Aufgaben zu Geraden im Koordinatensystem

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.
Bestimme die Funktionsterme.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f (x) = m \cdot x + t$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = 2$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:
  $P_{1} (- 3 | 0)$ $x_{1} = - 3$ und $y_{1} = 0$
  $P_{2} (0 | 2)$ $x_{2} = 0$ und $y_{2} = 2$
  Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:
  $m = \frac{2 - 0}{0 - (- 3)} = \frac{2}{3}$
  Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:
  $f (x) = \frac{2}{3} \cdot x + 2$
  Lineare Funktion $g (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g (x) = m \cdot x + t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (2 | - 4)$ $x_{1} = 2$ und $y_{1} = - 4$
  $P_{2} (3,5 | 0)$ $x_{2} = 3,5$ und $y_{2} = 0$
  Die Steigung ist dann:
  $m = \frac{0 - (- 4)}{3,5 - 2} = \frac{4}{1,5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.
  $g (x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2 | - 4)$ .
  $- 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$
  Löse nun nach $t$ auf.
  $t = - 4 - \frac{8}{3} \cdot 2 = - \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = - \frac{28}{3}$
  Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:
  $g (x) = \frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$
  Lineare Funktion $h (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $h (x) = m \cdot x + t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (0 | - 2)$ $x_{1} = 0$ und $y_{1} = - 2$
  $P_{2} (4 | - 3)$ $x_{2} = 4$ und $y_{2} = - 3$
  Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:
  $m = \frac{- 3 - (- 2)}{4 - 0} = \frac{- 3 + 2}{4} = - \frac{1}{4}$
  Lies entweder $t = - 2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.
  $h (x) = - \frac{1}{4} \cdot x + t$
  Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4 | - 3)$ .
  $- 3 = - \frac{1}{4} \cdot 4 + t$
  Löse nun noch nach $t$ auf.
  $t = - 3 + 1 = - 2$
  Setze $m = - \frac{1}{4}$ und $t = - 2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:
  $h (x) = - \frac{1}{4} \cdot x - 2$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f (x) = m \cdot x + t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (2 | 4)$ $x_{1} = 2$ und $y_{1} = 4$
  $P_{2} (2,5 | 0)$ $x_{2} = 2,5$ und $y_{2} = 0$
  Als Steigung ergibt sich:
  $m = \frac{0 - 4}{2,5 - 2} = \frac{- 4}{0,5} = - 4 \cdot \frac{2}{1} = - 8$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:
  $f (x) = - 8 \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2 | 4)$ , ein:
  $4 = - 8 \cdot 2 + t$
  Löse nach $t$ auf.
  $t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$
  Setze $m = - 8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:
  $f (x) = - 8 \cdot x + 20$
  Lineare Funktion $g (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g (x) = m \cdot x + t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (0 | - 2)$ $x_{1} = 0$ und $y_{1} = - 2$
  $P_{2} (- 4 | - 3)$ $x_{2} = - 4$ und $y_{2} = - 3$
  Berechne mit ihnen nun die Steigung:
  $m = \frac{- 3 - (- 2)}{- 4 - 0} = \frac{- 3 + 2}{- 4} = \frac{1}{4}$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = - 2$
  Setze $m = \frac{1}{4}$ und $t = - 2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$ :
  $g (x) = \frac{1}{4} \cdot x - 2$
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Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$a_{1} = \frac{1}{2}$ $P (4 | - 2)$

