Aufgaben

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:

%%f(x)=\left(1-x\right)\ln(1-\frac1x);\;D_f=D_\max%%

Definitionsbereich bestimmen

Definitionslücke des Bruchs

%%f(x)=\left(1-x\right)\ln\left(1-\frac1x\right)%%

Setze den Nenner des Bruches gleich 0.

%%x=0%%

 

Definitionslücken des Logarithmus

%%f(x)=\left(1-x\right)\ln\left(1-\frac1x\right)%%

Der Logarithmus muss immer größer als 0 sein.

%%1-\frac1x>0%%

%%\left|+\frac1x\right.%%

           %%1>\frac1x%%

%%\left|\cdot x\right.%% Fallunterscheidung für x >/< Null

  1. Fall: x>0

           %%x>{\textstyle1}%%

  1. Fall: x<0

           %%x<0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left[0\;;\;1\right]%%

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=\left(1-x\right)\ln\left(1-\frac1x\right)%%

Erste Klammer gleich 0 setzen.

%%1-x=0%%

%%\left|+x\right.%%

%%x=1%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .

%%f(x)=\left(1-x\right)\ln\left(1-\frac1x\right)%%

Der ln ist 0 wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für %%\ln\left(1-\frac1x\right)%% .

 

1. Ableitung

%%f(x)=\left(1-x\right)\cdot\ln\left(1-\frac1x\right)%%

u= %%\left(1-x\right)%% und v= %%\left(\ln\left(1-\frac1x\right)\right)%% getrennt ableiten.

Für v muss mit der Ableitung vom Inneren des ln nachdifferenziert werden.

%%u`=-1,\;v`=\frac1{1-\displaystyle\frac1x}\cdot\frac1{x^2}%%

v ausmultiplizieren.

%%u`=-1,\;v`=\frac1{x^2-x}%%

%%f`\left(x\right)=-1\cdot\ln\left(1-\frac1x\right)+\left(1-x\right)\cdot\frac1{x^2-x}%%

            %%=-\ln\left(1-\frac1x\right)+\frac{1-x}{x^2-x}%%

Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern .

            %%=-\ln\left(1-\frac1x\right)-\frac{x-1}{x\left(x-1\right)}%%

Mit %%\left(x-1\right)%% kürzen .

            %%=-\ln\left(1-\frac1x\right)-\frac1x%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\ln\left(1-\frac1x\right)-\frac1x%%

Im ln 1 mit x erweitern und dann davon %%\frac1x%% subtrahieren .

            %%=-\ln\left(\frac{x-1}x\right)-\frac1x%%

Ableiten.

Den  ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: %%u`=1,\;v`=1%% .

%%f``\left(x\right)=-\left(\frac x{x-1}\cdot\frac{1\cdot x-\left(x-1\right)\cdot1}{x^2}\right)+\frac1{x^2}%%

In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren .

             %%=-\frac{x-\left(x-1\right)}{x^2-x}+\frac1{x^2}%%

Ersten Zähler berechnen und im Nenner x ausklammern .

              %%=-\frac1{x\cdot\left(x-1\right)}+\frac1{x^2}%%

Alle Brüche auf den Hauptnenner %%x^2\cdot\left(x-1\right)%% erweitern .

              %%=-\frac x{x^2\cdot\left(x-1\right)}+\frac{\left(x-1\right)}{x^2\cdot\left(x-1\right)}%%

              %%=-\frac1{x^2\cdot\left(x-1\right)}%%

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=12ln(x21)f(x)=\frac1{2-\ln(x^2-1)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenner


f(x)=12ln(x21)f(x)=\frac1{2-\ln(x^2-1)}

Der Nenner ist dann 0, wenn ln(x21)=2\ln\left(x^2-1\right)=2 ist.
ln(x21)=2\ln\left(x^2-1\right)=2
e(...)\vert e^{(...)}anwenden.
e2=x21e^2=x^2-1
+1\left|+1\right.
x2=e2+1x^2=e^2+1
x=±e2+1x=\pm\sqrt{e^2+1}

x1=e2+1,  x2=e2+1x_1=-\sqrt{e^2+1},\;x_2=\sqrt{e^2+1}




Definitionsbereich des Logarithmus


f(x)=12ln(x21)f(x)=\frac1{2-\ln(x^2-1)}
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
x21>0x^2-1>0
+1\left|+1\right.
x2>1x^2>1
x>1x>1 oder x<1 x < 1

\Rightarrow    Df=];    1[  D_f=\rbrack-\infty;\;\;-1\lbrack\;\cup   ]1;  +[  \  {e2+1,  e2+1}\;\rbrack1;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;\left\{-\sqrt{e^2+1},\;\sqrt{e^2+1}\right\}



Nullstellenbestimmung

\Rightarrow   Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen .



Ableitungen bilden



1. Ableitung


f(x)=12ln(x21)f(x)=\frac1{2-\ln(x^2-1)}
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
=(2ln(x21))1={\textstyle\left(2-\ln(x^2-1)\right)}^{-1}
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten
f(x)=(2ln(x21))2(1x212x)f`\left(x\right)=-{\textstyle\left(2-\ln(x^2-1)\right)}^{-2}\cdot\left(-\frac1{x^2-1}\cdot2x\right)

=2x(x21)(2ln(x21))2=\frac{2x}{\left(x^2-1\right)\cdot\left(2-\ln(x^2-1)\right)^2}



Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

%%f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2};\;D_f=D_\max%%

%%f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2}%%

Um die Definitionslücken zu finden, benötigst du die Nullstellen des Nenners. Setze den Nenner des  Bruchs gleich 0.

%%1-\left(\ln x\right)^2=0%%

%%\left|+\left(\ln x\right)^2\right.%%

               %%1=\left(\ln x\right)^2%%

               %%1=\pm\ln x%%

1. Fall: +lnx

%%1=\ln x%%

ln anwenden.

%%e=x%%

2.Fall: -lnx

%%1=-\ln x%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%-1=\ln x%%

ln anwenden.

   %%x=e^{-1}%%

Potenzgesetz anwenden.

   %%x=\frac1e%%

 

Definitionsbereich des Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

%%\mathrm x>0%%

  %%\Rightarrow%%   %%D_f=\;\rbrack\;0;\;\infty\;\lbrack\;\backslash\;\left\{\;\frac1e;\;e\right\}%%

 

%%f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\textstyle1+(\mathrm{lnx})^2=0%%

Durch das quadrieren kann der zweite Summand nicht negativ werden.

  %%\Rightarrow%%   Die Funktion hat keine Nullstellen .

 

%%f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs (jeweils unter Verwendung der Kettenregel ).

%%\mathrm u`=2\cdot\mathrm{lnx}\cdot\frac1{\mathrm x},\;\mathrm v`=-2\cdot\mathrm{lnx}\cdot\frac1{\mathrm x}%%

Quotientenregel anwenden.

%%f'(x)=\dfrac{2\cdot lnx\cdot\frac{1}{x}\cdot (1-(lnx)^2)-(-2)\cdot lnx\cdot \frac 1 x \cdot (1+(lnx)^2)}{(1-(lnx)^2)^2}%%

%%\frac1x%% ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren .

          %%=\dfrac{{\displaystyle\frac1x}\cdot\left(2\cdot\ln x-2\cdot\left(\ln x\right)^3+2\cdot\ln x+2\cdot\left(\ln x\right)^3\right)}{\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

          %%=\frac{4\cdot\ln x}{x\cdot\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}%%

Diskutiere folgende Funktionen:

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%\sqrt\;%% ziehen .

   %%x=0%%

 

Definitionslücken des Logarithmus

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Der  ln muss immer positiv sein.

%%\frac{x+2}{x^2}>0%%

%%\left|\cdot x^2\right.%% Da %%x^2%% immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.

%%{\textstyle x}{\textstyle+}{\textstyle2}>\textstyle0%%

%%\left|-2\right.%%

%%{\textstyle x}>\textstyle-\textstyle2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}%%

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

lnx ist für x=1 gleich 0.

%%\frac{x+2}{x^2}=1%%

%%\left|\cdot x^2\right.%%

%%x+2\;=\;x^2%%

%%\left|-x^2\right.%%

%%-x^2+x+2\;=\;0%%

%%x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}%%

        %%\;=\frac{-1\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{-1+3}{-2}=-1,\;x_2=\frac{-1-3}{-2}=2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{NST}\left(-1\;\left|\;0\right.\right),\;\mathrm{NST}\left(\left.2\;\right|\;0\right)%%

 

1. Ableitung

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

%%u`=1,\;v`=2x%%

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten , nachdifferenzieren mit der Quotientenregel .

%%\mathrm f`(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2}{\mathrm x+2}\cdot\frac{1\cdot\mathrm x^2-\left(\mathrm x+2\right)\cdot2\mathrm x}{\mathrm x^4}%%

          %%=\frac{\mathrm x^2}{\mathrm x+2}\cdot\frac{\mathrm x^2-2\mathrm x^2-4\mathrm x}{\mathrm x^4}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

          %%=\frac{\mathrm x^2}{\mathrm x+2}\cdot\frac{-\mathrm x^2-4\mathrm x}{\mathrm x^4}%%

          %%=\frac{-\mathrm x-4}{\mathrm x^2+2x}%%

 

2. Ableitung

%%\mathrm f`(\mathrm x)=\frac{-\mathrm x-4}{\mathrm x^2+2x}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').

%%\mathrm u`=-1,\;\mathrm v`=2\mathrm x+2%%

Quotientenregel anwenden.

%%\mathrm f``\left(\mathrm x\right)=\frac{\left(\mathrm x^2+2x\right)\cdot\left(-1\right)-\left(-\mathrm x-4\right)\cdot\left(2\mathrm x+2\right)}{\left(\mathrm x^2+2x\right)^2}%%

Ausmultiplizieren

            %%=\frac{-\mathrm x^2-2x+2\mathrm x^2+2x+8\mathrm x+8}{\left(\mathrm x^2+2x\right)^2}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

            %%=\frac{\mathrm x^2+8\mathrm x\;+8}{\left(\mathrm x^2+2x\right)^2}%%

 

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

%%-x-4\;=\;0%%

Zum bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%x\;=\;-4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema .

 

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

%%\mathrm f``\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x^2+8x+8}{\left(\mathrm x^2+2x\right)^2}%%

Zum bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%\textstyle\mathrm x^2+8\mathrm x+8=0%%

%%{\mathrm x}_{1;2}=\frac{-8\pm\sqrt{64-32}}2=-4\pm2\sqrt2%%

%%\mathrm f\left({\mathrm x}_1\right)=\ln\frac{-2+2\sqrt2}{\left(-4+2\sqrt2\right)^2}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da bei %%{\mathrm x}_2%% das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für %%{\mathrm x}_1%% einen Wendepunkt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(-4\pm2\sqrt2\;\left|\;ln\frac{-2+2\sqrt2}{\left(-4+2\sqrt2\right)^2}\right.\right)%%

 

Grenzwertbetrachtung

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und %%+\infty%% .

 

Grenzwert bei 0

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{x+2}{x^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^-}^2}_{\rightarrow0^+}}=\ln\frac2{0^+}=+\infty%%

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{x+2}{x^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^+}^2}_{\rightarrow0^+}}=\ln\frac2{0^+}=+\infty%%

 

Grenzwert bei -2

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Annäherung von rechts

%%\lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{x+2}{x^2}=%%

%%\lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{\overbrace{\overbrace x^{\rightarrow-2^-}+2}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{x^2}_{\rightarrow4}}=\ln0^+=-\infty%%

 

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{x+2}{x^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{\overbrace{\displaystyle\frac x{x^2}}^{\rightarrow0^+}+\overbrace{\displaystyle\frac2{x^2}}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}_{\rightarrow1}}=\ln\frac{0^+}1=-\infty%%

 

Symmetrieverhalten

%%f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}%%

Setze -x für x ein.

