Aufgaben

Gegeben ist der Graph %%G_f%% einer integrierbaren Funktion %%f%%.

a) Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

b) Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion %%\displaystyle F: x\mapsto \int_{-1}^x f(t)\operatorname{d}t%% an.

Graph

Teilaufgabe a)

Durch Abzählen erhältst du links von der y-Achse:

  • 6 ganze Kästchen
  • 2 fast ganze Kästchen und
  • 3 ungefähr gedrittelte Kästchen

Macht insgesamt ca. 9 Kästchen und damit auf beiden Seiten der y-Achse ca. 18 Kästchen. Da 4 Kästchen den Flächeninhalt von 1 cm² besitzen, hast du für die Fläche unter dem Graphen %%\frac{18}{4} =4.5%%. Näherungslösungen mit einer Abweichung von %%\pm 0,25%% sind ebenfalls richtig.

Teilaufgabe b)

Die erste Nullstelle liegt bei der ersten Integrationsgrenze: %%x_1=-1%%. Für eine zweite Nullstelle muss die Fläche über der x-Achse genau so groß sein, wie die Fläche unter der x-Achse. Anhand der Kästchen siehst du, dass das ungefähr bei %%x=-2%% der Fall ist.

lsg

Sei die Funktion %%f: x\mapsto (x+1)^3-1%% gegeben. Bestimme die Fläche, die von %%f%% und ihrer Umkehrfunktion %%f^{-1}%% eingeschlossen wird.

Umkehrfunktion

Die Funktion %%f%% ist dort umkehrbar, wo sie streng monoton ist. Überprüfe die Monotonie mit der Ableitung.

%%\displaystyle f'(x)=3(x+1)^2 \gt 0%%

%%f'%% ist immer größer als null. Deshalb ist %%f%% im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

%%\displaystyle \begin{align} y &= (x+1)^3-1\\ y+1 &= (x+1)^3 \\ \sqrt[3]{y+1} &=x+1\\ \sqrt[3]{y+1}-1 &= x\\ \Rightarrow f^{-1}(x)&=\sqrt[3]{x+1}-1 \end{align}%%

Da die dritte Wurzel nur auf %%\mathbb{R}_0^+%% definiert ist, hast du für den Definitionsbereich von %%f^{-1}: \mathbb{D}_{f^{-1}}= [-1;\infty[%%.

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} (x+1)^3-1&=&\sqrt[3]{x+1}-1 &|+1 \\ (x+1)^3&=&\sqrt[3]{x+1} &|^3 \\ \text{Sei } x\neq -1:\\ (x+1)^9 &=& x+1 &|:(x+1) \\ (x+1)^8 &=& 1 &|\sqrt[8]{} \\ x+1 &=& \pm 1 &|-1\\ x_1 &=& 0\\ x_2 &=& -2 \end{array}%%

Betrachte den Fall %%x=-1%%:

%%\displaystyle\begin{array}{rcll} (-1+1)^3-1&=&\sqrt[3]{-1+1}-1 \\ 0 &=& 0\\ x_3 &=&-1 \end{array}%%

Berechne jetzt die Fläche %%A%% zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt im kleineren Definitionsbereich.

%%\displaystyle \begin{align} A &= \left|\int_{-1}^{0}f(x)-f^{-1}(x)\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\int_{-1}^{0}(x+1)^3-1-\sqrt[3]{x+1}+1\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\int_{-1}^{0}(x+1)^3-(x+1)^{\frac{1}{3}}\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\left[\frac{1}{4}(x+1)^4-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(x+1)^{\frac{1}{3}+1}\right]_{-1}^{0}\right|\\ &= \left|\frac{1}{4}(0+1)^4-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(0+1)^{\frac{1}{3}+1}-\frac{1}{4}(-1+1)^4+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(-1+1)^{\frac{1}{3}+1}\right|\\ &= \left| \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right| \\ &= \frac{1}{2} \end{align}%%

Graphen

7369_ezi7vPbkTL.xml

Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

    

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt %%\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right)%% und dem Tiefpunkt %%\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right)%% .

Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

   

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Berechne nun A.