$a_{1} = \frac{3}{4} P (1 | - 3)$

$a_{1} = 2 P (3 | - 1)$

$a_{1} = \frac{4}{5} P (\frac{3}{2} | 4)$

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$P_{1} (2 | 1) P_{2} (5 | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = m \cdot x + t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} 1) 1 = m \cdot 2 + t \\ 2) 4 = m \cdot 5 + t \end{array}$
$1) - 2) - 3$ $=$ $- 3 m$ $: (- 3)$
$m$ $=$ $1$
Setze m in 1) ein.
$1$ $=$ $1 \cdot 2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $- 1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = x - 1 \Rightarrow f (x) = x - 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x_{N}$ $=$ $1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (1 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\Rightarrow S_{2} (0 | - 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 3 | - 2) P_{2} (2 | 3)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = m \cdot (- 3) + t \\ 2) 3 = m \cdot 2 + t \end{array} \end{array}$
$1) - 2) - 5$ $=$ $- 5 m$ $: (- 5)$
$m$ $=$ $1$
↓
Setze m in 2) ein.
$3$ $=$ $2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $1$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$ $=$ $x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x_{N}$ $=$ $- 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1 | 0)$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 2 | 3) P_{2} (4 | - 1)$

$P_{1} (- 4 | - 1) P_{2} (3 | 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 1 = - 4 m + t \\ 2) 1 = 3 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$
$- 2$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{2}{7}$
↓
Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$ $=$ $\frac{2}{7} \cdot 3 + t$ $- \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $1 - \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $\frac{1}{7}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$ $=$ $- \frac{1}{7}$ $: \frac{2}{7}$
$x$ $=$ $\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
↓
Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$ $=$ $- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- \frac{1}{2} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S_{2} (0 | \frac{1}{7})$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 3 | \frac{9}{2}) P_{2} (4 | - 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) \frac{9}{2} = - 3 m + t \\ 2) - 1 = 4 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2) :$
$\frac{11}{2}$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$ $=$ $- \frac{11}{14}$
Setze $m$ in $2)$ ein.
$- 1$ $=$ $- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$ $=$ $- \frac{44}{14} + t$ $+ \frac{44}{14}$
$\begin{array}{l} t = \frac{30}{14} \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen.
$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$ $=$ $0$ $- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$ $=$ $- \frac{30}{14}$ $: (- \frac{11}{14})$
↓
Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$ $=$ $- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$ $=$ $\frac{30}{11}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (\frac{30}{11} | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | \frac{30}{14})$
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 4 | - 2) P_{2} (\frac{7}{2} | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = - 4 m + t \\ 2) 4 = 3,5 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$ :
$- 6$ $=$ $- 7,5 m$ $: (- 7,5)$
$m$ $=$ $\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$ $=$ $0,8$
↓
Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$ $=$ $0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$ $=$ $- 3,2 + t$ $+ 3,2$
$\begin{array}{l} t = 1,2 \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = 0,8 x + 1,2 \Rightarrow f (x) = 0,8 x + 1,2$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$0,8 x + 1,2$ $=$ $0$ $- 1,2$
$0,8 x$ $=$ $- 1,2$ $: 0,8$
$x$ $=$ $\frac{- 1,2}{0,8}$
$x_{N} = - 1,5$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1,5 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1,2)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
1. $f (x) = - \frac{2}{3} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|2)).
  Gehe entsprechend der Steigung 3 nach rechts und 2 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
2. $f (x) = 2 x - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|-4)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 2 nach oben und zeichne den Punkt ein (hier B(1|-2)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
3. $f (x) = - \frac{5}{4} x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|1)).
  Gehe entsprechend der Steigung 4 nach rechts und 5 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(4|-4)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
4. $f (x) = - 4 x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|5)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 4 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(1|1)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
5. $f (x) = - 0,3 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Geradengleichung $y = m x + t$ , ergibt: Achsenabschnitt $t = 0$ und Steigung $m = - \frac{3}{10}$
  Aus dem Wert des y-Achsenabschnitt $t = 0$ folgt, dass es sich um eine Ursprungsgerade handelt. Der eine Geradenpunkt ist deshalb der Ursprung: $A (0 | 0)$ .
  Schreibe die Steigung als Bruch: $- 0,3 = - \frac{3}{10} = \frac{Δ y}{Δ x}$ . Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten. Dort ist der zweiten Geradenpunkt $B (10 | - 3)$ .
  Die Gerade verläuft durch die beiden Punkte $A$ und $B$ .
6. $f (x) = 2,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
  Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.
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5
Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$y = m \cdot x + t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P (2 | 2)$ und $Q (4 | 5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m = \frac{5 - 2}{4 - 2} = \frac{3}{2} = 1,5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m = \frac{senkrecht}{waagerecht} = \frac{3}{2} = 1,5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$g (x) = \frac{3}{2} \cdot x - 1 = 1,5 x - 1$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
1. $f (x) = 2 x - 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = 2 x - 5$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - 5)$
  $\Rightarrow m_{f} = 2$
  Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $2 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
  $2 x$ $=$ $5$ $: 2$
  $x_{0}$ $=$ $2,5$
  $\Rightarrow P_{x} (2,5 | 0)$
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2. $f (x) = - x - 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = - x - 3$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
  $\Rightarrow m_{f} = - 1$
  $- x - 3$ $=$ $0$ $+ x$
  $- 3$ $=$ $x_{0}$
  $\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$
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3. $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | 1)$
  $\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{2}$
  Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $\frac{1}{2} x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
  $\frac{1}{2} x$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
  $x_{0}$ $=$ $- 2$
  $\Rightarrow P_{x} (- 2 | 0)$
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4. $f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - 2)$
  $\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{2}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $- \frac{1}{2} x - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
  $- \frac{1}{2} x$ $=$ $2$ $\cdot (- 2)$
  $x_{0}$ $=$ $- 4$
  $\Rightarrow P_{x} (- 4 | 0)$
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5. $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - \frac{1}{2})$
  $\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{3}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{2}$
  $\frac{1}{3} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot 3$
  $x_{0}$ $=$ $\frac{3}{2}$
  $\Rightarrow P_{x} (\frac{3}{2} | 0)$
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6. $f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{3}{2})$
  $\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{4}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{3}{2}$
  $- \frac{1}{4} x$ $=$ $- \frac{3}{2}$ $\cdot (- 4)$
  $x_{0}$ $=$ $6$
  $\Rightarrow P_{x} (6 | 0)$
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7. $f (x) = \frac{2}{3} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = \frac{2}{3} x + 2$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | 2)$
  $\Rightarrow m_{f} = \frac{2}{3}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $\frac{2}{3} x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
  $\frac{2}{3} x$ $=$ $- 2$ $: \frac{2}{3}$
  $x_{0}$ $=$ $- 3$
  $\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$
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8. $f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - 1)$
  $\Rightarrow m_{f} = - \frac{3}{4}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $- \frac{3}{4} x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
  $- \frac{3}{4} x$ $=$ $1$ $: (- \frac{3}{4})$
  $x_{0}$ $=$ $- \frac{4}{3}$
  $\Rightarrow P_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$
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9. $f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{5}{10})$
  $\Rightarrow m_{f} = - 3$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $- 3 x + \frac{5}{10}$ $=$ $0$ $- \frac{5}{10}$
  $- 3 x$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: (- 3)$
  $x_{0}$ $=$ $\frac{1}{6}$
  $\Rightarrow P_{x} (\frac{1}{6} | 0)$
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10. $f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  $f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4} = \frac{5}{7} x - 3$
  Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
  $\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
  $\Rightarrow m_{f} = \frac{5}{7}$
  Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
  $\frac{5}{7} x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
  $\frac{5}{7} x$ $=$ $3$ $: \frac{5}{7}$
  $x_{0}$ $=$ $\frac{21}{5}$
  $\Rightarrow P_{x} (\frac{21}{5} | 0)$
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7
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.
Temperatur in Celsius
Temperatur in Fahrenheit
-10°
14°
0°
32°
20°
68°
60°
140°
Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion und Geradengleichung
Um die lineare Funktion $t (x) : y = m_{t} x + b_{t}$ zum Umrechnen der Temperatur zu bestimmen, wählst du zwei beliebige Punkte, die auf dieser liegen und bestimmst mit diesen zunächst die Steigung. Setze zum Beispiel $A (0 | 32)$ und $B (20 | 68)$ in die Formel für die Steigung ein.
$m_{t}$ $=$ $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
↓
Setz die Werte ein.
$m_{t}$ $=$ $\frac{68 - 32}{20 - 0} = 1,8$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{t}$ , indem du einen Punkt aus der Tabelle in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt, oder abliest, bei welchem Wert t die y-Achse schneidet.
$t (x) : y = m_{t} x + b_{t}$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$32 = 1,8 \cdot 0 + b_{t}$
Vereinfache.
$32 = b_{t} \Rightarrow b_{t} = 32$
Die Formel zur Berechnung von Celsius in Fahrenheit lautet also $t (x) = 1,8 x + 32$ .

