11Definitionsbereich von trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Funktionen sind Sinusfunktion $\mathrm{sin}(x)$ , Kosinusfunktion $\mathrm{cos}(x)$ und Tangensfunktion $\mathrm{tan}(x)$ .

Sinus- und Kosinusfunktion haben ganz $\mathbb R$ als Definitionsbereich.

Die Tangensfunktion ist folgendermaßen definiert: $\mathrm{tan}(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)}$ .

Man sieht, dass man alle $x\in\mathbb R$ ausschließen muss, für die $\mathrm{cos}(x)=0$ wird. Dies ist für die folgende Zahlenmenge der Fall: $N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\}$ . Vergleiche hierzu auch die Kursseite "Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3/5)".

Im Definitionsbereich der Tangensfuntion müssen somit alle $x\in\mathbb R$ ausgeschlossen werden, für die das Argument gleich $(2k-1)\dfrac{\pi}{2}$ mit $k\in \mathbb{Z}$ wird.

Beispiel

$f(x)=\tan(0{,}5\pi\cdot{x})$

Prüfe, wann das Argument $0{,}5\pi\cdot{x}$ gleich $(2k-1)\dfrac{\pi}{2}$ mit $k\in \mathbb{Z}$ wird.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0{,}5\pi\cdot{x}&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}&|\cdot2\\\pi\cdot{x}&=&(2k-1)\pi&|:\pi \\x&=&2k-1\end{array}$

Die Werte $x=2k-1$ mit $k\in\mathbb{Z}$ müssen somit aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

$\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash\{2k-1\;|k\in\mathbb{Z}\}$ .

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