Aufgaben
  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-0,3\right)\cdot\frac23-\frac23\cdot0,7%% .

  2. Setze eine Klammer so, dass der Wert des neuen Terms Null ist.

Teilaufgabe a

%%\left(-0,3\right)\cdot\frac23-\frac23\cdot0,7=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=\left(-\frac3{10}\right)\cdot\frac23-\frac23\cdot\frac7{10}%%

%%=\left(-\frac6{30}\right)-\frac{14}{30}%%

Brüche subtrahieren .

%%=\left(-\frac{20}{30}\right)%%

%%=\left(-\frac23\right)%%


Teilaufgabe b

%%\left(-\frac3{10}\right)\cdot\left(\frac23-\frac23\right)\cdot\frac7{10}=%%

Klammern um %%\frac23%% und %%-\frac23%% setzen.

%%\left(-\frac3{10}\right)\cdot0\cdot\frac7{10}=%%

%%=0%%

  1. Berechne den Wert des Terms %%14-7:\left(\frac7{12}-\frac7{18}\right)\cdot0,5^2%% .

  2. Wird der Wert des Terms größer oder kleiner, wenn man die Hochzahl bei 0,5 weglässt? Begründe deine Antwort ohne erneut zu rechnen.

Teilaufgabe a

%%14-7:\left(\frac7{12}-\frac7{18}\right)\cdot0,5^2=%%

In den Klammern Hauptnenner (36) bilden und auf diesen erweitert . Quadriere außerdem 0,5.

%%=14-7:\left(\frac{21}{36}-\frac{14}{36}\right)\cdot\frac14%%

Klammer ausrechnen.

%%=14-7:\frac7{36}\cdot\frac14%%

Mithilfe des Kehrbruchs dividieren .

%%=14- 7\cdot\frac{36}7\cdot\frac14%%

%%=14- \frac{252}{28}%%

%%=14-9=5%%


Teilaufgabe b

%%\Rightarrow\;\;%% Würde man %%0,5%% nicht quadrieren, würde das Ergebnis größer werden, da man etwas kleineres subtrahiert.

%%7\cdot\frac{36}7\cdot\frac12>7\cdot\frac{36}7\cdot\frac14%%

%%\frac12%% anstelle von %%\frac14%% einsetzen.

%%\frac{252}{14}>\frac{252}{28}%%

%%\Rightarrow%% Je größer der Nenner ist, desto kleiner ist das Gesamtergebnis.

  1. Berechne den Wert des Terms %%0,6\cdot\frac43:0,4-1,5\cdot4%% .

  2. Wenn man im Minuenden nicht durch 0,4 dividiert, sondern stattdessen mit 0,4 multipliziert, ändert sich der Wert des Terms. Entscheide ohne erneute Rechnung, ob der Wert des Terms dabei größer oder kleiner wird.

Teilaufgabe a)

%%0,6\cdot\frac43:0,4-1,5\cdot4=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen und den gemischten Bruch in unechten Bruch umwandeln.

%%=\frac35\cdot\frac43:\frac25-\frac32\cdot\frac41%%

%%=\frac{12}{15}:\frac25-\frac{12}2%%

Bruch dividieren indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac{60}{30}-\frac{12}2%%

%%=2-6%%

%%=-4%%


Teilaufgabe b)

%%\Rightarrow%% Er verkleinert sich. Der Kehrbruch von %%\frac25\;\left(0,4\right)%% ist  %%\frac52%%, das ist größer als  %%\frac25%%.

  1. Berechne den Wert des Terms %%2,4-0,4\cdot4\frac12+1\frac12:0,\overline3%% .

  2. Setze zweimal Klammern so, dass der Wert des Terms 36 beträgt.

Teilaufgabe a

%%2,4-0,4\cdot4\frac12+1\frac12:0,\overline3=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen und gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln.

%%=\frac{12}5-\frac25\cdot\frac92+\frac32:\frac13%%

%%=\frac{12}5-\frac{18}{10}+\frac92%%

Brüche auf den gleichen Nenner (10) bringen.

%%=\frac{24}{10}-\frac{18}{10}+\frac{45}{10}%%

%%=\frac{51}{10}%%

Als gemischten Bruch darstellen.

%%=5\frac1{10}%%

 


Teilaufgabe b

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Klammern so setzen, dass man zuerst die "Strich-Rechnungen" (plus und minus) rechnen muss.

%%\left(\frac{12}5-\frac25\right)\cdot\left(\frac92+\frac32\right):\frac13=%%

Klammern ausrechnen, indem man die Brüche addiert und subtrahiert .