7367_2BCuwd8DkJ.xml

Die Parabel mit dem Scheitel %%\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)%% und der Graph der Funktion f mit %%\mathrm f(\mathrm x)=1+0,5\cdot\mathrm x^3%% schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                     

Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

7359_xtTc7wtcR4.xml

Die Graphen der Funktionen %%\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2%% und %%\mathrm g(\mathrm x)=0,5\mathrm x^2+0,5%% schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

      

  

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

Schnittpunkte berechnen

%%f(x)=2-x^2%%

%%g(x)=0,5x^2+0,5%%

Man setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

%%f(x)=g(x)%%

%%\Rightarrow\;2-x^2=0,5x^2+0,5%%

Gleichung umformen.

%%x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1%%

Schnittstellen erhalten.

Flächenbestimmung

Aus der Skizze ersieht man, dass %%f%% die obere Funktion ist.

%%A=\int_{-1}^1f(x)-g(x)dx%%

%%=\int_{-1}^11,5-1,5x^2dx%%

Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird.

%%=\lbrack1,5x-0,5x^3\rbrack_{-1}^1%%

%%=\lbrack1,5x-0,5x^3\rbrack_{-1}^1%%

Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.

%%=(1,5*1-0,5*1^3)-(1,5*(-1)-0,5*(-1)^3)%%

%%=1-(-1)=2%%

Die eingeschlossene Fläche %%A%% zwischen den beiden Funktionen beträgt also 2 FE.

7351_DfoSmokkw6.xml

Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen %%\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x^2+2%%   und %%\mathrm g(\mathrm x)=-0,5\mathrm x+1%% .

Man erkennt: %%\mathrm f(\mathrm x)>\mathrm g(\mathrm x)%% für alle %%\mathrm x\in\mathbb{R}%% .

Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen %%{\mathrm x}_1=-1%% und %%{\mathrm x}_2=1,5%% .

Zeichne diese Fläche ein.

%%f(x)=3+sin(x),\;D_f=\mathbb{R}%%

  1. Berechne  %%\int_0^1f(x)\mathrm{dx}%% ; %%\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx}%% ; %%\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}%%.

  2. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen %%G_f%% , der y-Achse und der Geraden %%y=2\operatorname{\pi}%% im Bereich von 0 bis %%\mathrm\pi%%.

Teilaufgabe a

Integrieren

0 bis 1

%%\int_0^1\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}%%

%%=\left[3x-\cos x\right]_0^1%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.

%%=\left(3\cdot1-\cos1\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)%%

Klammern auflösen, %%cos(0)=1%%.

%%=3-\cos1+1%%

%%=4- \cos1\approx3,4597%%

0 bis %%\mathrm\pi%%

%%\int_0^\mathrm\pi\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}%%

%%=\left[3x-\cos x\right]_0^1%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze (%%\mathrm\pi%%) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.

%%=\left(3\cdot\mathrm\pi-\cos\mathrm\pi\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)%%

Klammern auflösen, %%\cos0=1;\;\cos\mathrm\pi=-1%% .

%%=3\cdot\mathrm\pi-1+1%%

%%=3\mathrm\pi\approx9,4248%%

%%\frac{\mathrm\pi}3%% bis %%2\mathrm\pi%%

%%\int_\frac{\pi}3^{2\operatorname{\pi}}\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}%%

%%=\left[3x-\cos x\right]_\frac{\mathrm\pi}3^{2\mathrm\pi}%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze ( %%2\mathrm\pi%% ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze %%\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)%% gerechnet.

%%=\left(3\cdot2\mathrm\pi-\cos\left(2\mathrm\pi\right)\right)-\left(3\cdot\frac{\mathrm\pi}3-\cos\frac{\mathrm\pi}3\right)%%

Klammern auflösen, %%\cos\left(2\mathrm\pi\right)=1;\;\cos\frac{\mathrm\pi}3=0,5%% .

%%=6\mathrm\pi-1-\mathrm\pi+0,5%%

%%=5\mathrm\pi-0,5\approx15,208%%

 

Teilaufgabe b

Flächeninhalt berechnen

%%f(x)=3+\mathrm{sinx}%%

%%g\left(x\right)=2\mathrm\pi%%

%%A=\int_0^\mathrm\pi\left(2\mathrm\pi-\left(3+\sin x\right)\right)dx%%

Integral aufstellen.