Temperatur in Celsius	Temperatur in Fahrenheit
-10°	14°
0°	32°
20°	68°
60°	140°

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m = - \frac{4}{3}$ durch den Punkt $P (- 2 | - 0,5)$ auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

9
Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.
1. $P (2 | 0)$ und $Q (- 2 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (2 | 0); Q (- 2 | 2)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
  $m = \frac{2 - 0}{- 2 - 2} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (2 | 0)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $0 = - \frac{1}{2} \cdot 2 + t | + \frac{1}{2} \cdot 2$
  $t = 1$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow$ $y = - \frac{1}{2} x + 1$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (2 | 0)$ und $Q (- 2 | 2)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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2. $P (0,5 | 1,5)$ und $Q (5 | 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (0,5 | 1,5); Q (5 | 3)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
  $m = \frac{3 - 1,5}{5 - 0,5} = \frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $Q (5 | 3)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $3 = \frac{1}{3} \cdot 5 + t | - \frac{1}{3} \cdot 5$
  $t = \frac{4}{3}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow$ $y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (0,5 | 1,5)$ und $Q (5 | 3)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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3. $P (- 2 | 1)$ und $Q (6 | 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (- 2 | 1)$ ; $Q (6 | 4)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
  $m = \frac{4 - 1}{6 - (- 2)} = \frac{3}{8}$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 2 | 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $1 = \frac{3}{8} \cdot (- 2) + t$
  $1 = - \frac{6}{8} + t$
  $1 = - \frac{3}{4} + t | + \frac{3}{4}$
  $t = \frac{7}{4}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow$ $y = \frac{3}{8} x + \frac{7}{4}$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 2 | 1)$ und $Q (6 | 4)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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4. $P (- 4 | 1)$ und $Q (1 | - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (- 4 | 1)$ ; $Q (1 | - 1)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
  $m = \frac{- 1 - 1}{1 - (- 4)} = - \frac{2}{5}$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 4 | 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $1 = - \frac{2}{5} \cdot (- 4) + t$
  $1 = \frac{8}{5} + t | - \frac{8}{5}$
  $t = - \frac{3}{5}$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\Rightarrow$ $y = - \frac{2}{5} x - \frac{3}{5}$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 4 | 1)$ und $Q (1 | - 1)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben sind die Funktionen $g (x) = 0,75 x + 3$ und $h (x) = - x - 2,5$ .
Die Gerade h soll so in y-Richtung verschoben werden, dass g und die verschobene Gerade h die x-Achse im gleichen Punkt schneiden.
Bestimmen Sie den Funktionsterm $f (x)$ für die verschobene Gerade.
ist der Funktionsterm der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Wie man am Bild erkennen kann, muss man die Gerade h in y-Richtung, so verschieben, dass f und g dann die gleiche Nullstelle haben.
f hat die gleiche die Steigung wie h, also $m = - 1$ .
Nullstelle von g bestimmen
$0$ $=$ $\frac{3}{4} \cdot x + 3$
↓
Nach x auflösen.
$x$ $=$ $- 4$
Geradengleichung von f bestimmen
Setze die Nullstelle (-4 | 0) und die Steigung von f in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$ $=$ $m \cdot x + t$
$0$ $=$ $(- 1) \cdot (- 4) + t$
$t$ $=$ $- 4$
Also lautet die Geradengleichung für f:
$f (x) = - x - 4$
11
Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.
1. $G_{f}$ hat die Steigung $\frac{3}{4}$ und schneidet die y-Achse bei $- 2$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
  Funktionsterm aufstellen
  $m = \frac{3}{4}; t = - 2$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ ein.
  $\Rightarrow y = \frac{3}{4} x - 2$
  Gerade zeichnen
  Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | - 2)$ . Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechend der Steigung $m = \frac{3}{4}$ nach oben (Alternativ auch die vierfache Länge, um Brüche zu vermeiden: $4$ nach rechts und $3$ nach oben). Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
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2. $G_{f}$ hat die Steigung $0$ und schneidet die y-Achse bei $3$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
  Funktionsterm aufstellen
  $m = 0; t = 3$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ ein.
  $\Rightarrow y = 3$
  Gerade zeichnen
  Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | 3)$ parallel zur $x$ -Achse, da die Gerade die Steigung $0$ hat.
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3. $G_{f}$ geht durch den Punkt $P (- 3 | - 2)$ und ist parallel zur $x$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
  Funktionsterm aufstellen
  Da die Gerade parallel zur $x$ -Achse liegt, ist ihre Steigung $0$ $\Rightarrow m = 0$ .
  Die Gerade geht durch den Punkt $(- 3 | - 2)$ . Da die Steigung $0$ ist, hat die Gerade bei $x = 0$ den y-Wert $- 2$ .
  Ihr $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $- 2 \Rightarrow t = - 2.$
  $m = 0; t = - 2$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Funktion $y = m x + t$ ein.
  $y = - 2$
  Gerade zeichnen
  Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | - 2)$ parallel zur $x$ -Achse, da die Gerade die Steigung $0$ hat.
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4. $G_{f}$ geht durch den Punkt $P (- 4 | 2)$ und ist parallel zur $y$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
  Funktionsterm aufstellen
  Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.
  
