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Definitionsbereich bestimmen

11Definitionsbereich von trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Funktionen sind Sinusfunktion sin(x)\mathrm{sin}(x), Kosinusfunktion cos(x)\mathrm{cos}(x) und Tangensfunktion tan(x)\mathrm{tan}(x).

Sinus- und Kosinusfunktion haben ganz R\mathbb R als Definitionsbereich.

Die Tangensfunktion ist folgendermaßen definiert: tan(x)=sin(x)cos(x)\mathrm{tan}(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)}.

Man sieht, dass man alle x∈Rx\in\mathbb R ausschließen muss, für die cos(x)=0\mathrm{cos}(x)=0 wird. Dies ist für die folgende Zahlenmenge der Fall: N={(2k−1)π2  ∣k∈Z}N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\}. Vergleiche hierzu auch die Kursseite "Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3/5)".

Im Definitionsbereich der Tangensfuntion müssen somit alle x∈Rx\in\mathbb R ausgeschlossen werden, für die das Argument gleich (2k−1)π2(2k-1)\dfrac{\pi}{2} mit k∈Zk\in \mathbb{Z} wird.

Beispiel

f(x)=tan⁡(0,5π⋅x)f(x)=\tan(0{,}5\pi\cdot{x})

Prüfe, wann das Argument 0,5π⋅x0{,}5\pi\cdot{x} gleich (2k−1)π2(2k-1)\dfrac{\pi}{2} mit k∈Zk\in \mathbb{Z} wird.

0,5π⋅x=(2k−1)π2∣⋅2π⋅x=(2k−1)π∣:πx=2k−1\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0{,}5\pi\cdot{x}&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}&|\cdot2\\\pi\cdot{x}&=&(2k-1)\pi&|:\pi \\x&=&2k-1\end{array}

Die Werte x=2k−1x=2k-1 mit k∈Zk\in\mathbb{Z} müssen somit aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

⇒D=R\{2k−1  ∣k∈Z}\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash\{2k-1\;|k\in\mathbb{Z}\}.

Tangensfunktion

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