%%=\int_0^\mathrm\pi\left(2\mathrm\pi-3-\sin x\right)dx%%

%%=\left[2\mathrm{πx}-3x+\cos x\right]_0^\mathrm\pi%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze (%%\mathrm\pi%%) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.

%%=\left(2\pi\cdot\mathrm\pi-3\cdot\mathrm\pi+\cos\mathrm\pi\right)-\left(2\pi\cdot0-3\cdot0+\cos0\right)%%

Klammern auflösen, %%\cos\left(\mathrm\pi\right)=-1,\;\cos\left(0\right)=1%%.

%%=2\mathrm\pi^2-3\mathrm\pi-1-1%%

%%=2\mathrm\pi^2-3\mathrm\pi-2\approx8,3144%%

%%f(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}%%

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das %%G_f%% und die x-Achse einschließen.

Nullstellen berechnen

%%f(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2%%

Funktion mit 0 gleichsetzen.

%%0=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2%%

%%x^2%% ausklammern.

%%0=x^2\cdot\left(\frac19x^2-\frac89x^1+2\right)%%

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei %%x=0%%.

Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

%%0=\frac19x^2-\frac89x^1+2%%

Test, ob weitere Nullstellen existieren.

%%\Rightarrow%% Diskriminante bestimmen.

%%D=\left(-\frac89\right)^2-4\cdot\frac19\cdot2%%

Ausmultiplizieren.

%%=\frac{64}{81}-\frac89%%

Brüche subtrahieren .

%%=-\frac8{81}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nichtnegativ sind und die Funktion %%\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim f(x)}%% gegen +%%\infty%% strebt, ist das Integral %%\int_{-\infty}^\infty f(x)%% und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.

%%f_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}%%

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und %%G_{f_t}%% liegt.

Nullstellen berechnen

%%f_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t%%

Setze die Funktion %%f_t%% gleich 0.

%%0=-\frac19(t-3)x^2+t%%

%%0=-\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t%%

%%\left|-t;\;\cdot9\right.%%

%%-9\cdot t=-t\cdot x^2+3\cdot x^2%%

%%x^2%% ausklammern.

%%-9\cdot t=x^2\cdot\left(-t+3\right)%%

%%\vert:(-t+3)%% für alle %%t\neq3.%% Sonderfall: %%t=3%% %%\Rightarrow%% %%f_{3}=3%% konstant ohne Nullstelle.

%%x^2=\frac{-9\cdot t}{-t+3}%%

Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%x=\pm\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}%%

Die Wurzel ist nur für nichtnegativen Radikanten definiert.

Dieser ist positiv, wenn %%t>3%% oder %%t<0%% ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

Falls %%t=0%% ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

Eine Fläche wird also nur im Fall %%t>3%% oder %%t<0%% eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

Integrieren

%%A'=\int_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(-\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t\right)dx%%

Nun wird die gesuchte Fläche %%A=|A'|%% mittels Integration bestimmt.

%%=\left[-\frac{t\cdot x^3}{9\cdot3}+\frac{3\cdot x^3}{9\cdot3}+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}%%

%%=\left[-\frac{t\cdot x^3}{27}+\frac{x^3}9+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}%%

%%\begin{array}{l}=\left(-\frac{t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}{27}+\frac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}9+t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\\-\left(-\frac{t\cdot\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}{27}+\frac{\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}9+t\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\right)\end{array}%%

In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitern.

%%=\frac{-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}%%

%%=\frac{-2\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+6\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+54\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}%%

Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.

Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls %%t\in\mathbb{R}\backslash\lbrack0;3\rbrack%%.

Anschaulich schließen %%f%% und die x-Achse für %%t\in\lbrack0;3\rbrack%% keine Fläche ein.

%%f(x)=\frac38x^3-\frac32x,\;D_f=\mathbb{R}%%

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die %%G_f%% im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von %%G_f%% und der Geraden eingeschlossen ist.

Hochpunkt bestimmen

Ableitungen bilden

%%f(x)=\frac38x^3-\frac32x%%

Ableiten einer Polynomfunktion

%%f'(x)=\frac98x^2-\frac32%%

Ableiten einer Polynomfunktion

%%f''(x)=\frac{18}8x=\frac94x%%

 

x-Koordinaten bestimmen

 

%%f'(x)=\frac98x^2-\frac32%%

Erste Ableitung %%f'(x)%% mit 0 gleichsetzen.

