^8{\mathrm m}_0)=0.9^9{\mathrm m}_0%%

10

%%{\mathrm m}_{10}=0.9{\mathrm m}_9=0.9(0.9^9{\mathrm m}_0)=0.9^{10}{\mathrm m}_0%% %%\approx0.3487{\mathrm m}_0%%

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

(Bierschaumzerfall)

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

a) Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

b) Berechne, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist.

c) Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken.

d) Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

a) Zerfallsgleichung

Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet %%f(t)=f_0⋅(1-p)^t%%

Setze die gegebenen Werte (%%t%% in min, %%f(t)%% in cm) ein.

%%\displaystyle \begin{align} 0,5\cdot 10 &= 10\cdot (1-p)^{3}\\ \frac{1}{2} &= (1-p)^{3}\\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} &= 1-p \\ p &=1- \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \end{align}%%

Mit dem Zerfallsfaktor %%p%% und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.

%%\displaystyle f(t)=10 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t%%

b) Schaumhöhe 1

Setze %%f(t) =1%% .

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 1 &= &10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t &|:10\\ &&&|\log\\ \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{1}{10}&=&t \\ t &\approx & 10 \end{array}%%

c) Schaumhöhe 2

Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn %%f_0 =3\cdot 2 =6%%.

Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 3 &= &f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3\\ 3 &= &f_0\cdot\frac{1}{2} &|\cdot 2\\ f_0&=&6 \end{array}%%

d) Stärkster Zerfall

Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner ist als 1. Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm  %%\mathrm f(\mathrm x)%% :

Zu text-exercise-group 13421:
mathegenie25 2018-12-18 08:53:51
Ich finde diese Aufgabe unerhört schwierig! Mein Ehemann Tom ist Mathematik-Professor und hat wirklich eine Ahnung von der Materie. Doch mein 12 jähriger Sohn Alex ist doch nicht in der Lage, eine solch schwere Aufgabe zu lösen! Bitte nehmt auch auf junge Mathematiker Rücksicht. Merci.
Simone_Heinrich 2018-12-21 08:53:44
Hallo mathegenie25,
Diese Aufgabe gehört zum Thema Wachstums- und Zerfallsprozesse, bzw. zu Exponentialfunktionen und ist somit Bestandteil der Oberstufe. Es ist also selbstverständlich, dass ein 12 Jähriger diese Aufgabe nicht lösen kann. Falls man diese Aufgabe auf Übungsseiten für die Unter- oder Mittelstufe finden kann, gebt uns bitte Bescheid.
Viele Grüße
Simone
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Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

Jahr

1984

1990

1996

2002

Fläche in 1000 ha

22

84

313

632

Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart  %%f(x)=84\, a^ x%% beschrieben wird, wie lautet dann die Basis %%a%% und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch %%\frac{1}{10}%% davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Lösungsstrategie

Zur Lösung dieser Aufgabe bieten sich unter anderem die beiden folgenden Wege an.

  • Lösung mit Hilfe der allgemeinen Formel für Zerfallsprozesse
  • Lösung mit Hilfe der allgemeinen Potenzfunktion

In beiden Fällen müssen zunächst die jeweiligen Funktionsparameter bestimmt werden. Im Anschluss kann anhand der erhaltenen Funktionsterme die Halbwertszeit ermittelt werden.

Lösung mit Hilfe der allgemeinen Formel für Zerfallsprozesse

$$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante %%\lambda%%.

$$N(183\,\mathrm{s}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}} = \frac{1}{10} \cdot N_0$$

$$\mid\,: N_0$$

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von %%\lambda%%.

$$e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}} = \frac{1}{10}$$

$$\mid \ln$$

Wende die Umkehrfunktion der %%e%%-Funktion an.

$$-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s} = \ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\ln(10)$$

$$\mid \cdot (-1)$$

Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $$\ln\left(\frac{1}{10}\right) = \ln(10^{-1}) = -\ln(10)$$

$$\lambda \cdot 183\,\mathrm{s} = \ln(10)$$

$$\mid\,:183\mathrm{s}$$

$$\lambda = -\frac{\ln(10)}{183\,\mathrm{s}}$$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit %%T%%.

$$N(T) = N_0 \cdot e^{\lambda T} = \frac{N_0}{2}$$

$$\mid\,: N_0$$

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit %%T%% sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$$e^{\lambda T} = \frac{1}{2}$$

$$\mid \ln$$

Wende die Umkehrfunktion der %%e%%-Funktion an.

$$\lambda T = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = - \ln(2)$$

$$\mid\,: \lambda$$

$$T = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\lambda} = (-\ln(2)) \cdot \left(-\frac{183\,\mathrm{s}}{\ln(10)}\right) \approx 55.088\,\mathrm{s}$$

Lösung mit Hilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung %%N(t)=b\cdot a^t%% lautet.