%%f(-x)=\ln\frac{-x+2}{\left(-x\right)^2}%%

             %%=\ln\frac{-x+2}{x^2}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da f(-x) weder f(x) noch -f(x) ist, ist die Funktion weder Achsensymmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch zum Ursprung .

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

%%-2%%x=0%%

%%0

Vorzeichen von f'(x) + \ -
%%G_f%% %%\nearrow%% \ %%\searrow%%

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right);\;D_f=D_\max%%

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenners

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Setze den Nenner des  Bruchs gleich 0.

%%x=0%%

 

Definitionsbereich des Logarithmus

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

%%\frac x2%% ist dann positiv, wenn x positiv ist.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack%%

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.

Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.

Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.

        %%0=1+2\ln\frac x2%%

%%\left|-1\right.%%

    %%-1=2\ln\frac x2%%

%%\left|:2\right.%%

%%-\frac12=\ln\frac x2%%

Logarithmus anwenden.

    %%\frac x2=e^{-\frac12}%%

%%\left|\cdot2\right.%%

        %%{\textstyle x}=2\cdot e^{-\frac12}%%

Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.

         %%{\textstyle x}=\frac2{\sqrt e}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(\frac2{\sqrt e}\;\left|\;0\right.\right)%%

 

Ableitungen bilden

Article 64 not found

1. Ableitung

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .

        %%=2\left(\frac4{x^2}\right)\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

        %%=\frac8{x^2}+\frac{16}{x^2}\ln\frac x2%%

Article Ableitung bilden (64) not found .

Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil: %%u`=\left(-\frac{32}{x^3}\right),\;v`=\frac2x\cdot\frac12%%

%%f`\left(x\right)=-\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2+\frac{16}{x^2}\cdot\frac1x%%

In der letzten Summe multiplizieren .

            %%=-\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2+\frac{16}{x^3}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2%%

Getrennte Article Ableitung (64) not found von u %%\left(-\frac{32}{x^3}\right)%% und v %%\left(\ln\frac x2\right)%% Article bilden (64) not found .

%%u`=\frac{96}{x^4},\;v`=\frac2x\cdot\frac12%%

%%f``\left(x\right)=\frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac x2-\frac{32}{x^3}\cdot\frac1x%%

             %%=\frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac x2-\frac{32}{x^4}%%

             %%=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)%%

 

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac x2%%

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.

Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das innere des ln = 1 ist.

%%\frac x2=1%%

%%\left|\cdot2\right.%%

     %%x=2%%

 

Art des Extremums bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)%%

Gefundenes x=2 einsetzen.

%%f``\left(2\right)=\frac{32}{2^4}\cdot\left(3\ln\frac22-1\right)%%

             %%=\frac{32}{16}\cdot\left(3{\textstyle\cdot}{\textstyle0}-1\right)%%

             %%=-2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(x\right)

 

y-Wert bestimmen

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Gefundenes x=2 einsetzen.

%%f(2)=2\left(\frac22\right)^2\left(1+2\ln\frac22\right)%%

        %%=2\cdot1\cdot\left(1+2\textstyle\cdot\textstyle0\right)%%

        %%=2%%

 

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)%%

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.

         %%0=3\ln\frac x2-1%%

%%\left|+1\right.%%

         %%1=3\ln\frac x2%%

%%\left|:3\right.%%

      %%\frac13=\ln\frac x2%%

Logarithmus anwenden.

     %%e^\frac13=\frac x2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%2\cdot e^\frac13=x%%

 

y-Wert bestimmen

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Gefundenes %%x=2\cdot e^\frac13%% einsetzen

%%f{\textstyle\left(2\cdot e^{\displaystyle\frac13}\right)}=2\left(\frac2{2\cdot e^{\displaystyle\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\frac{2\cdot e^{\displaystyle\frac13}}2\right)%%

Beide Brüche mit 2 kürzen .

                    %%=2\left(\frac1{e^{\displaystyle\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\textstyle\left(e^{\displaystyle\frac13}\right)\right)%%

Ln und e hebt sich auf, Exponent in die Klammer ziehen .

                     %%=\frac2{e^{\displaystyle\frac23}}\left(1+2\cdot\frac13\right)%%

                     %%=\frac2{e^{\displaystyle\frac23}}+\frac4{3e^{\displaystyle\frac23}}%%

Ersten Bruch mit 3 erweitern .

                     %%=\frac6{3e^{\displaystyle\frac23}}+\frac4{3e^{\displaystyle\frac23}}%%

                     %%=\frac{10}{3e^{\displaystyle\frac23}}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(2\cdot e^{\frac13\;}\left|\;\frac{10}{3e^{\displaystyle\frac23}}\right.\right)%%

 

Grenzwertbetrachtung

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack%%

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und %%+\infty%% .

 

Grenzwert bei 0

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Annäherung von rechts an 0.

%%\lim_{x\rightarrow0^+}2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0^+}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow0^+}}\right)^2}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(1+2\textstyle\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0^+}}2}_{\rightarrow-\infty}\right)}_{\rightarrow-\infty}=-\infty%%

 

Grenzwert bei %%+\infty%%

%%f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)%%

Annäherung an %%+\infty%% .

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}\right)}_{\rightarrow0}^2\underbrace{\left(1+2\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow+\infty}}2}_{\rightarrow+\infty}\right)}_{\rightarrow+\infty}=0%%

 

Symmetrieverhalten

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

  %%\Rightarrow%%   Daher kann die Funktion nicht Punktsymmetrisch zum Ursprung oder Achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

%%0%%x=2%%

%%2

Vorzeichen von f'(x) + \ -
%%G_f%% %%\nearrow%% HP %%\searrow%%

%%f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x;\;D_f=D_\max%%

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

%%f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x;\;D_f=D_\max%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x=0%%

 

Definitionsbereich des Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack0;\infty\lbrack%%

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%1+\ln x=0%%

%%\left|-1\right.%%

%%\ln x=-1%%

Logarithmus anwenden.

%%x=e^{-1}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(e^{-1}\;\left|\;0\right.\right)%%

 

Ableitungen bilden

Article 64 not found

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

%%u`=\frac1x,\;v`=1%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{{\displaystyle\frac1x}\cdot x-\left(1+\ln x\right)\cdot1}{x^2}%%

            %%=\frac{1-1-\ln x}{x^2}%%

             %%=-\frac{\ln x}{x^2}%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

%%u`=\frac1x,\;v`=2x%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=-\frac{{\displaystyle\frac1x}\cdot x^2-\ln x\cdot2x}{x^4}%%

Mit x kürzen .

             %%=-\frac{{\displaystyle\frac1x}\cdot x-\ln x\cdot2}{x^3}%%

             %%=-\frac{1-2\ln x}{x^3}%%

 

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%\ln x=0%%

Logarithmus anwenden.

    %%x=e^0%%

      %%x=1%%

 

Art des Extremums bestimmen

%%f``\left(x\right)=-\frac{1-2\ln x}{x^3}%%

Gefundenes x=1 einsetzen.

%%f``\left(1\right)=-\frac{1-2\ln1}{1^3}%%

ln1=0

             %%=-\frac11=-1%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(x\right)

 

y-Wert bestimmen

%%f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Gefundenes x=1 einsetzen.

%%f(1)=\frac{1+\ln1}1%%

ln1=0

%%=\frac11=1%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;HP\left(1\;\left|\;1\right.\right)%%

 

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f``\left(x\right)=\displaystyle-\frac{1-2\ln x}{x^3}%%

Es wird nur der Zähler der zweiten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%1-2\ln x=0%%

%%\left|+2\ln x\right.%%

%%1=2\ln x%%

%%\left|:2\right.%%

%%\frac12=\ln x%%

Logarithmus anwenden.

%%e^\frac12=x%%

 

y-Wert bestimmen

%%f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Gefundenes %%x=e^\frac12%% einsetzen.