%%0=\frac98x^2-\frac32%%

%%\left|{+\frac32}\right.%%

%%\frac32=\frac98x^2%%

%%\left|{:\frac98}\right.%%

%%\frac43=x^2%%

%%\pm\sqrt{\frac43}=x%%

%%2=\sqrt4%% lässt sich aus der Wurzel herausziehen.

%%\pm2\cdot\sqrt{\frac13}=x%%

 

 

Art der Extrema bestimmen

%%f''(x)=\frac94x%%

%%f''(2\cdot\sqrt{\frac13})=\frac94\cdot2\cdot\sqrt{\frac13}%%

Gefundenen Kandidaten %%x=2\cdot\sqrt{\frac13}%% in die zweite Ableitung einsetzen.

%%=\frac92\cdot\sqrt{\frac13}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Tiefpunkt, da die zweite Ableitung %%>0%%.

%%f''(x)=\frac94x%%

Gefundenen Kandidaten %%x=-2\cdot\sqrt{\frac13}%% einsetzen.

%%f''(-2\cdot\sqrt{\frac13})=\frac94\cdot\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac13}%%

 

%%=-\frac92\cdot\sqrt{\frac13}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Gesuchter Hochpunkt, da die zweite Ableitung %%<0%%.

 

 

y-Koordinaten bestimmen

 

%%f(x)=\frac38x^3-\frac32x%%

Gefundenes %%x=-2\cdot\sqrt{\frac13}%% einsetzen.

%%f(-2\cdot\sqrt{\frac13})=\frac38\cdot(-2\cdot\sqrt{\frac13})^3-\frac32\cdot(-2\cdot\sqrt{\frac13})%%

Potenzen auflösen.

%%=-\frac38\cdot\frac83\cdot\sqrt{\frac13}-\frac32\cdot(-2\cdot\sqrt{\frac13})%%

%%=-\sqrt{\frac13}+3\cdot\sqrt{\frac13}=2\cdot\sqrt{\frac13}\approx1,155%%

 

 

 

Ursprungsgerade aufstellen

Steigung bestimmen

Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.

%%m=\frac{2\cdot\sqrt{\frac13}}{-2\cdot\sqrt{\frac13}}%%

Mit %%\sqrt{\frac13}\neq0%% kürzen .

   %%=-1%%

 

 

 

Gleichung aufstellen

 

Steigung %%m%% und y-Achsenabschnitt %%t%% in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.

%%y(x)=-x%%

%%m=-1%%, %%t=0%%, da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.

 

 

 

Schnittpunkte bestimmen

%%f(x)=\frac38x^3-\frac32x%%

%%y(x)=-x%%

Beide Funktionen werden gleichgesetzt (%%f(x)=y(x)%%).

%%-x=\frac38x^3-\frac32x%%

%%\left|{+x}\right.%%

%%0=\frac38x^3-\frac12x%%

%%x%% wird ausgeklammert .

%%0=x\cdot\left(\frac38x^2-\frac12\right)=x\cdot(x-2\sqrt{\frac13})\cdot(x+2\sqrt{\frac13})\cdot\frac38%%

 

   %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.

 

 

Obere Funktionen ermitteln

 

Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle %%I_1=\rbrack-2\cdot\sqrt{\frac13};0\lbrack%% und %%I_2=\rbrack0;2\cdot\sqrt{\frac13}\lbrack%% zwischen den Schnittpunkten.

Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus %%I_1%% bzw. %%I_2%% in beide Funktionen eingesetzt.

Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von %%f(x)-y(x)%%, um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.

Gewählt wird also beispielsweise der Punkt %%x_0=-0,5\in I_1%% .

%%f(x)=\frac38x^3-\frac32x%%

%%x_0=-0,5%% einsetzen.

%%f(-0,5)=\frac38\cdot\left(-0,5\right)^3-\frac32\cdot\left(-0,5\right)\approx0,70%%

 

%%y(x)=-x%%

%%x_0=-0,5%% einsetzen.