  Wir können die Gerade aber trotzdem zeichnen.
  Gerade zeichnen
  Die Gerade verläuft durch den Punkt $(- 4 | 2)$ parallel zur $y$ -Achse.
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12
Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:
1. $y = 3 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = 3 x - 2$
  $- 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | - 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme die Steigung $m$ der Funktion
  $y = 3 x - 2$
  $3$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = 3$
  Gerade zeichnen
  Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.
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2. $y = 2 - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Gleichung umstellen
  $y = 2 - x$
  Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.
  $y = - x + 2$
  Einen Punkt ermitteln
  $y = - x + 2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - x + 2$
  $- 1$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - 1$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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3. $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Ein Punkt ermitteln
  $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  $- 1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | - 1)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  $- \frac{3}{4}$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - \frac{3}{4}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac{3}{4}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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4. $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  $- \frac{1}{2}$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - \frac{1}{2}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac{1}{2}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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5. $y = \frac{3}{4} x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = \frac{3}{4} x + 1$
  $1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 1)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = \frac{3}{4} x + 1$
  $\frac{3}{4}$ entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = \frac{3}{4}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $\frac{3}{4}$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist der Punkt $P (t | \frac{t}{2} + 3)$ mit $t \in ℝ$
Wählen Sie für t einige Werte und tragen Sie die dazugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Wie liegen die Punkte im Koordinatensystem? Für welche t- Werte gilt: x- Koordinate ist gleich y- Koordinate des Punktes P?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen
Setze beispielsweise $t = {0; 1; 2; 3; 4}$ ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auch andere Zahlen für $t$ sind zulässig.
$t = 0 : y = \frac{0}{2} + 3$
$y = 3$
$\Rightarrow A (0 | 3)$
$t = 1 : y = \frac{1}{2} + 3$
$y = 3,5$
$\Rightarrow B (1 | 3,5)$
$t = 2 : y = \frac{2}{2} + 3$
$y = 4$
$\Rightarrow C (2 | 4)$
$t = 3 : y = \frac{3}{2} + 3$
$y = 4,5$
$\Rightarrow D (3 | 4,5)$
$t = 4 : y = \frac{4}{2} + 3$
$y = 5$
$\Rightarrow E (4 | 5)$
Zeichne die Punkte A, B, C, D und E in ein Koordinatensystem.
$\Rightarrow$ Alle Punkte liegen auf einer Geraden. Diese hat die Gleichung $y = \frac{t}{2} + 3$ .
Berechne, wann die x - und y - Koordinate den gleichen Wert haben.
Setze dafür y mit t gleich.
$t = y$
Ersetze $y$ durch den Term $\frac{t}{2} + 3$ .
$t = \frac{t}{2} + 3 | \cdot 2$
$2 t = t + 6 | - t$
$t = 6$
$\Rightarrow$ Die x - und y - Koordinate haben den gleichen Wert, wenn $t = 6$ ist. Der zugehörige Punkt ist $P (6 | 6)$ .
14
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:
1. $y = - 1$
  Die Gerade liegt senkrecht im Koordinatensystem.
  Die Gerade liegt waagerecht im Koordinatensystem.
  Die Gerade hat die Steigung 1.
  Die Gerade ist eine Horizontale, die die y-Achse beim Wert -1 schneidet.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
  Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von $x$ ab. Jeder der $x$ -Werte hat den $y$ -Wert $- 1$ .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.
  $\Rightarrow y = - 1$ beschreibt also eine Gerade mit Steigung $0$ durch den Punkt $(0, - 1)$ .
  So sieht der Graph aus:
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2. $x + y = - 2$
  Die Gerade steigt.
  Die Gerade fällt.
  Die Gerade geht durch den Punkt $P (0 | - 2)$ .
  Die Gerade geht durch den Punkt $P (- 2 | 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
  $y + x = - 2$
  Forme um, sodass $y$ alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.
  $y = - x - 2$
  Lese die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ ab.
  Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung $m = - 1$ und dem y-Achsenabschitt $t = - 2$ (Sie geht durch den Punkt $(0, - 2)$ ) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um $2$ nach unten verschoben.
  So sieht der Graph aus:
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist die lineare Funktion $f (x) = 3 - \frac{12}{7} x$ .
1. Zeichne den Graphen und markiere den Funktionswert $f (- 1)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion zeichnen
  Zeichne den Graphen der Funktion und kennzeichne $f (- 1)$ .