%%=\left(\frac{10}5\right)\cdot\left(\frac{12}2\right):\frac13%%

Brüche kürzen und den Kehrbruch von %%\frac13%% bilden.

%%=2\cdot6\cdot3%%

%%=36%%

Berechne den Wert des Terms %%11\cdot\left(1\frac14+1,75\right)-11^2%% .

Brüche


11(114+1,75)112=11\cdot\left(1\frac{1}{4}+1,75\right)-11^2=
Dezimalzahl in Bruch umformen und den gemischten Bruch in unechten Bruch umwandeln.
11(114+1,75)11211\cdot\left(1\frac{1}{4}+1,75\right)-11^2==111(54+74)1211\frac{11}{1}\cdot\left(\frac{5}{4}+\frac{7}{4}\right)-\frac{121}{1}
Klammer ausrechnen
==1111241211\frac{11}{1}\cdot\frac{12}{4}-\frac{121}{1}
Zweiten Bruch kürzen
==111311211\frac{11}{1}\cdot\frac{3}{1}-\frac{121}{1}
Brüche multiplizieren
==3312133-121
Subtrahieren
==88-88
Untersuche, ob der Quotient aus einem unechten Bruch und seinem Kehrbruch  37\frac37 ergeben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unechte Brüche

Das ist nicht möglich. Jeder unechte Bruch besitzt einen Wert, der über 1 liegt. Dividiert man einen unechten Bruch durch seinen Kehrbruch, so multipliziert man eigentlich den unechten Bruch nur mit sich selbst. Das Produkt stellt wiederum einen unechten Bruch dar, ist also größer als 1.  37\frac37 ist jedoch ein echter Bruch und damit kleiner als 1.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Nein, denn der Wert des Kehrbruch eines echten Bruches liegt über 1. Addiert man eine weitere Zahl, so bleibt der Summenwert sicher über 1. Es gilt aber: 37<1\frac37<1
  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)%% .

  2. Peter behauptet: „Die erste Klammer kann man weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert!“ Hat Peter Recht?

Teilaufgabe a

%%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=\left(\frac45-\frac{14}5\cdot\frac34\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(\frac45-\frac{21}{10}\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

Hauptnenner (10) von %%\frac45%% und %%\frac{21}{10}%% bilden und auf diesen erweitern .

Hauptnenner (5) von %%1%% und %%\frac{18}5%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=\left(\frac8{10}-\frac{21}{10}\right):\left(\frac55-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(-\frac{13}{10}\right):\left(-\frac{13}5\right)%%

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac12%%


Teilaufgabe b

Nein, er hat nicht Recht. Dadurch würde man das Ergebnis erst am Schluss von 0,8 subtrahieren und dies führt zu einem anderen Ergebnis.

Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 6?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

ges.: xx
Die gesuchte Zahl soll die Variable xx sein, ihr 6. Teil ist dann 16x\dfrac16 \cdot x.
Stelle einen Term auf, der durch die Angabe beschrieben wird:
x:(16x)x:(\dfrac16 \cdot x)==66
Nach xx auflösen.
x:(x6)x:(\dfrac x6)==66
Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
x6xx\cdot \dfrac 6x==66
xx kürzen.
66==66
Dies ist eine immer gültige Aussage. Also ist die Lösung jede von Null verschiedene Zahl.
Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 5?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

ges.: xx
Die gesuchte Zahl soll die Variable xx sein, ihr 6. Teil ist dann 16x\dfrac16 \cdot x. Damit kannst du jetzt einen Term aufstellen, der durch die Angabe beschrieben wird:
x:(16x)x:(\dfrac16 \cdot x)==55
xx mit dem Bruch multiplizieren
x:(x6)x:(\dfrac x6 )==55
Mit Kehrbruch multiplizieren.
x(6x)x \cdot (\dfrac 6x )==55
Mit xx kürzen.
66==55
Dies ist offenbar eine falsche Aussage. Also gibt es keine Zahl, die durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 5 ergibt.

