Nullstellen von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

f:R+R,xlogb(x)f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x), wobei bR+b\in\mathbb{R}^+ und b1b\neq 1 gilt.

bb heißt Basis des Logarithmus.

Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x). Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:

Da die Logarithmusfunktion y=logb(x)y=\log_b(x) die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form y=bxy=b^x ist, gilt: x=byx=b^y.

Daraus folgt für die Nullstelle: x0=b0=1x_0=b^0=1

\Rightarrow Eine Logarithmusfunktion der Form f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) hat die Nullstelle bei x0=1x_0=1.

Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form f(x)=logb(g(x))f(x)=\log_b\left(g(x)\right) sein, bei der das Argument g(x)g(x) eine beliebige Funktion ist.

Allgemein gilt also:

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.

Beispiele

Setze das Argument x2x1x^2-x-1 gleich Eins und löse die Gleichung.

Die Funktion f(x)f(x) hat zwei Nullstellen bei x1=2x_1=2, x2=1x_2=-1.

Setze das Argument cos(x)+0,5\mathrm{cos}(x)+0{,}5 gleich Eins und löse die Gleichung.


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