Ausgangssituation

%%\begin{array}{crll}N(0)&=&b\cdot a^0\\20000&=&b\cdot a^0\end{array}%%

Anfangs (t=0) sind N(0)=20000 Kerne vorhanden

%%b=20000%%

Da %%a^0=1%%, ist nun der Wert des Parameters %%b%% bekannt.

Situation nach 183 Sekunden

%% \begin{array}{crcl} N(183)&=&20000\cdot a^{183}\\ \frac{1}{10}\cdot N(0) &=& 20000\cdot a^{183} \end{array}%%

Nach 183 Sekunden existieren noch %%\frac{1}{10}%% der anfangs vorhanden Kerne. Also: %%N(183)=\frac{1}{10}\cdot N(0)%%

%%\begin{array}{crll} 2000&=&20000\cdot a^{183}\\ 0,1&=&a^{183}\\ a&=&\sqrt[183]{0,1}\\ &\approx&0,987 \end{array}%%

Löse die Gleichung nach Parameter dem %%a%% auf.

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt. $$N(t)=20000\cdot 0,987^t$$

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also: $$N(T)=\frac{1}{2}\cdot N(0)$$

%% \begin{array}{crcl} N(T)&=&\frac{1}{2}\cdot N(0)\\ 20000\cdot 0,987^T &=& \frac{1}{2} \cdot 20000\cdot 0,987^0 \end{array}%%

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm %%N(t)%%

%%\begin{array}{crll} 0,987^T&=&\frac{1}{2}\cdot 0,987^0\\ 0,987^T&=&\frac{1}{2}\\ T&=&\frac{\log{\frac{1}{2}}}{\log{0,987}}\\ T&=&52,97 \end{array}%%

Löse nach %%T%% auf.

Ergebnis

Die Halbwertszeit beträgt also %%T=52,97%% Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht deshalb von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert %%0,987%% für den Parameter %%a%% weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses %%a=\sqrt[183]{0,1}%% erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von %%T=\frac{\log{\frac{1}{2}}}{\log{\sqrt[183]{183}}}=55,088%% Sekunden.

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

  1. Wie kann man die Menge %%\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)%% des radioaktiven Jod 131 als Funktion der Zeit t angeben?

  2. Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge %%{\mathrm M}_0=400\mathrm g%% war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

  3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

Exponentielles Wachstum

Allg. Formel: %%M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)%%

Anfangswert a = %%400g%% %%=M\left(0\right)%%

Zeit %%\left[t\right]%% in Tagen

%%M\left(t\right)\;in\;g%%

%%M\left(8\right)=200g%%

Teilaufgabe a

  

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

%%400g\cdot b^8=200g%%

%%b^8=\frac12%%

%%b=\sqrt[8]{\frac12}%%

%%b\approx0,917%%

%%\rightarrow M\left(t\right)=400g\cdot0,917^t%%

   

Teilaufgabe b

     

%%M\left(1\right)=400g\cdot0,917^1%%

%%=366,8\;g%%

%%\frac{366,8}{400}=0,917=91,7\% %%

%%M\left(30\right)=400g\cdot0,917^{30}%%

%%\approx29,73\;g%%

%%\frac{29,73}{400}\approx0,074=7,4\% %%

  

Teilaufgabe c

   

%%\frac1{1000}\;g=400\;g\cdot0,917^t%%

%%\frac1{400000}\;g=0,917^t%%

%%\log_{0,917}\left(\frac1{400000}\right)=148,87%%

%%\Rightarrow%% Man musste etwa 148,87 Tage warten.

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwassseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

  1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

  2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit %%{\mathrm H}_0%% an der Wasseroberfläche.

  3. In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als %%0,01\cdot{\mathrm H}_0%% ?

Exponentielles Wachstum

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel             = %%H_0\cdot b^x=H%%

Abnahmefaktor b      = %%0,83%%

Anfangswert  %%H_0%%         = %%1\left(=100\%\right)%%

Exponent= %%\left[x\right]%% in Metern

%%\left[H\right]%% in Prozent

Der Abnahmefaktor b beträgt %%0,83%% da die Helligkeit bei jedem Meter um %%17\% %% sinkt und  somit immer das %%0,83%% -fache der vorherigen Helligkeit vorhanden ist.

