Nullstellen von ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form %%f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+…+{a_2}\cdot x^{2}+{a_1}\cdot x+{a_0}%%

Beispiele sind die Funktionen %%g(x)=3x^2+2%% oder %%h(x)=7x^6+x^4-9%%.

ganzrationale Funktion


Wie du die Nullstellen einer Polynomfunktion berechnen kannst, hängt von der Form und vom Grad der Funktion ab.

  • Ist die Funktion in Linearfaktordarstellung, kannst du die Nullstellen sofort ablesen. Du musst nur betrachten, für welche Zahlen die einzelnen Faktoren Null werden.
Beispiel

%%f(x)=(x-1)(x+3)(x-2)=0%%

%%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=-3%%, %%x_3=2%%.

  • Ist nur ein Teil der Funktion in Linearfaktoren zerlegt, musst du die Nullstellen der einzelnen Faktoren teilweise mit anderen Mitteln bestimmen wie z.B. der quadratischen Lösungsformel.
Beispiel

%%f(x)=(x-1)(x^2+3x+2)=0%%

%%\Rightarrow f(x)=0%%, wenn %%(x-1)=0%% oder %%(x^2+3x+2)=0%%

  1. %%(x-1)=0%% für %%x_1=1%%

  2. Wann ist %%x^2+3x+2=0%%?

Wende hierfür die quadratische Lösungsformel an.

%%\displaystyle x_{2,3} =\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%\phantom{x_{2,3}}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm {1}}{2}%%

%%x_2=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1%%

%%x_3=\dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

%%f(x)%% hat also drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=-1%%, %%x_3=-2%%.

  • Handelt es sich um eine Summe aus einer Potenzfunktion und einer Konstanten, dann bringe die Konstante auf die andere Seite des Gleichheitszeichens und ziehe die Wurzel.
Beispiel

%%\begin{array}{rcll} f(x)= 4x^4-16 &= &0 &|+16 \\ 4x^4 &= &16 &|:4\\ x^4 &= &4 &\left|\sqrt[4]{}\right.\\ x_{1,2} &= &\pm \sqrt2 \end{array}%%

%%f(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=\sqrt2%%, %%x_2=-\sqrt2%%.

Beispiel

%%f(x)=x^2+3x+2=0%%

Wende die quadratische Lösungsformel an.

%%\displaystyle x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm {1}}{2}%%

%%x_1=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1%%

%%x_2=\dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

%%f(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=-2%%.

  • Handelt es sich um eine Polynomfunktion vom Grad %%n>2%%, gibt es unterschiedliche Vorgehensweisen bei der Nullstellenbestimmung:
Beispiel: %%x%% ausklammern

%%f(x)=x^4+3x^3+2x^2%%

%%\phantom{f(x)}=x^2(x^2+3x+2)=0%%

%%\Rightarrow f(x)=0%%, wenn %%x^2=0%% oder %%(x^2+3x+2)=0%%

  1. %%x^2=0%% für %%x_1=0%%

  2. Wann ist %%x^2+3x+2=0%%?

Wende hierfür die quadratische Lösungsformel an.

%%\displaystyle x_{2,3} =\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%\phantom{x_{2,3}}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm {1}}{2}%%

%%x_2=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1%%

%%x_3=\dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

%%f(x)%% hat eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1}=0%% und zwei Nullstellen bei %%x_2=-1%%, %%x_3=-2%%.

Beispiel: Substitution

%%f(x)=x^6+3x^3+2%%

%%\phantom{f(x)}=(x^3)^2+3x^3+2=0%%

substituiere: %%x^3=u%%.

%%f(u)=u^2+3u+2=0%%

Wende die quadratische Lösungsformel an.

%%\displaystyle u_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm {1}}{2}%%

%%u_1=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1%%

%%u_2=\dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

resubstituiere.

%%(x_1)^3=u_1%% %%\;\;\;\Rightarrow x_1=\sqrt[3]{u_1}=-1%%

%%(x_2)^3=u_2%% %%\;\;\;\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{u_2}=-\sqrt[3]{2}%%

%%f(x)%% hat zwei Nullstelen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=-\sqrt[3]{2}%% .

Beispiel: Polynomdivision

%%f(x)=x^3-6x^2+5x+12=0%%

Errate zunächst systematisch eine Nullstelle.

%%f(-1)=(-1)^3-6\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+12=-1-6-5+12=0%%

%%\Rightarrow%% %%x_1=-1%% und %%f(x)%% hat den zur Nullstelle %%x_1=-1%% gehörigen Linearfaktor %%(x+1)%%.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x+1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-7x^2+5x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-7x^2-7x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\Rightarrow f(x)=(x+1)(x^2-7x+12)%%

Wende nun die quadratische Lösungsformel auf %%x^2-7x+12=0%% an.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot 1}%%

%%\phantom{x_{2,3}}=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7\pm{1}}{2}%%

%%x_2=\dfrac{7+1}{2}=\dfrac{8}{2}=4%%

%%x_3=\dfrac{7-1}{2}=\dfrac{6}{2}=3%%

%%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=4%%, %%x_3=3%%.

Eine ausführliche Erklärung zur Nullstellenberechnung bei ganzrationalen Funktionen findest du in dem Kurs: Berechnungsmethoden - Nullstellen von Polynomfunktionen.

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