%%f\left(e^\frac12\right)=\displaystyle\frac{1+\ln e^{\frac12}}{e^{\frac12}}%%

ln und e heben sich auf. %%ln(e^{\frac12})=\frac12%%

               %%=\displaystyle\frac{1+\frac12}{{e^{\frac12}}}%%

%%1^\frac12=1%%

              %%=\displaystyle\frac{\frac32}{{e^{\frac12}}}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(e^\frac12\;\left|\;\frac{\frac{32}{e^{\displaystyle\frac12}}\right.\right)%%

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\rbrack0;\infty\lbrack%%

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und %%+\infty%% .

 

Grenzwert bei 0

%%f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Annäherung von rechts an 0.

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0^+}\displaystyle\frac{1+\overbrace{\mathrm{lnx}}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow0^+}}=-\infty%%

 

Grenzwert bei %%+\infty%%

%%f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x%%

Annäherung an %%+\infty%% .

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{\overbrace{1+\mathrm{lnx}}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}=%%

%%=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac1x}1=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\frac1{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}=0%%

 

Symmetrieverhalten

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Daher kann die Funktion nicht Punktsymmetrisch zum Ursprung oder Achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

%%\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & x<1 & x=1 & x>1\\ \hline \text{Vorzeichen von } f'(x) & + & 0 & -\\\hline G_f & \nearrow & \text{Hochpunkt} & \searrow\\ \hline\end{array}%%

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}};\;D_f=D_\max%%

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenner

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Setze den Nenner des  Bruchs gleich 0.

%%1-\ln x=0%%

            %%1=\ln x%%

Logarithmus anwenden.

            %%x=e%%

 

Definitionsbereich des Logarithmus

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

   %%\Rightarrow%%   %%D_f=\rbrack0;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;e%%

 

Nullstellenbestimmung

   %%\Rightarrow%%   Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen .

 

Ableitungen bilden

Article 64 not found

1. Ableitung

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.

        %%={\textstyle\left(1-\mathrm{lnx}\right)}^{-1}%%

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

%%f`(x)=-\left(1-\ln x\right)^{-2}\cdot\left(-\frac1x\right)%%

Potenzgesetze anwenden.

         %%=\frac1{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=\frac1{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}%%

Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.

           %%\textstyle=\left(x\cdot\left(1-\ln x\right)^2\right)^{-1}%%

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, mit Hilfe der Produktregel nachdifferenzieren.

%%f``\left(x\right)=-\left(x\cdot\left(1-\ln x\right)^2\right)^{-2}\cdot\left(1\cdot\left(1-\ln x\right)^2+x\cdot2\cdot\left(1-\ln x\right)\cdot\left(-\frac1x\right)\right)%%

Potenzgesetze anwenden.

           %%=-\frac{\left(1-\ln x\right)^2+x\cdot2\cdot\left(1-\ln x\right)\cdot\left(-\frac1x\right)}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^4}%%

Mit %%1-\ln x%% kürzen .

           %%=-\frac{\left(1-\ln x\right)+x\cdot2\cdot\left(-\frac1x\right)}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}%%

Ausmultiplizieren und gleiche Elemente zusammenfassen.

           %%=-\frac{-1-\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}%%

           %%=\frac{1+\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}%%

 

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=\frac1{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}%%

Zähler der ersten Ableitung untersuchen.

  %%\Rightarrow%%   Da der Zähler der ersten Ableitung keine Elemente mit x enthält, hat f(x) keine Extrema .

 

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{1+\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}%%

Zähler der ersten Ableitung gleich 0 setzen.

%%1+\ln x=0%%

%%\left|-1\right.%%

      %%\ln x=-1%%

Logarithmus anwenden.

      %%e^{-1}=x%%

Potenzgesetze anwenden.

       %%\frac1e=x%%

 

y-Wert bestimmen

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Gefundenes %%x=\frac1e%% einsetzen.

%%f{\textstyle\left({\displaystyle\frac1e}\right)}=\frac1{1-\ln\displaystyle\frac1e}%%

%%\ln\frac1e=-1%%

            %%=\frac1{1-\left(-1\right)}=\frac12%%

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\rbrack0;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;e%%

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und %%+\infty%% sowie an der Definitionslücke.