%%y(-0,5)=0,5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f%% den höheren Funktionswert bei %%x_0%% besitzt und sich %%x_0%% zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz %%I_1%% die obere Funktion.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In %%I_2%% ist %%y%% aufgrund der Punktsymmetrie von %%y%% und %%f%% die obere Funktion.

 

 

Fläche berechnen

Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte. Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.

Für eine punktsymmetrische Funktion %%g%% gilt, dass %%\int_{-a}^ag(x)dx=0,\;mit\;a\in\mathbb{R}%%.

Also berechnet sich die %%Gesamtfläche%% als %%2\cdot\vert\int_{-a}^0g(x)dx\vert,\;mit\;a\in\mathbb{R}%%.

Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.

%%A=2\cdot\int_{-2\cdot\sqrt{\frac13}}^0\left(\left(\frac38x^3-\frac32x\right)-\left(-x\right)\right)\mathrm{dx}%%

Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.

%%=2\cdot\int_{-2\cdot\sqrt{\frac13}}^0\left(\frac38x^3-\frac12x\right)\mathrm{dx}%%

Integriere den Ausdruck.

%%=2\cdot\left[\frac3{8\cdot4}x^4-\frac1{2\cdot2}x^2\right]_{-2\cdot\sqrt{\frac13}}^0%%

%%=2\cdot\left[\frac3{32}x^4-\frac14x^2\right]_{-2\cdot\sqrt{\frac13}}^0%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze %%0%% eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze %%-2\cdot\sqrt{\frac13}%% gerechnet.

%%=2\cdot\left[\left(\frac3{32}\left(0\right)^4-\frac14\left(0\right)^2\right)-\left(\frac3{32}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac13}\right)^4-\frac14\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac13}\right)^2\right)\right]%%

Innere Klammern ausmultiplizieren.

%%=-2\cdot\left(\frac3{32}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac13}\right)^4-\frac14\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac13}\right)^2\right)%%

%%=-2\cdot\left(\frac3{32}\cdot\frac{16}9-\frac14\cdot\frac43\right)%%

 

%%=-2\cdot\left(\frac16-\frac13\right)%%

 

%%=-2\cdot\left(-\frac16\right)=\frac13%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die %%Gesamtfläche\;A%% beträgt also %%\frac13%% FE.

Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

 

%%f:\;x\mapsto x^2-4x+1%% ;

%%g:\;x\mapsto-x^2+6x-7%% ;    %%D_f=D_g=\mathbb{R}%%

Schnittpunkte berechnen

 

%%f\left(x\right)=x^2-4x+1%%

 

%%g\left(x\right)=-x^2+6x-7%% ;    %%D_f=D_g=ℝ%%

Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.

%%f(x)=g(x)%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%x^2-4x+1=-x^2+6x-7%%

Umformen.

%%2x^2-10x+8=0%%

%%x_{1/2}=\frac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8}}{2\cdot2}%%

 

%%x_{1/2}=\frac{10\pm\sqrt{36}}4=\frac{10\pm6}4%%

 

%%\begin{array}{l}x_1=4\\x_2=1\end{array}%%

%%x_1%% und  %%x_2%%  sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.

 

 

Fläche berechnen

%%A=\int_1^4\left(\left(-x^2+6x-7\right)-\left(x^2-4x+1\right)\right)dx%%

'obere minus untere' Funktion.

(Einfach Punkt zwischen den Schnittpunkten auswählen, in beide Funktionen einsetzen und somit ermitteln, welcher Wert größer ist.)

%%=\int_1^4\left(-x^2+6x-7-x^2+4x-1\right)dx%%

Man löst die Klammern auf und fasst die Terme zusammen.

%%=\int_1^4\left(-2x^2+10x-8\right)dx%%

Integration des Integranden.

%%=\left[-\frac23x^3+\frac{10}2x^2-8x\right]_1^4%%

Nun rechter minus linker Schnittpunkt. Einfach für %%x%% in die integrierte Gleichung einsetzen.

%%=\left(-\frac23\cdot\left(4\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(4\right)^2-8\cdot\left(4\right)\right)-\left(-\frac23\cdot\left(1\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(1\right)^2-8\cdot\left(1\right)\right)%%

%%=\left(-\frac23\cdot64+\frac{10}2\cdot16-32\right)-\left(-\frac23\cdot1+\frac{10}2\cdot1-8\right)%%

%%=-\frac{128}3+48+\frac23+3=9%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.

%%a(x)=6-\frac1{24}x^2,\;D_a=\mathbb{R}%%

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen %%G_a%% und der x-Achse.

Nullstellen berechnen

%%a(x)=6-\frac1{24}x^2%%

Setze die Funktion %%a%% mit 0 gleich.

%%0=6-\frac1{24}x^2%%

%%\left|+\frac1{24}x^2\right.%%

%%\frac1{24}x^2=6%%

%%\left|\cdot24\right.%%

%%x^2=144%%

%%x=\pm12%%

 

Flächenstück bestimmen

%%a(x)=6-\frac1{24}x^2%%

Flächenstück wird durch die Schnittpunkte begrenzt. Ansatz für die Fläche %%A%%.

%%A(x)=\int_{-12}^{12}\left(6-\frac1{24}x^2\right)dx%%

%%=\left[6x-\frac1{24\cdot3}x^3\right]_{-12}^{12}%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Grenze (12) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (-12) gerechnet.

%%=\left(6\cdot12-\frac1{24\cdot3}\cdot12^3\right)-\left(6\cdot\left(-12\right)-\frac1{24\cdot3}\cdot\left(-12\right)^3\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%=72-\frac{1728}{72}+72-\frac{1728}{72}%%

Der Bruch lässt sich mit 72 kürzen.

%%=72-{\textstyle24}+72-{\textstyle24}%%

%%=96%%

%%\Rightarrow%% Das Flächenstück beinhaltet 96 FE.

Berechne die zwischen %%G_f%% und der %%x%%-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen %%f%%:

%%f\left(x\right)=2-x-x^2%%

Schnittpunkte berechnen

%%f\left(x\right)=2-x-x^2%%

Mit der x-Achse (%%y=0%%) gleichsetzen.

%%-x^2-x+2=0%%

%%x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}%%

%%=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{-2}%%

%%=\frac{1\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{1+3}{-2}=-2%%

%%x_2=\frac{1-3}{-2}=1%%

Flächenberechnung

%%f\left(x\right)=2-x-x^2%%

Integral aufstellen.

%%\int_{-2}^1\left(-x^2-x+2\right)\mathrm{dx}=%%

%%=\left[-\frac{x^3}3-\frac{x^2}2+2x\right]_{-2}^1%%

In die Klammer wird für %%x%% der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.

%%=\left(-\frac{1^3}3-\frac{1^2}2+2\cdot1\right)-\left(-\frac{\left(-2\right)^3}3-\frac{\left(-2\right)^2}2+2\cdot\left(-2\right)\right)%%

Zähler berechnen.

%%=\left(-\frac13-\frac12+2\right)-\left(-\frac{-8}3-\frac42-4\right)%%

Klammern auflösen.

%%=-\frac13-\frac12+2-\frac83+\frac42+4%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

%%=-\frac93+\frac32+6%%

 

%%=\frac92=4,5%%

 

%%f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)%%

%%f\left(x\right)=x^2\cdot\left(x+2\right)%%

Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.

%%0=x^2%%

An der Stelle %%x=0%% ist also eine zweifache Nullstelle.

%%x_{1,2}=0%%

%%0=x+2 \Rightarrow x_3=-2%%

An der Stelle %%x=-2%% ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

%%f\left(x\right)=x^2\cdot\left(x+2\right)%%

Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.

%%f\left(x\right)=x^3+2x^2%%

Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.

%%\displaystyle A=\int_{-2}^0\left(x^3+2x^2\right)\operatorname{d}x%%

Ermittle die Stammfunktion.

%%\displaystyle=\left[\frac14x^4+2\cdot\frac13x^3\right]_{-2}^0%%

In die Klammer wird für %%x%% die rechte Schnittstelle (0) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle (-2) gerechnet.

%%\displaystyle=0-\left(\frac14\left(-2\right)^4+\frac13\cdot2\left(-2\right)^3\right)%%

%%=-\left(\dfrac{16}4-\dfrac{16}3\right)%%

Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.

%%=-\dfrac{48}{12}+\dfrac{64}{12}%%

Addiere die Summanden und kürze den Bruch.

%%=\dfrac43%%

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