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2. Liegt der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ auf dem Graphen von $f (x)$ ?
  Ja der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Nein der Punkt $P$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraph interpretieren
  Prüfe, ob der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
  Setze dazu den $x$ -Wert $\sqrt{7}$ in die Funktionsgleichung $y (x) = 3 - \frac{12}{7} x$ ein.
  $3 - \frac{12}{7} \cdot \sqrt{7}$ $\approx$ $3 - \frac{12}{7} \cdot 2,65$
  ↓
  Multipliziere.
  $\approx$ $3 - 4,543$
  ↓
  Subtrahiere.
  $\approx$ $- 1,543$
  Ergebnis
  Der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ liegt nicht auf dem Graphen, da der Funktionswert von $\sqrt{7}$ ein nicht endender Dezimalbruch ist und nicht der endliche Dezimalbruch $- 1,54$ . Solltest du mit gerundeten Werten gerechnet haben, kannst du zum Schluss kommen, dass der Punkt im Graphen enthalten sei. Dies ist nicht der Fall.
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Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:
1. Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung $y = \frac{5}{4} x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  Vorgegebene Graphengleichung: $y = \frac{5}{4} x - 1$
  Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.
  $m = \frac{5}{4} $
  $ t = - 1$
  Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t = - 1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.
  Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $- 1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.
  Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m = \frac{5}{4}$ besitzt, indem du vom Punkt $x = 0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um $\frac{5}{4}$ erhöht.
  Beide Graphen beginnen beim Punkt $P (0; - 1)$ . Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac{5}{4}$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0 + 4 | - 1 + 5) = (4 | 4)$ .
  Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.
  $\Rightarrow$ Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.
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2. Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  zu überprüfende Gerade: Graph III
  Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
  Der y-Wert des Punktes, indem die y-Achse geschnitten wird, beträgt $y = 1,25$ . Somit ist $t = 1,25$ .
  Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x = 0$ , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.
  Der y-Wert erhöht sich von $y = 1,25$ auf $y = 2,25$ . Somit beträgt die Steigung $m = \frac{2,25 - 1,25}{1} = \frac{1}{1} = 1$ .
  Stelle die Gleichung auf.
  ⇒ Der Graph III hat die Gleichung $y = x + 1,25$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	Setze $a_{1} = \frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x + t$
	↓	Setze P in f(x) ein.
$- 2$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 + t$	$- 2$
	↓	löse nach t auf
$t$	$=$	$- 4$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x)$	$=$	$0$
	↓	Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
$\frac{1}{2} x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$4$	$: \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$\frac{4}{\frac{1}{2}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$4 \cdot 2$
$x$	$=$	$8$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{2} = \frac{3}{4}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{3}{4} x + t$
	↓	Setze P(1/-3) in f(x) ein.
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 1 + t$
	↓	Multipliziere
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} + t$	$- \frac{3}{4}$
$t$	$=$	$- 3 - \frac{3}{4}$
	↓	Addiere
$t$	$=$	$- 3,75$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\frac{3}{4} x - 3,75$	$=$	$0$	$+ 3,75$
$\frac{3}{4} x$	$=$	$3,75$	$: \frac{3}{4}$
$x$	$=$	$3,75 : \frac{3}{4}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$3,75 \cdot \frac{4}{3}$
	↓	Multiplikation
$x$	$=$	$5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{3} = 2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$2 x + t$
	↓	Setze P(3/-1) in f(x) ein.
$- 1$	$=$	$2 \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$- 1$	$=$	$6 + t$	$- 6$
$t$	$=$	$- 1 - 6$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$- 7$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$2 x - 7$	$=$	$0$	$+ 7$
$2 x$	$=$	$7$	$: 2$
$x$	$=$	$7 : 2$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$3,5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{4} = \frac{4}{5}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{4}{5} x + t$
	↓	Setze $P (\frac{3}{2} \| 4)$ in f(x) ein.
$4$	$=$	$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} + t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$4$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$4$	$=$	$\frac{6}{5} + t$	$- \frac{6}{5}$
$t$	$=$	$4 - \frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$t$	$=$	$\frac{20}{5} - \frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$\frac{14}{5}$
$t$	$=$	$2,8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\frac{4}{5} x + 2,8$	$=$	$0$	$- 2,8$
$\frac{4}{5} x$	$=$	$- 2,8$	$: \frac{4}{5}$
$x$	$=$	$- 2,8 : \frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$- \frac{7}{2}$
$x$	$=$	$- 3,5$