Berechne die Doppelbrüche.

$$\frac{\frac{2\cdot a}{4\cdot b}}{\frac{3\cdot b}{a}}$$

$$\frac{\frac{2\cdot a}{4\cdot b}}{\frac{3\cdot b}{ a}}=$$

Umschreiben : $$\frac{\frac{2\cdot a}{4\cdot b}}{\frac{3\cdot b}{ a}}=\frac{2\cdot a}{4\cdot b}:\frac{3\cdot b}{ a}$$

%%=\frac{2\cdot a}{4\cdot b}:\frac{3\cdot b}{a}=%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{2\cdot a^2}{12\cdot b^2}=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac{ a^2}{6\cdot b^2}%%

$$\frac{\frac{ a\cdot b}{ c}}{a\cdot b}$$

$$\frac{\frac{ a\cdot b}{ c}}{ a\cdot b}=$$

Umschreiben: $$\frac{\frac{ a\cdot b}{ c}}{ a\cdot b}=\frac{ a\cdot b}{ c}:\left(\mathrm a\cdot b\right)$$

%%=\frac{a\cdot b}c:\textstyle\left(a\cdot b\right)=%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{a\cdot b}c\cdot\frac1{a\cdot b}=%%

%%=\frac{a\cdot b}c\cdot\frac1{a\cdot b}=%%

Kürzen mit %%\mathrm a\cdot\mathrm b%% .

%%=\frac1{\mathrm c}%%

$$\frac{\frac{3\cdot u}{4\cdot v}}{\frac{ a\cdot v}{u\cdot v}}$$

$$\frac{\frac{3\cdot u}{4\cdot v}}{\frac{a\cdot v}{u\cdot v}}=$$

Umschreiben: $$\frac{\frac{3\cdot u}{4\cdot v}}{\frac{a\cdot v}{u\cdot v}}=\frac{3\cdot u}{4\cdot v}:\frac{a\cdot v}{u\cdot v}$$

%%=\frac{3\cdot u}{4\cdot v}:\frac{a\cdot v}{u\cdot v}%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{3\cdot u}{4\cdot v}\cdot\frac{u\cdot v}{a\cdot v}=%%

Kürzen mit v.

%%=\frac{3\cdot u}{4\cdot v}\cdot\frac{u}{a}=%%

%%=\frac{3\cdot\mathrm u^2}{4\cdot\mathrm v\cdot\mathrm a}%%

$$\frac{\frac{4\cdot x}{2\cdot y}}{\frac{4\cdot x}{y}}$$

$$\frac{\frac{4\cdot x}{2\cdot y}}{\frac{4\cdot x}y}=$$

Umschreiben: $$\frac{\frac{4\cdot x}{2\cdot y}}{\frac{4\cdot x}y}=\frac{4\cdot x}{2\cdot y}:\frac{4\cdot x}y$$

%%=\frac{4\cdot x}{2\cdot y}:\frac{4\cdot x}y%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{4\cdot x}{2\cdot y}\cdot\frac y{4\cdot x}=%%

%%=\frac{4\cdot x\cdot y}{8\cdot y\cdot x}=%%

Kürzen mit %%4\cdot\mathrm x\cdot\mathrm y%% .

%%=\frac12%%

Berechne fünf Hundertstel von 0,2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Fünf Hundertstel von 0,20,2: "Von" lässt sich mit "mal" übersetzen
Kürzen und ausrechnen:
51000,2==1200,2=0,2:20=0,01\frac{5}{100}\cdot0,2==\frac{1}{20}\cdot0,2=0,2:20=0,01
Fünf Hundertstel von 0,20,2 ist 0,010,01.

Berechne

$$\left(-\frac7{10}\right)\cdot\left(-\frac1{10}\right)$$

$$\left(-\frac7{10}\right)\cdot\left(-\frac1{10}\right)=$$

Setze die Klammern nur über die Zähler

$$=\frac{\left(-7\right)}{10}\cdot\frac{\left(-1\right)}{10}=$$

$$=\frac{\left(-7\right)\cdot\left(-1\right)}{10\cdot10}=$$

$$=\frac7{100}$$

$$-5\frac14-2\frac12\cdot\left(-1\right)$$

$$-5\frac14-2\frac12\cdot\left(-1\right)=$$

Wandle die gemischten Brüche in echte Brüche um.

$$=\frac{-21}4-\frac52\cdot\left(-1\right)=$$

Erweitere auf den gemeinsamen Hauptnenner

$$=\frac{-21}4-\frac{10}4\cdot\left(-1\right)=$$

$$=\frac{-21}4+\frac{10}4=$$

$$=-\frac{11}4$$

Berechne

%%6\frac45-3\cdot\frac12+2\cdot\frac13%%

%%6\frac45-3\cdot\frac12+2\cdot\frac13=%%

Wenn man gemischte Brüche addieren und subtrahieren will, so muss man diese erst in unechte Brüche umwandeln.