 

Grenzwert bei 0

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Annäherung von rechts an 0.

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{1-\ln x}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow-\infty}}_{\rightarrow+\infty}}=0%%

 

Grenzwert bei %%+\infty%%

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Annäherung an %%+\infty%% .

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{1-\ln x}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}}=0%%

 

Grenzwert bei e

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Annäherung von links an e.

%%\lim_{x\rightarrow e^-}\frac1{1-\ln x}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow e^-}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow1^-}}_{\rightarrow0^+}}=\infty%%

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

Annäherung von rechts an e.

%%\lim_{x\rightarrow e^+}\frac1{1-\ln x}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow e^+}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow1^+}}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

 

Symmetrieverhalten

%%f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}%%

  %%\Rightarrow%%   Da f(x) nur rechts von der y-Achse existiert, kann die Funktion weder Achsensymmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

%%0%%x=e%%

%%e

Vorzeichen von f'(x) + \ +
%%G_f%% %%\nearrow%% \ %%\nearrow%%

%%f(x)=\frac1{\mathrm{lnx}};\;D_f=D_\max%%

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenners

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\ln\mathrm x}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%\ln(x)=0%%

Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion , um nach x aufzulösen (da %%e^{\ln x}=x%% ).

%%e^{\ln(x)}=e^0%%

%%x=1%%

 

Definitionsbereich der ln-Funktion

Da die ln-Funktion nur für positive x definiert ist, sind für f(x) auch nur positive x-Werte zuässig.

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}^+\backslash\;\{1\}%%

 

Nullstellenbestimmung

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\ln\mathrm x}%%

Da der Zähler der Funktion keine Nullstelle besitzt, besitzt f(x) ebenfalls keine Nullstelle.

 

Ableitungen bilden

Article 64 not found

1. Ableitung

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\ln\mathrm x}%%

Wende die Quotientenregel an, um diese gebrochen rationale Funktion abzuleiten.

%%\mathrm f`(\mathrm x)=\frac{\mathrm{lnx}\cdot0-1\cdot\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{\left(\mathrm{lnx}\right)^2}%%

%%\mathrm f`(\mathrm x)=-\frac1{\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2}%%

 

2. Ableitung

%%\mathrm f`(\mathrm x)=\frac{-1}{\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2}%%

Wende erneut die Quotientenregel an. Zu beachten ist, dass bei der Ableitung des Nenners die Produktregel angewandt werden muss. Der Nenner wird im folgenden gesondert abgeleitet.

%%\frac d{dx}\left(x\cdot(\ln x)^2\right)=1\cdot(\ln x)^2+x\cdot2\cdot\ln x\cdot\frac1x%%

Um %%(\ln x)^2%% abzuleiten, wende die Kettenregel an.

%%\mathrm f``(\mathrm x)=\frac{\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2\cdot0-(-1)\cdot\left[1\cdot(\ln x)^2+x\cdot2\cdot\ln x\cdot\displaystyle\frac1x\right]}{(\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2)^2}\;%%

Der erste Summand des Zählers wird Null, da mit Null multipliziert wird. In der Ableitung des Nenners kann %%\frac1x%% mit x gekürzt werden. Im Nenner des Bruches werden die Potenzgesetze angewendet.

%%\mathrm f``(\mathrm x)=\frac{(\mathrm{lnx})^2+2\mathrm{lnx}}{\mathrm x^2(\mathrm{lnx})^4}%%

Klammere im Zähler ln(x) aus.

%%\mathrm f``(\mathrm x)=\frac{\mathrm{lnx}\cdot(\mathrm{lnx}+2)}{\mathrm x^2(\mathrm{lnx})^4}%%

Kürze den Bruch mit ln(x).

%%\mathrm f``(\mathrm x)=\frac{\mathrm{lnx}+2}{\mathrm x^2(\mathrm{lnx})^3}%%

 

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

%%\mathrm f`(\mathrm x)=-\frac1{\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2}%%

Da der Zähler der ersten Ableitung keine Nullstelle besitzt, hat f(x) keine Extrema.