$1) - 2) - 5$	$=$	$- 5 m$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$1$
	↓	Setze m in 2) ein.
$3$	$=$	$2 + t$	$- 2$
$t$	$=$	$1$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$

1) - 2)
	↓
$4$	$=$	$- 6 m$	$: (- 6)$
$m$	$=$	$\frac{4}{- 6}$
	↓	Kürze mit 2.
$m$	$=$	$- \frac{2}{3}$
	↓	Setze m in 1) ein
$3$	$=$	$- 2 (- \frac{2}{3}) + t$
	↓	Multipliziere.
$3$	$=$	$\frac{4}{3} + t$	$- \frac{4}{3}$
$t$	$=$	$3 - \frac{4}{3}$
	↓	Subtrahiere.
$t$	$=$	$1 \frac{2}{3}$
	↓	Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$

$\frac{11}{2}$	$=$	$- 7 m$	$: (- 7)$
$m$	$=$	$\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$	$=$	$- \frac{11}{14}$

$- 1$	$=$	$- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$	$=$	$- \frac{44}{14} + t$	$+ \frac{44}{14}$

$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$	$=$	$0$	$- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$	$=$	$- \frac{30}{14}$	$: (- \frac{11}{14})$
	↓	Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$	$=$	$- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$	$=$	$\frac{30}{11}$