%%=\frac{34}5-\frac32+\frac23=%%

%%=\frac{34}5-\frac32+\frac23%%

HN = 30

Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%\frac{34\cdot6}{5\cdot6}-\frac{3\cdot15}{2\cdot15}+\frac{2\cdot10}{3\cdot10}=%%

%%=\frac{204}{30}-\frac{45}{30}+\frac{20}{30}=%%

%%=\frac{204-45+20}{30}=%%

%%=\frac{179}{30}=5\frac{29}{30}%%

%%\frac58:\frac12+1\frac57\cdot\frac74-\frac9{14}:\frac37%%

%%\frac58:\frac12+1\frac57\cdot\frac74-\frac9{14}:\frac37=%%

%%=\frac58\cdot\frac21+\frac{12}7\cdot\frac74-\frac9{14}\cdot\frac73=%%

%%=\frac{5\cdot2}{8\cdot1}+\frac{12\cdot7}{7\cdot4}-\frac{9\cdot7}{14\cdot3}=%%

Die Brüche werden gekürzt .

Der erste Bruch mit 2.

Der zweite Bruch mit 7 und 2.

Der dritte Bruch mit 7 und 3.

%%=\frac54+\frac62-\frac32%%

HN = 4

Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%\frac54+\frac{6\cdot2}{2\cdot2}-\frac{3\cdot2}{2\cdot2}=%%

%%=\frac54+\frac{12}4-\frac64=%%

%%=\frac{5+12-6}4=%%

%%=\frac{11}4=2\frac34%%

%%\left(1,\overline3\cdot3-\frac12\right):7%%

%%\left(1,\overline3\cdot3-\frac12\right):7=%%

Um die Zahlen in der Klammer multiplizieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden.

%%=\left(1\frac13\cdot3-\frac12\right):7=%%

%%=\left(\frac43\cdot\frac31-\frac12\right):7=%%

Der Bruch in der Klammer kann mit 3 gekürzt werden.

%%=\left(\frac41-\frac12\right):7%%

HN = 2

Die Beiden Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%\left(\frac{4\cdot2}{1\cdot2}-\frac12\right):7=%%

 

%%=\left(\frac82-\frac12\right):7=%%

 

%%=\frac72:7=%%

Wenn man einen Bruch durch eine Ganze Zahl dividieren will, so muss man erst diese in einen Bruch umwandeln.

%%=\frac72:\frac71=%%

%%=\frac{7\cdot1}{2\cdot7}=%%

 

%%=\frac12%%

 

%%\left(2,\overline6-\frac13\right):\left(-1\frac13+0,\overline3\right)%%

%%\left(2,\overline6-\frac13\right):\left(-1\frac13+0,\overline3\right)=%%

Um die Zahlen in den Klammern addieren bzw subtrahieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden.

%%=\left(2\frac23-\frac13\right):\left(-1\frac13+\frac13\right)=%%

Zur Berechnung reichen gemischte Brüche nicht aus, man braucht unechte Brüche .

%%=\left(\frac83-\frac13\right):\left(-\frac43+\frac13\right)=%%

In den beiden Klammern die Brüche addieren .

%%=\frac73:\left(-\frac33\right)=%%

%%=\frac73\cdot\left(-\frac33\right)=%%

Der Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des andernen Multipliziert und der Zähler des einen Bruchs dem anderen Zähler .

%%=-\frac{7\cdot3}{3\cdot3}=%%

Der Bruch lässt sich mit 3 kürzen.

%%=-\frac73=-2\frac13%%

 

%%\left(1,\overline3\cdot9-\frac93\right):3+\left(-\frac12+2\right)%%

%%\left(1,\overline3\cdot9-\frac93\right):3+\left(-\frac12+2\right)=%%

Um alle Zahlen addieren bzw subtrahieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden. 2 wird mit 2 auf %%\frac42%% erweitert.

%%=\left(\frac43\cdot\frac91-\frac93\right):\frac31+\left(-\frac12+\frac42\right)=%%

Der Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des andernen Multipliziert und der Zähler des einen Bruchs dem anderen Zähler .

%%=\left(\frac{36}3-\frac93\right):\frac31+\frac32=%%

 

%%=\frac{27}3:\frac31+\frac32=%%

%%=\frac{27}3\cdot\frac13+\frac32=%%

 

%%=\frac{27\cdot1}{3\cdot3}+\frac32=%%

Der erste Bruch lässt sich mit 9 %%\left(3\cdot3\right)%% kürzen .

%%=3+\frac32=%%

3 muss mit 2 erweitert werden, damit man die Brüche addieren kann.

%%=\frac62+\frac32=%%

 

%%=\frac92=4\frac12%%

 

%%5\frac34+\frac15:\left(\frac{15}4-3\frac12\right)%%

%%5\frac34+\frac15:\left(\frac{15}4-3\frac12\right)=%%

%%=\frac{23}4+\frac15:\left(\frac{15}4-\frac72\right)=%%

Den jeweiligen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;%% 20 ; 4

%%=\frac{23\cdot5}{4\cdot5}+\frac{1\cdot4}{5\cdot4}:\left(\frac{15}4-\frac{7\cdot2}{2\cdot2}\right)=%%

%%=\frac{115}{20}+\frac4{20}:\left(\frac{15}4-\frac{14}4\right)=%%

Klammer ausrechnen.

%%=\frac{115}{20}+\frac4{20}:\frac14=%%

Erst dividieren, da Punkt vor Strich gilt. Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{115}{20}+\frac4{20}\cdot\frac41=%%

Ausmultiplizieren.

%%=\frac{115}{20}+\frac{16}{20}=%%

%%=\frac{131}{20}=%%

In Gemischten Bruch umwandeln.

%%=6\frac{11}{20}%%

%%7-\frac9{20}-2\frac34%%

%%7-\frac9{20}-2\frac34=%%

%%=\frac{140}{20}-\frac9{20}-\frac{11}4=%%

Hauptnenner aller Brüche bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;20%%

%%=\frac{140}{20}-\frac9{20}-\frac{11\cdot5}{4\cdot5}=%%

%%=\frac{140}{20}-\frac9{20}-\frac{55}{20}=%%

%%=\frac{76}{20}=%%

Kürzen mit 4.

%%=\frac{19}5=%%

In Gemischten Bruch umwandeln.

%%=3\frac45%%

$$\frac{{\frac79}:3}{13:\frac{81}7}$$

$$\frac{{\frac79}:3}{13:\frac{81}7}=$$

Jeweils mit dem Kehrbruch multiplizieren.

$$=\frac{{\frac79}\cdot\frac13}{13\cdot \frac7{81}}=$$

Ausmultiplizieren.

$$=\frac{\frac7{27}}{\frac{91}{81}}=$$

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac7{27}\cdot\frac{81}{91}=%%

Kürzen mit 7.

%%=\frac1{27}\cdot\frac{81}{13}=%%

Kürzen mit 27.

%%=\frac11\cdot\frac3{13}=%%

%%=\frac3{13}%%

%%-5\frac14-2\frac12\cdot\left(-1\right)%%

%%-5\frac14-2\frac12\cdot\left(-1\right)=%%

Erst die Multiplikation berechnen, da Punkt vor Strich gilt.

%%=-5\frac14+2\frac12=%%

Umwandeln in unechte Brüche .

%%=-\frac{21}4+\frac52=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow%% 4

%%=-\frac{21}4+\frac{10}4=%%

%%=-\frac{11}4=%%

Umwandeln in gemischten Bruch .

%%=-2\frac34%%

%%17-\left[\frac2{3^3}-\frac{2^3}3+\left(-\frac23\right)^3\right]\cdot\left(-\frac56\right)\cdot\left(-\frac65\right)^2%%

%%17-\left[\frac2{3^3}-\frac{2^3}3+\left(-\frac23\right)^3\right]\cdot\left(-\frac56\right)\cdot\left(-\frac65\right)^2=%%

Potenzen ausrechnen.

%%=17-\left[\frac2{27}-\frac83+\left(-\frac8{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac56\right)\cdot\left(\frac{36}{25}\right)=%%

Ausmultiplizieren der Potenzen .

%%=17-\left[\frac2{27}-\frac83+\left(-\frac8{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac{180}{150}\right)%%

Kürzen mit 30.

%%=17-\left[\frac2{27}-\frac83+\left(-\frac8{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac65\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner in der Klammer bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow\;27%%

%%=17-\left[\frac2{27}-\frac{72}{27}-\frac8{27}\right]\cdot\left(-\frac65\right)=%%

%%=17-\left(-\frac{78}{27}\right)\cdot\left(-\frac65\right)=%%

Erst multiplizieren, da gilt: Punkt vor Strich. Minus und Minus wird zu Plus.

%%=17-\frac{468}{135}=%%

Kürzen mit 9.

%%=17-\frac{52}{15}=%%

17 in einen unechten Bruch umwandeln.

%%=\frac{255}{15}-\frac{52}{15}=%%

%%=\frac{203}{15}=%%

Umwandeln in einen gemischten Bruch .

%%=13\frac8{15}%%

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen

Gesucht: xx
Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang, also in diesem Fall: CD=AB\overline{CD} = \overline{AB}.
3,22 cm+x cm3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm} ==9,37 cm+4,84 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}|3,22 cm- 3{,}22\ \mathrm{cm}
Löse nach xx auf.
x cmx\ \mathrm{cm}==9,37 cm+4,84 cm3,22 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}
Rechne die rechte Seite aus.
x cmx\ \mathrm{cm}==10,99 cm10{,}99\ \mathrm{cm}
Also ist die Lösung: x=10,99x=10{,}99
Manfred schreibt:" 16211=11661266=1324356=331089=11363=133\frac16\cdot\frac2{11}=\frac{11}{66}\cdot\frac{12}{66}=\frac{132}{4356}=\frac{33}{1089}=\frac{11}{363}=\frac1{33} "
Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche multiplizieren

16211=\frac16\cdot\frac2{11}=

Manfreds Ergebnis ist richtig, jedoch könnte man dies um einiges einfacher ausrechnen. Er scheint vergessen zu haben, dass ein Hauptnenner (hier 66) nur bei der Addition und Subtraktion von Brüchen gebildet werden muss. Bei der Multiplikation ist das nicht nötig. Ein einfacherer Lösungsweg wäre:
16211=\frac16\cdot\frac2{11}=
Mit 2 kürzen.
=13111==\frac13\cdot\frac1{11}=
=133=\frac1{33}


Wandle in Kilogramm um und rechne. (1 dz = 100kg)

%%2,5\mathrm t+8\frac12\mathrm{dz}+1,55\mathrm{kg}+0,25\mathrm{dz}+0,3\mathrm t+12,3\mathrm{kg}%%

%%1,2\mathrm{dz}+14,52\mathrm{kg}+375\mathrm g+0,7\mathrm{kg}+825\mathrm g+2\frac14\mathrm{dz}%%

%%1,2\mathrm{dz}+14,52\mathrm{kg}+375\mathrm g+0,7\mathrm{kg}+825\mathrm g+2\frac14\mathrm{dz}=%%

Alles in Dezimalbrüche umwandeln.

%%=1,2\mathrm{dz}+14,52\mathrm{kg}+375\mathrm g+0,7\mathrm{kg}+825\mathrm g+2,25\mathrm{dz}=%%

Alles in kg umwandeln.

%%=120\mathrm{kg}+14,52\mathrm{kg}+0,375\mathrm{kg}+0,7\mathrm{kg}+0,825\mathrm{kg}+225\mathrm{kg}=%%

%%=361,42\mathrm{kg}%%

%%4\frac12\mathrm{kg}+0,375\mathrm{kg}+250\mathrm g+80\mathrm g+1\frac18\mathrm{kg}+5\mathrm g%%

%%4\frac12\mathrm{kg}+0,375\mathrm{kg}+250\mathrm g+80\mathrm g+1\frac18\mathrm{kg}+5\mathrm g=%%

%%4\frac12=4,5%% ; %%1\frac18=1,125%%

%%=4,5\mathrm{kg}+0,375\mathrm{kg}+250\mathrm g+80\mathrm g+1,125\mathrm{kg}+5\mathrm g=%%

Alles in kg umwandeln.

%%=4,5\mathrm{kg}+0,375\mathrm{kg}+0,25\mathrm{kg}+0,08\mathrm{kg}+1,125\mathrm{kg}+0,005\mathrm{kg}=%%

%%=6,335\mathrm{kg}%%

Vergleiche

%%\frac8{18}%% und %%\frac4{11}%%

%%\frac13%% von %%8\frac27%% und %%\frac25%% von %%7%%

%%\frac13%% von %%8\frac27=%%

Man kann "von" mit "%%\cdot%%" übersetzen

%%\frac13\cdot8\frac27=%%

Wandle den gemischten Bruch um.

%%=\frac13\cdot\frac{58}7=%%

%%=\frac{58}{21}%%


%%\frac25%% von %%7%%

Man kann "von" mit "%%\cdot%%" übersetzen

%%\frac25\cdot7=%%

%%=\frac{14}5%%

Auf gemeinsamen Hauptnenner bringen.