Teilaufgabe a)

%%x=1m%%

%%100\%\cdot0,83=83\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=2m%%

%%83\%\cdot0,83\cdot0,83=68,89\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=5m%%

%%68,89\%\cdot0,83\cdot0,83\cdot0,83=39,39\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=10m%%

%%39.39\%\cdot0,83^5=15,52\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

Teilaufgabe b)

Formel:  %%H_0\cdot0,83^x=H%%

Teilaufgabe c)

%%H_0\cdot0,83^x%%

Kürze %%H_0%% heraus.

%%0,83^x%%

%%\log_{0,83}\left(0,01\right)%%

%%\Rightarrow%% Ab einer Teife von ca. %%24,72\;m%% beträgt die Helligkeit weniger als %%0,01\cdot{\mathrm H}_0%% .

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

  1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunde bzw. 24 Stunden vorhanden?

  2. Finde eine Formel für die Anzahl N= N(t) der Bakterien nach der Zeit t.

  3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. %%2 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3%% . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1 m³ bzw. 1 km³ einnimmt? 
    Beurteile dein Ergebnis kritisch.

Exponentielles Wachstum

Thema dieser Aufgabe ist der exponentielle Wachstum.

allg. Formel

%%=a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor

%%b%%

Anfangswert

%%a = 1%%

Exponent

%%=\left[t\right]%% in Minuten

Anzahl der Bakterien

%%\left[y\right]%%

1. Teilaufgabe

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

%%1\cdot b^{10}=2%%

%%\left|\cdot\sqrt[10]{}\right.\,%% Ermittle den Wachstumsfaktor %%b%%.

%%\sqrt[10]2=b%%

Ziehe die Wurzel.

%%b\approx1,072%%

%%\Rightarrow%% %%1,072^t=y%%

Bakterien nach einer bestimmten Zeit t

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=60%% (entspricht einer Stunde)

%%1,072^{60}\approx64%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=120%% (entspricht zwei Stunden)

%%1,072^{120}\approx4201%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=360%% (entspricht sechs Stunden)

%%1,072^{360}\approx74151975970%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=720%% (entspricht 12 Stunden)

%%1,072^{12\cdot60}\approx5498515541\cdot10^{12}%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=1440%% (entspricht 24 Stunden)

%%1,072^{24\cdot60}\approx3023367315\cdot10^{34}%%

2. Teilaufgabe

%%1\cdot1,072^t=N\left(t\right)%%

Siehe 1. Teilaufgabe.

3. Teilaufgabe

1. Volumen

Formel:

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{17}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{17}\right)\approx586,16%%

Rechne %%586,16%% Minuten in Stunden um.

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%9,77%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von %%1m^3%% erreicht hat.

2. Volumen

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1000000000\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1000000000\,m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{26}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{26}\right)=884,22%%

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%14,74%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von  %%1000000000\,m^3%% erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von %%1 \, km^3%% hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf %%1 \, m^3%% anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa %%13%% Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500€ ein.

Er erhält jählich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

  1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

  2. Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500€ verdoppelt hat?

Exponentielles Wachstum

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Erhält Hans jährlich %%2,5\% %% Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das 1,025-fache des vorherigen Betrags von 500 Euro.

   

Teilaufgabe a

   

Gesucht ist y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

= %%1%%

Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau %%1,025^1%% -fache des vorherigen Betrages gestiegen.

%%500\cdot1,025^1=512,50%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=2

Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das 1,025 fache aufgeschlagen.Ein Zuwachs von  %%1,025\cdot1,025\;%% also  %%5,1\% %% .

%%500\cdot1,025^2=525,31%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=5

%%500\cdot1,025^5=565,70%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=10

%%500\cdot1,025^{10}=640,04%% Euro

 

Teilaufgabe b

    

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Gesucht ist t

Gesucht ist hierbei die Variable %%\left[t\right]%% in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.

%%500\cdot1,025^t=1000%%

%%\left|:\;500\right.%%

%%1,025^t=2%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%\log_{1,025}\left(2\right)=t%%

%%t\approx28,2\;%% Jahre

%%\Rightarrow%% Im 29. Jahr besitzt Hans 1000 Euro auf seinem Konto.

(Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach 28,2 Jahren hat er zwar theoretisch die 1000€ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt 29 Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4% Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr 4% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

  1. … 2 Jahren gewachsen?

  2. … 10 Jahren gewachsen?

  3. … 50 Jahren gewachsen?

Teilaufgabe a

4%-tiges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das 1.04 fache vom Vorjahr beträgt.

Nach 2 Jahren also das 1.04 %%\cdot%% 1,04=1.0816 vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von 8,16%

 

Teilaufgabe b

1,0410 = 1,48024. Sie wäre also rund um das 1,5-fache gewachsen. Der Zuwachs wäre 48%.

 

Teilaufgabe c

Lösung: 1,0450 = 7,10668.

Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu %%\mathrm f(\mathrm x)=2,5^\mathrm x%%%%\mathrm g(\mathrm x)=2,5^{\mathrm x-1}%% und %%\mathrm h(\mathrm x)=0,4^\mathrm x%% .

Vergleiche die Graphen.

Löse die Gleichung %%2,5^\mathrm x=5%% graphisch.

Exponentielles Wachstum

1. Wertetabelle anlegen

%%x%%

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

%%f(x)%%

0,064

0,16

0,4

1

2,5

6,25

15,625

39,0625

%%g(x)%%

0,0256

0,064

0,16

0,4

1

2,5

6,25

15,625

%%h(x)%%

15,625

6,25

2,5

1

0,4

0,16

0,064

0,0256

2. Graphen zeichnen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9488_790G3oL5zk.xml

3. Graphen vergleichen

- g ist im Vergleich zu f um 1 nach rechts verschoben

  • h ist im Vergleich zu f an der y-Achse gespiegelt

4. Lösung der Gleichung ablesen

%%P=\left(1,76\;\left|5\right.\right)%%

Herr Meier hat eine größere Summe Geld gewonnen und legt sie für 3 Jahre zu einem Zinssatz von 2% jährlich an.
Nach 3 Jahren bekommt er von der Bank %%53\, 060,40\ €%% ausbezahlt.

Wie viel Geld hatte er angelegt?

Zinswachstum

Die allgemeine Exponentialfunktion ist:

$$y=c\cdot a^x$$

Diese Formel benötigen wir um die Aufgabe zu lösen.

Hier ist:

  • %%c%% der Anfangswert
  • %%a%% der Wachstumsfaktor mit dem Exponenten %%x%%, der die Zeit bedeutet.

Nun setzen wir die vorgegebenen Werte in die Formel ein.

%%53\,060,30€=c\cdot 1,02^3%%

Da wir c suchen, müssen wir die Formel nach c umstellen.

%%53\,060,30€=c\cdot 1,02^3 \quad|:1,02^3%%

$$\frac{53\;060,40}{1,02^3}=50\;000$$

Herr Meier hatte 50 000€ angelegt.

Frau Müller hat %%10\, 000\ €%% gespart und legt sie für 5 Jahre zu einem festen Zinssatz an. Nach 5 Jahren bekommt sie %%11\, 314,08\ €%% ausbezahlt.

Zu welchem Zinssatz war das Geld angelegt?

Zinswachstum

Wenn du bei diesem Thema noch Hilfe brauchst kannst du dir den Artikel zu Exponentiellem Wachstum nochmal anschauen.

$$y=c\cdot a^x$$

Diese Formel benötigst du, um die Aufgabe zu lösen.

Hier ist:

  • %%y%% das Ergebnis (in diesem Fall die Geldsumme die man bekommt, nachdem man das Geld angelegt hat)
  • %%c%% der Anfangswert (in diesem Fall das Geld, welches anfangs angelegt wird)
  • %%a%% der Wachstumsfaktor (in diesem Fall der Zinssatz + 1) mit dem Exponenten %%x%%, der die Zeit bedeutet.

Nun setzst du die vorgegebenen Werte in die Formel ein.

$$11\;314,08=10\;000\;\cdot\;a^5$$

Da a gesucht ist, musst du die Formel nach a umstellen.