$0,8 x + 1,2$	$=$	$0$	$- 1,2$
$0,8 x$	$=$	$- 1,2$	$: 0,8$
$x$	$=$	$\frac{- 1,2}{0,8}$

$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$	$=$	$0$	$- 1 \frac{2}{3}$
$- \frac{2}{3} x$	$=$	$- 1 \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$	$: (- \frac{2}{3})$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{5}{3}}{- \frac{2}{3}}$
	↓	Brüche dividieren.
$x_{N}$	$=$	$- \frac{5}{3} \cdot (- \frac{3}{2})$
	$=$	$\frac{5}{2} = 2,5$

$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$	$=$	$0$	$- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$	$=$	$- \frac{1}{7}$	$: \frac{2}{7}$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
	↓	Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$- 6$	$=$	$- 7,5 m$	$: (- 7,5)$
$m$	$=$	$\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$	$=$	$0,8$
	↓	Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$	$=$	$0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$	$=$	$- 3,2 + t$	$+ 3,2$

$\frac{1}{2} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$x_{0}$	$=$	$- 2$

$- \frac{1}{2} x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$- \frac{1}{2} x$	$=$	$2$	$\cdot (- 2)$
$x_{0}$	$=$	$- 4$

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot 3$
$x_{0}$	$=$	$\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- \frac{3}{2}$	$\cdot (- 4)$
$x_{0}$	$=$	$6$

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$- 2$	$: \frac{2}{3}$
$x_{0}$	$=$	$- 3$

$- \frac{3}{4} x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$	$=$	$- \frac{4}{3}$

$- 3 x + \frac{5}{10}$	$=$	$0$	$- \frac{5}{10}$
$- 3 x$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$: (- 3)$
$x_{0}$	$=$	$\frac{1}{6}$

Aufgaben zu Geraden im Koordinatensystem

Lineare Funktion f(x)

Lineare Funktion g(x)

Lineare Funktion h(x)

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Lineare Funktion f(x)

Lineare Funktion g(x)

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

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Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

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Bestimmung der Achsenschnittpunkte

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Geradengleichung erstellen

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Nullstelle von g bestimmen

Lineare Funktion $f (x)$

Lineare Funktion $g (x)$

Lineare Funktion $h (x)$

Lineare Funktion $f (x)$

Lineare Funktion $g (x)$

$\frac{5}{7} x - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
$\frac{5}{7} x$	$=$	$3$	$: \frac{5}{7}$
$x_{0}$	$=$	$\frac{21}{5}$

$m_{t}$	$=$	$\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
	↓	Setz die Werte ein.
$m_{t}$	$=$	$\frac{68 - 32}{20 - 0} = 1,8$

$- \frac{1}{2}$	$=$	$- \frac{4}{3} \cdot (- 2) + t$
	↓	$- \frac{4}{3} \cdot (- 2) = \frac{(- 4) \cdot (- 2)}{3} = \frac{8}{3}$
$- \frac{1}{2}$	$=$	$\frac{8}{3} + t$	$- \frac{8}{3}$
$t$	$=$	$- \frac{1}{2} - \frac{8}{3}$
	↓	Bringe die beiden Brüche auf denselben Nenner.
$t$	$=$	$- \frac{3}{6} - \frac{16}{6}$
	↓	Subtrahiere.
$t$	$=$	$- \frac{19}{6}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
$t$	$=$	$- 3 \frac{1}{6}$
	↓	Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

$0$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot x + 3$
	↓	Nach x auflösen.
$x$	$=$	$- 4$

$y$	$=$	$m \cdot x + t$
$0$	$=$	$(- 1) \cdot (- 4) + t$
$t$	$=$	$- 4$

$3 - \frac{12}{7} \cdot \sqrt{7}$	$\approx$	$3 - \frac{12}{7} \cdot 2,65$
	↓	Multipliziere.
	$\approx$	$3 - 4,543$
	↓	Subtrahiere.
	$\approx$	$- 1,543$