HN: %%5\cdot 21=105%%

Erweitern:

%%\frac{58}{21}=\frac{58 \cdot5}{21\cdot 5}%%

%%\frac{14}5=\frac{14\cdot21}{5\cdot 21}%%

Zähler

ausrechnen

%%\frac{290}{105}%%

%%\frac{294}{105}%%

Vergleich

der Zähler

%%\frac{290}{105} <\frac{294}{105}%%

Und damit

%%\frac13%% von %%8\frac27<\frac25%% von %%7%%

%%17-8\;:\;\frac29%% und %%17-8\;:\;\frac27%%

Es gilt die Regel: Punkt vor Strich.

%%17-8:\frac29=%%

Durch einen Bruch zu dividieren , bedeutet mit dem Kehrbruch zu multiplizieren.

%%=17-8\cdot\frac92=%%

%%=17-\frac{72}2=%%

%%=17-36=%%

%%=-19%%


%%17-8:\frac27=%%

Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit dem Kehrbruch zu multiplizieren.

%%=17-8\cdot\frac72=%%

%%=17-\frac{56}2=%%

%%=17-28=%%

%%=-11%%

%%\Rightarrow17-8:\frac29<17-8:\frac27%%

Welche Fehler wurden hier gemacht? Verbessere!

%%\frac{6+8}{24-6}=\frac{1+8}{24-1}=\frac{1+1}{3-1}=\frac22=1%%

%%\frac{6+8}{24-6}=\frac{1+8}{24-1}=\frac{1+1}{3-1}=\frac22=1%%

Die Rechnung ist falsch, da aus Summen oder Differenzen nicht gekürzt oder erweitert werden darf. Die Summe bzw. Differenz muss zuerst berechnet werden. Richtig ist also:

%%\frac{6+8}{24-6}=%%

Einzelne Berechnung von Zähler und Nenner.

%%=\frac{14}{18}=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac79%%

%%8\frac16\cdot4=8\frac46=8\frac23%%

%%8\frac16\cdot4=8\frac46=8\frac23%%

Die Rechnung ist falsch, da die Gemischter Bruch erst in einen  unechten Bruch umgewandelt werden muss, bevor multipliziert werden darf. Oder man wendet das Distributivgesetz an, indem man sich bewusst macht, dass %%8\frac16%% eine Summe ist. Richtig ist also:

1)

%%8\frac16\cdot4=%%

Umwandeln in einen unechten Bruch .

%%=\frac{49}6\cdot4=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac{49}3\cdot2=%%

%%=\frac{98}3=%%

Umwandeln in einen gemischten Bruch.

%%=32\frac23%%


2)

%%8\frac16\cdot4=%%

Schreiben des gemischten Bruch als Summe.

%%=\left(8+\frac16\right)\cdot4=%%

Anwenden des Distributivgesetzes .

%%=32+\frac46=%%

Kürzen mit 2.

%%=32\frac23%%

  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(2\frac13\cdot0,5-\frac12\right):\left(-0,\overline3\right)+\left(-0,3\right)^2%% .

  2. Setze eine weitere Klammer so, dass man den Wert des Terms sofort im Kopf bestimmen kann.

Teilaufgabe a

%%\left(2\frac13\cdot0,5-\frac12\right):\left(-0,\overline3\right)+\left(-0,3\right)^2=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen und den gemischten Bruch in unechten Bruch umwandeln.

%%=\left(\frac73\cdot\frac12-\frac12\right):\left(-\frac13\right)+\left(-\frac3{10}\right)^2%%

%%=\left(\frac76-\frac12\right):\left(-\frac13\right)+\frac9{100}%%

Hauptnenner (12) von %%\frac76%% und %%\frac12%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=\left(\frac{14}{12}-\frac6{12}\right):\left(-\frac13\right)+\frac9{100}%%

Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .

%%=\frac8{12}:\left(-\frac13\right)+\frac9{100}%%

Bruch dividieren , indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\left(-\frac{24}{12}\right)+\frac9{100}%%

%%=\left(-2\right)+\frac9{100}%%

Berechnen.

%%=-1\frac{91}{100}%%

 


Teilaufgabe b

%%\left\{\frac73\cdot\left(\frac12-\frac12\right)\right\}:\left(-\frac13\right)+\frac9{100}=%%

Klammern um %%\frac12\;\mathrm{und}\;\frac12%% setzen.

%%=\left(\frac73\cdot0\right):\left(-\frac13\right)+\frac9{100}%%

Irgendwas mit 0 multipliziert ergibt immer 0.

%%=0:\left(-\frac13\right)+\frac9{100}%%

0 dividiert durch irgendwas ergibt immer 0.