%%11\;314,08=10\;000\;\cdot\;a^5 \quad| \div10000%%

$$\frac{11314,08}{10000}=a^5$$

Nun musst du die 5. Wurzel ziehen.

$$\begin{array}{l}\sqrt[5]{\frac{11\;314,08}{10\;000}}=\sqrt[5]{a^5}\\\sqrt[5]{\frac{11\;314,08}{10\;000}}=a\\\sqrt[5]{1,131408}=a\\1,025\approx a\\\end{array}$$

Jetzt musst du noch den Zinssatz bestimmen.

$$\begin{array}{l}1,025\cdot100\%=102,5\%=100\%\;+\;2,5\%\\\Rightarrow Zinssatz=2,5\%\\\end{array}$$

Tante Luna zeigt ihrem 13-jährigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich %%5796,37\ €%% befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir %%6719,58 \ €%%."

Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?

Zinswachstum

Wenn du bei diesem Thema noch Hilfe brauchst kannst du dir den Artikel zu Exponentiellem Wachstum nochmal anschauen.

$$f(x)=c\cdot a^x$$

Diese Formel benötigst du, um die Aufgabe zu lösen.

Hier ist:

  • %%f(x)%% das Ergebnis (in diesem Fall die Geldsumme die man bekommt bzw.bekommen kann, nachdem man das Geld angelegt hat), abhängig von %%x%%, also der Zeit in Jahren
  • %%c%% der Anfangswert (in diesem Fall das Geld, welches anfangs angelegt wird)
  • %%a%% der Wachstumsfaktor (in diesem Fall der Zinssatz + 1) mit dem Exponenten %%x%%, der die Zeit in Jahren bedeutet

Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich ein Gleichungssystem. Dazu musst du zwei Gleichungen aufstellen.

Zum einen weißt du, dass Luca als er 13 Jahre alt war, also %%5%% Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), %%5796,37€%% auf dem Konto hatte. Andererseits weißt du, dass er sobald er 18 Jahre alt ist, also %%10%% Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), %%6719,58 €%% auf dem Konto haben wird. Wenn du jetzt diese Werte in zwei Gleichungen einsetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen.

$$\begin{array}{l}I.\;f\left(5\right)=c\cdot a^5=5796,37\\II.\;f(10)=c\cdot a^{10}=6719,58\end{array}$$

Wende nun eines der Lösungsverfahren für Gleichungssysteme an. Hier eignet sich z.B das Gleichsetzungsverfahren. Hierzu musst du beide Gleichungen umformen und anschließend gleichsetzen.

$$\begin{array}{l}I.\;c\cdot a^5=5796,37\;\vert\div a^5\\\end{array}$$ $$\;I'.\;c=\frac{5796,37\;}{a^5}$$

$$\;II.\;c\cdot a^{10}=6719,58\;\vert\div a^{10}$$ $$II'.\;c=\frac{6719,58}{a^{10}}$$

$$I'.\;=II'.$$ $$\frac{5796,37\;}{a^5}=\frac{6719,58}{a^{10}}\;$$

Um die Variable aus dem Nenner zu bekommen musst du mit %%a^{10}%% erweitern.

$$\frac{5796,37\;}{a^5}=\frac{6719,58}{a^{10}}\;\;\vert\cdot a^{10}$$

$$\frac{5796,37\cdot a^{10}\;}{a^5}=\frac{6719,58\cdot a^{10}}{a^{10}}\;\;$$

Kürze die Brüche auf beiden Seiten. Dies ist aufgrund der Potenzgesetze möglich.

$$5796,37\cdot a^5\;=6719,58$$

Forme die Gleichung nach %%a⁵%% um.

$$\begin{array}{l}5796,37\cdot a^5\;=6719,58\;\vert\div5796,37\\\end{array}$$ $$a^5\;=\frac{6719,58}{5796,37}$$

$$a^5\approx1,159$$

Ziehe nun die 5. Wurzel.

$$a^5\approx1,159\;\vert\sqrt[5]{}$$

$$a\approx\sqrt[5]{1,159\;}$$ $$a\approx1,03$$

Bestimme jetzt den Zinssatz und verfasse einen Antwortsatz.

$$\begin{array}{l}1,03\cdot100\%=103\%=100\%\;+\;3\%\end{array}$$ %%\Rightarrow%% Der Zinssatz beträgt %%3\;\% %%

Setze das Ergebnis für a in eine der Anfangsgleichungen ein.

$$\;a\;in\;I'.$$ $$\;c=\frac{5796,37\;}{a^5}$$

$$\;c=\frac{5796,37\;}{1,03^5}$$

$$c=5000$$

Schreibe jetzt noch einen Antwortsatz mit der richtigen Einheit.

%%\Rightarrow%%Als Luca 8 Jahre alt war,hatte Tante Luna %%5000€%% auf der Bank angelegt.

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