Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (2|5)

Betrachten wir nun eine Sinusfunktion der Form %%f(x)=a\cdot\sin\left(g(x)\right)%% mit %%a\neq0%%, bei der das Argument %%g(x)%% eine beliebige Funktion ist.

Da %%a\neq0%%, brauchst du bei der Nullstellenbestimmung %%a\cdot\sin(g(x))=0%% also nur %%\sin\left(g(x)\right)=0%% zu setzen. Wir wissen, dass beim Sinus gilt: %%\sin(k\cdot\pi)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%. Somit gilt zur Nullstellenbestimmung:

%%\sin\left(g(x)\right)=\sin(k\cdot\pi)=0%%

%%\Rightarrow g(x)=k\cdot\pi%%

Löse diese Gleichung nach %%x%% auf, um die Nullstellen von %%f(x)%% zu erhalten.

Fazit

Um Nullstellen der Sinusfunktion zu bestimmen, muss man prüfen, wann ihr Argument ein Vielfaches von %%\pi%% wird.

Beispiel

%%\begin{array} &f(x)=14\cdot\mathrm{sin}(3x-5)=0 \end{array}%%

Man weiß, dass %%\sin(k\cdot\pi)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%.
Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich %%k\cdot\pi%% und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcl} 3x-5&=&k\cdot\pi&|+5\\ 3x&=&k\cdot\pi+5&|:3\\ x&=&\dfrac{k\cdot\pi+5}{3} \end{array}%%

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

%%N=\left\{\dfrac{k\cdot\pi+5}{3}\;|\;k\in \mathbb Z\right\}%%

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