%%=0+\frac9{100}%%

0 addiert zu einer Zahl ergibt immer die Zahl.

%%=\frac9{100}%%

 

  1. Gegeben ist der Term  %%\left(\frac12\right)^3:\frac14-\frac13\cdot\left(-0,5\right)%% .Gliedere den Term und berechne seinen Wert.

  2. Ist es möglich, ein Rechenzeichen durch ein anderes so zu ersetzen, dass der Termwert größer wird?

Teilaufgabe a

%%\left(\frac12\right)^3:\frac14-\frac13\cdot\left(-0,5\right)=%%

Dezimalzahlen in Bruch umformen.

%%=\left(\frac12\right)^3:\frac14-\frac13\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac18:\frac14-\left(-\frac16\right)%%

Bruch dividieren , indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac12+\frac16%%

Hauptnenner (6) von %%\frac12%% und %%\frac16%% bilden und auf diesen erweitern.

%%=\frac36+\frac16%%

%%=\frac46%%

%%=\frac23%%


Teilaufgabe b

%%\frac18:\frac14-\frac13\cdot\left(-\frac12\right)=%%

Anstelle von dem mal-Zeichen ein geteilt-Zeichen setzten

%%\frac18:\frac14-\frac13:\left(-\frac12\right)=%%

Bruch dividieren , indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac12+\frac23%%

Hauptnenner (6) von %%\frac12%% und %%\frac23%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac36+\frac46%%

%%=\frac76%%

Als gemischten Bruch darstellen.

%%=1\frac16%%

Gegeben ist der Term:  0,8334325:20,8\cdot3\frac34-3\frac25:2 .
  1. Gliedere den Term und berechne seinen Wert.
  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man  3343\frac34 durch 3343\cdot\frac34 ersetzt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchrechnung

Teilaufgabe a)

=45154175:21=\frac45\cdot\frac{15}4-\frac{17}5:\frac21
Dezimalzahlen in Brüche umformen und gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln.
=60201710=\frac{60}{20}-\frac{17}{10}
Brüche auf den gleichen Nenner (10) bringen.
=30101710=\frac{30}{10}-\frac{17}{10}
=1310=\frac{13}{10}
Als gemischten Bruch darstellen.
=1310=1\frac3{10}



Teilaufgabe b)

0,8334325:20,8\cdot3\frac34-3\frac25:2
3343\frac34 durch 3343\cdot\frac34 ersetzen.
0,8334325:2=0,8\cdot3\cdot\frac34-3\frac25:2=
Dezimalzahlen in Brüche umformen und gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln.
=453134175:21=\frac45\cdot\frac31\cdot\frac34-\frac{17}5:\frac21
=3620345=\frac{36}{20}-\frac{34}5
Brüche auf den gleichen Nenner (20) bringen.
=362013620=\frac{36}{20}-\frac{136}{20}
=10020=-\frac{100}{20}
=5=-5

        \;\;\Rightarrow\;\; Der Wert der Subtraktion ist negativ geworden und er ist eine ganze Zahl.
  1. Berechne den Wert des Terms %%5-\left(3,4:0,25+\frac53\cdot0,33\right)%% .

  2. Wird sein Wert größer oder kleiner, wenn man 0,33 durch 0,3 ersetzt? Begründe deine Antwort ohne erneut zu rechnen.

Teilaufgabe a

%%5-\left(3,4:0,25+\frac53\cdot0,33\right)=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=5-\left(\frac{17}5:\frac14+\frac53\cdot\frac{33}{100}\right)%%

Bruch multiplizieren und Bruch dividieren , indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=5-\left(\frac{68}5+\frac{11}{20}\right)%%

Hauptnenner (20) von %%\frac{68}5%% und %%\frac{11}{20}%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=5-\left(\frac{272}{20}+\frac{11}{20}\right)%%

%%=5-\left(\frac{283}{20}\right)%%

Hauptnenner (20) von %%5%% und %%\frac{283}{20}%% bilden und auf diesen erweitern.

%%=\frac{100}{20}-\frac{283}{20}%%

%%=-\frac{183}{20}%%


Teilaufgabe b

Größer, da %%\frac{33}{100}>\frac{30}{100}%% ist. Also ist der Wert durch den subtrahiert wird größer. Dadurch wird das Ergebnis kleiner.

Größer, da %%\frac{33}{100}>\frac{30}{100}%% ist. Also ist der Wert durch den subtrahiert wird größer. Dadurch wird das Ergebnis kleiner.

Berechne den Wert des Terms.

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