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Definitionsbereich bestimmen

4Definitionsbereich gebrochen-rationaler Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form f(x)=p(x)q(x)f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}, wobei sowohl p(x)p(x) als auch q(x)q(x) Polynome sind.

Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen x∈Rx\in\mathbb R ausschließen, für die gilt: Der Nenner q(x)=0q(x)=0.

Beispiel

f(x)=13x+75x3−20xf(x)=\displaystyle\frac{13x+7}{5x^3-20x}

→  q(x)=5x3−20x\rightarrow\;q(x)=5x^3-20x

Prüfe, wann q(x)q(x) Null wird.

5x3−20x\displaystyle 5x^3-20x==0\displaystyle 0
↓

xx ausklammern.

5x⋅(x2−4)\displaystyle 5x\cdot(x^2-4)==0\displaystyle 0
↓

Verwende: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Setze die einzelnen Faktoren gleich Null.

5x\displaystyle 5x==0\displaystyle 0:5\displaystyle :5
x1\displaystyle x_{1_{ }}==0\displaystyle 0
x2−4\displaystyle x^2-4==0\displaystyle 0+4\displaystyle +4
x2\displaystyle x^2==4\displaystyle 4\displaystyle \sqrt{ }
x2,3\displaystyle x_{2{,}3}==±2\displaystyle \pm2

Die Nullstellen sind gegeben durch: x1=0x_1=0, x2=2x_2=2 und x3=−2x_3 =-2.

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also D=R\{−2;0;2}\mathbb D=\mathbb R\backslash\{-2; 0; 2\}.

gebrochenrationale Funktion

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