 

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

%%\mathrm f``(\mathrm x)=\frac{\mathrm{lnx}+2}{\mathrm x^2(\mathrm{lnx})^3}%%

Um die Wendepunkte von f(x) zu ermitteln, setze den Zähler der zweiten Ableitung gleich Null.

  %%\ln x+2=0%%

%%\ln x=-2%%

Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion , um nach x aufzulösen (da %%e^{\ln x}=x%% ).

%%e^{\ln x}=e^{-2}%%

%%x=e^{-2}=\frac1{e^2}%%

Zu Prüfen wäre nun noch, ob der ermittelte x-Wert nicht ebenfalls Nullstelle des Nenners ist (in diesem Fall wäre die Funktion an der ermittelten Stelle nicht definiert). Allerdings ist dies hier nicht der Fall, wie schnell ersichtlich wird, wenn man die beiden Faktoren des Nenners betrachtet ( %%x^2%% ist stets positiv und %%(\ln x)^3%% hat an der Stelle x=1 die Nullstelle).

 

Koordinate des Wendepunktes bestimmen

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\ln\mathrm x}%%

Setze hierzu den ermittelten x-Wert als Argument in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm e^{-2})=\frac1{\ln(\mathrm e^{-2})}%%

%%\mathrm f(\mathrm e^{-2})=-\frac12%%

WEP %%\left(e^{-2}\;;\;-\frac12\right)%%

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{R}^+\backslash\;\{1\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an der Definitionslücke (x=1) sowie an den Rändern der Definitionsmenge (0 und  %%\infty%% )

 

Grenzwert an der Definitionslücke x=1

Annäherung von links:

%%\lim_{x\rightarrow1^-}\left(\frac1{\ln\mathrm x}\right)%%

lnx nähert sich der Null von links; ist also negativ, wodurch der gesamte Grenzwert negativ ist.

%%\lim_{x\rightarrow1^-}\left(\frac1{\underbrace{\ln x}_{\rightarrow0-}}\right)=-\infty%%

 

Annäherung von rechts:

%%\lim_{x\rightarrow1^+}\left(\frac1{\ln\mathrm x}\right)%%

lnx nähert sich der Null von rechts; ist also positiv, wodurch der gesamte Grenzwert postiv ist.

%%\lim_{x\rightarrow1+}\left(\frac1{\underbrace{\ln x}_{\rightarrow0+}}\right)=\infty%%

 

### Grenzwert bei 0

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\frac1{\ln\mathrm x}\right)%%

Annäherung nur von rechts, da %%D_f=\mathbb{R}^+\backslash\;\{1\}%% .

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\frac1{\underbrace{\ln x}_{\rightarrow-\infty}}\right)=0^-%%

Das Minus neben der Null deutet an, dass sich der Graph der Null von unterhalb der x-Achse nähert.

 

### Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac1{\ln\mathrm x}\right)%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac1{\underbrace{\ln x}_{\rightarrow\infty}}\right)=0%%

 

## Symmetrieverhalten

Artikel zum Thema

%%\mathrm f(-\mathrm x)=\frac1{\ln(-\mathrm x)}%%

Setze in f(x) als Argument -x (statt x) ein.

Achtung: Da %%D_f=\mathbb{R}^+\backslash\;\{1\}%% , liegt -x nicht im Definitionsbereich, wodurch der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweißt.

 

## Monotonieverhalten

Artikel zum Thema

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt und lässt Aussagen über die Steigung von f(x) zu.

Betrachtet werden müssen die Intervalle der Definitionsmenge , also von Null bis zur Definitionslücke bei 1 und von 1 bis Unendlich.

 

%%\mathrm f`(\mathrm x)=-\frac1{\mathrm x\cdot(\mathrm{lnx})^2}%%

In der gesamten Definitionsmenge von f(x) ist die erste Ableitung negativ, aufgrund des Faktors -1 vor dem Bruch (der Nenner des Bruchs ist stets positiv).

 

%%0%%1

Vorzeichen von f'(x)

-

-

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

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