9Definitionsbereich von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x)$ , wobei $b\in\mathbb{R}^+$ und $b\neq 1$ gilt.

$b$ heißt Basis des Logarithmus und $x$ das Argument des Logarithmus.

Das Argument kann auch ein Term beliebiger Form sein.

Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument stets positiv wird.

Beispiel

$f(x)=\mathrm{log}_5(x^2-1)$

Prüfe, wann das Argument $x^2-1$ kleiner oder gleich Null wird.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;&x^2-1\leq0&|+1\\\Leftrightarrow &x^2\leq1&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &|x|\leq1&\text{Betrag auflösen}\\ \Leftrightarrow &x\leq1\text{ oder }x\geq-1&\\ \Leftrightarrow &-1\leq x\leq1\end{array}$

$\;$

Wichtig bei der Umformung ist, den Betrag nicht zu vergessen!

Wenn $x$ zwischen $-1$ und $1$ liegt, wird $x^2-1$ kleiner oder gleich $0$ . Das Intervall von $-1$ bis $1$ muss man also ausschließen.

$\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash[-1;1]$

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