Aufgaben zu Geraden im Koordinatensystem

1
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.
Bestimme die Funktionsterme.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = 2$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:
  Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:
  $P_1(-3|0)$ $x_1= -3$ und $y_1 = 0$
  $P_2(0|2)$ $x_2= 0$ und $y_2 = 2$
  Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:
  $\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$
  Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:
  $f(x) = \dfrac{2}{3}\cdot x + 2$
  Lineare Funktion $g(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(2|-4)$ $x_1= 2$ und $y_1=-4$
  $P_2(3{,}5|0)$ $x_2=3{,}5$ und $y_2 = 0$
  Die Steigung ist dann:
  $\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3{,}5 - 2} = \frac{4}{1{,}5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle g(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$ .
  $\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$
  Löse nun nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$
  Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:
  $\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$
  Lineare Funktion $h(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $h(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1 = -2$
  $P_2(4|-3)$ $x_2= 4$ und $y_2=-3$
  Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}$
  Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t$
  Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$ .
  $\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t$
  Löse nun noch nach $t$ auf.
  $t = -3 + 1 = -2$
  Setze $m = -\dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(2|4)$ $x_1= 2$ und $y_1=4$
  $P_2(2{,}5|0)$ $x_2= 2{,}5$ und $y_2=0$
  Als Steigung ergibt sich:
  $\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2{,}5 - 2} = \frac{-4}{0{,}5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:
  $\displaystyle f(x) = -8 \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$ , ein:
  $\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t$
  Löse nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$
  Setze $m=-8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:
  $f(x) = -8\cdot x + 20$
  Lineare Funktion $g(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1=-2$
  $P_2(-4|-3)$ $x_2= -4$ und $y_2=-3$
  Berechne mit ihnen nun die Steigung:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = -2$
  Setze $m = \dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$ :
  $\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_1$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm a}_1=\frac12$ $\mathrm P\left(4|-2\right)$

${\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left( 1| -3\right)$

${\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3|-1\right)$

${\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32|4\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a_1\cdot x+t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze ${\mathrm a}_4=\frac45$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}x+t$
	↓	Setze $\mathrm P\left(\frac32\|4\right)$ in f(x) ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2}+t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot3+t$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{5}+t$	$\displaystyle -\frac{6}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 4-\frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{20}{5}-\frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 2{,}8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2{,}8$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f(x)=0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$\displaystyle \frac{4}{5}x+2{,}8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2{,}8$
$\displaystyle \frac{4}{5}x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8$	$\displaystyle :\frac{4}{5}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8:\frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{7}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$

$\Rightarrow$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(-\frac 7 2|0)$

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist $t=2{,}8=\frac {14}{5}$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|\frac {14}{5})$ .

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(5|4\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}$
$\displaystyle 1)-\;2)\;-3$ $=$ $\displaystyle -3m$ $\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze m in 1) ein.
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 1\cdot2+t$ $\displaystyle -2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$\displaystyle x-1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$ $=$ $\displaystyle 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(1|0\right)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

${\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)$

${\mathrm P}_1\left(-2|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen