Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=(1−x)⋅ln(1−x1) ; Df=Dmax
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln - Funktion
Definitionslücke des Bruchs
Definitionslücke bei: x=0
Definitionslücken des Logarithmus
Nun musst du eine Fallunterscheidung machen für x größer oder kleiner Null:
Fall x>0 x>1
Fall x<0 x<1 und strenger noch nach Annahme x<0
⇒Df=R\[0;1]
Nullstellen
Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.
1 − x = 0 + x x = 1 ⇒ kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .
Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.
ln(1−x1) = 0 Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.
⇒ Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für ln(1−x1) .
1. Ableitung:
f(x)=(1−x)⋅ln(1−x1)
Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu u=(1−x) und v=ln(1−x1) getrennt ableiten.
Für v muss mit der Ableitung vom Inneren des ln nachdifferenziert werden.
u′ = −1 v′ = 1−x11⋅x21 ↓ Terme multiplizieren
= x2−x1 Nun kann die Produktregel angewendet werden.
f′(x) = −1⋅ln(1−x1)+(1−x)⋅x2−x1 ↓ Die hinteren beiden Terme multiplizieren
= −ln(1−x1)+x2−x1−x ↓ Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern
= −ln(1−x1)−x(x−1)x−1 ↓ (x−1) kürzen
= −ln(1−x1)−x1 2. Ableitung:
Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.
f′(x) = −ln(1−x1)−x1 ↓ Im ln 1 mit x erweitern und dann davon x1 subtrahieren
= −ln(xx−1)−x1 f′(x) ableiten:
Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: u‘=1,v‘=1 . Im Anschluss x1 ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: u′=0, v′=1.
f‘‘(x) = −(x−1x⋅x21⋅x−(x−1)⋅1)+x21 ↓ In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren.
= −x2−xx−(x−1)+x21 ↓ Ersten Zähler vereinfachen und im Nenner x ausklammern.
= −x⋅(x−1)1+x21 ↓ Alle Brüche auf den Hauptnenner x2⋅(x−1) erweitern.
= −x2⋅(x−1)x+x2⋅(x−1)(x−1) ↓ Brüche addieren.
= −x2⋅(x−1)1 - 2
Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=2−ln(x2−1)1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen des Nenner
f(x)=2−ln(x2−1)1
Der Nenner ist dann 0, wenn ln(x2−1)=2 ist.
ln(x2−1) = 2 ∣e(...) x2−1 = e2 +1 x2 = e2+1 x = ±e2+1 ⇒x1=−e2+1,x2=e2+1
Definitionsbereich des Logarithmus
f(x)=2−ln(x2−1)1
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
x2−1 > 0 +1 x2 > 1 ∣x∣ > 1 ⇒x>1 oder x<−1
⇒ Df=]−∞;−1[∪ ]1;+∞[\{−e2+1,e2+1}
Nullstellenbestimmung
⇒ Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Bilde die 1. Ableitung
f(x)=2−ln(x2−1)1
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
f(x)=(2−ln(x2−1))−1
Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:
f‘(x)=−(2−ln(x2−1))−2⋅(−x2−11⋅2x)=(x2−1)⋅(2−ln(x2−1))22x
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=1−(lnx)21+(lnx)2
Df=Dmax
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln-Funktion
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich von f:
f(x)=1−(lnx)21+(lnx)2
Um die Definitionslücken zu finden, benötigst du die Nullstellen des Nenners. Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.
1−(lnx)2 = 0 +(lnx)2 1 = (lnx)2 1 = ±lnx 1. Fall: +lnx
1 = lnx ↓ ln anwenden.
e = x 2.Fall: -lnx
1 = −lnx ⋅(−1) −1 = lnx ↓ ln anwenden.
x = e−1 ↓ Potenzgesetz anwenden.
x = e1 Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
x>0
⇒ Df=]0;∞[\{e1;e}
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen von f:
1+(lnx)2=0
Durch das Quadrieren kann der zweite Summand nicht negativ werden.
⇒ Die Funktion hat keine Nullstellen.
Ableitung bilden
Bilde die Ableitung:
f(x)=1−(lnx)21+(lnx)2
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs (jeweils unter Verwendung der Kettenregel).
u‘=2⋅lnx⋅x1,v‘=−2⋅lnx⋅x1
Verwende die Quotientenregel.
f′(x) = (1−(lnx)2)22⋅lnx⋅x1⋅(1−(lnx)2)−(−2)⋅lnx⋅x1⋅(1+(lnx)2) ↓ x1 ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
= (1−(lnx)2)2x1⋅(2⋅lnx−2⋅(lnx)3+2⋅lnx+2⋅(lnx)3) ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= x⋅(1−(lnx)2)24⋅lnx - 4
Diskutiere folgende Funktionen.
f(x)=lnx2x+2; Df=Dmax
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
x2 = 0 x = 0 Definitionslücken des Logarithmus
f(x)=lnx2x+2
Der ln muss immer positiv sein.
x2x+2 > 0 ⋅x2 ↓ Da x2 immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
x+2 > 0 −2 x > −2 ⇒Df=]−2;∞[\{0}
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen
f(x)=lnx2x+2
f(x) = 0 lnx2x+2 = 0 ↓ lnx ist für x=1 gleich 0. Finde also die x-Werte, sodass x2x+2=1
x2x+2 = 1 ⋅x2 x+2 = x2 −x2 −x2+x+2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x1;2 = 2⋅(−1)−1±12−4⋅(−1)⋅2 x1;2 = −2−1±3 x1=−2−1+3=−1,x2=−2−1−3=2
⇒NST(−1∣0),NST(2∣0)
Ableitungen bilden
Bestimme die Ableitungen.
1. Ableitung
f(x)=lnx2x+2
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
u‘=1,v‘=2x
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, nachdifferenzieren mit der Quotientenregel.
f′(x) = x+2x2⋅x41⋅x2−(x+2)⋅2x ↓ Im Zähler des zweiten Bruchs ausmultiplizieren.
= x+2x2⋅x4x2−2x2−4x ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= x+2x2⋅x4−x2−4x ↓ = x2+2x−x−4 2. Ableitung
f′(x)=x2+2x−x−4
Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').
u‘=−1,v‘=2x+2
Quotientenregel anwenden.
f′′(x) = (x2+2x)2(x2+2x)⋅(−1)−(−x−4)⋅(2x+2) ↓ Ausmultiplizieren
= (x2+2x)2−x2−2x+2x2+2x+8x+8 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= (x2+2x)2x2+8x+8 Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
−x−4 = 0 +x x = −4 ⇒ Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
x-Werte bestimmen
f′′(x)=(x2+2x)2x2+8x+8
Zum Bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.
x2+8x+8 = 0 ↓ Mitternachtsformel verwenden.
x1;2 = 2−8±64−32 x1;2 = −4±22 f(x1)=ln(−4+22)2−2+22
⇒ Da bei x2 das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für x1 einen Wendepunkt.
⇒WP(−4±22ln(−4+22)2−2+22)
Grenzwertbetrachtung
Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
⇒Df=]−2;∞[\{0}
Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und +∞ .
Grenzwert bei 0
f(x)=lnx2x+2
Annäherung von links.
x→0−limlnx2x+2 = x→0−limln→0+2xx→0+2 = ln0+2 = +∞ f(x)=lnx2x+2
Annäherung von rechts.
x→0+limlnx2x+2 = x→0+limln→0+2xx→0+2 = ln0+2 = +∞ Grenzwert bei -2
f(x)=lnx2x+2
Annäherung von rechts
x→−2+limlnx2x+2 = x→−2+limln→4x2x→−2−+2→0+=ln0+ = −∞ Grenzwert gegen +∞
x→∞limlnx2x+2 = x→∞limln→1x2x2x2x→0++x22→0+=ln10+ = −∞ Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
f(x)=lnx2x+2
Setze −x für x ein.
f(−x) = ln(−x)2−x+2 = lnx2−x+2 ⇒ Da f(−x) weder f(x) noch −f(x) ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung .
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
x∈]−2;0[
x=0
x>0
Vorzeichen von f′(x)
+
/
-
Gf
↗
/
↘
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x);Df=Dmax
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenners
x=0
Definitionsbereich des Logarithmus
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
2x ist dann positiv, wenn x positiv ist.
⇒Df=]0;∞[
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Setze die Funktion gleich 0.
0=2(x2)2(1+2ln2x)
Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.
Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.
Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.
0 = 1+2ln2x −1 −1 = 2ln2x :2 −21 = ln2x ↓ e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
e−21 = 2x ⋅2 x = 2⋅e−21 ↓ Ab hier kann man die Formel noch ein wenig umstellen mithilfe von Potenzgesetzen.
x = 2⋅e−1⋅(21) ↓ a−1=a1
x = e212 ↓ a21=a
x = e2 ⇒NST(e2∣0)
Ableitungen bilden
1. Ableitung
f(x) = 2(x2)2(1+2ln2x) ↓ Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .
= 2(x24)(1+2ln2x) ↓ = x28+x216ln2x Bilde nun die Ableitung. Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil: u‘=(−x332),v‘=x2⋅21
f′(x) = −x316−x332⋅ln2x+x216⋅x1 ↓ In der letzten Summe multiplizieren .
= −x316−x332⋅ln2x+x316 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= −x332⋅ln2x 2. Ableitung
f′(x)=−x332⋅ln2x
Getrennte Ableitung von u=(−x332) und v=(ln2x) bilden und mithilfe der Produktregel die zweite Ableitung f′′(x) bestimmen.
u‘=x496,v‘=x2⋅21
Wende die Produktregel an.
f′′(x) = x496⋅ln2x−x332⋅x1 ↓ Vereinfache.
= x496⋅ln2x−x432 = x432⋅(3ln2x−1) Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
f′(x)=−x332⋅ln2x
Setze die Funktion gleich 0.
Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.
Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das Innere des ln = 1 ist.
2x = 1 ⋅2 x = 2 Art des Extremums bestimmen
f′′(x)=x432⋅(3ln2x−1)
Gefundenes x=2 einsetzen.
f′′(2) = 2432⋅(3ln22−1) = 1632⋅(3⋅0−1) = −2 ⇒ Da f′′(x)<0 ist an der Stelle x=2 ein Maximum.
y-Wert bestimmen
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Gefundenes x=2 einsetzen.
f(2) = 2(22)2(1+2ln22) = 2⋅1⋅(1+2⋅0) = 2 f hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten (2∣2).
Wendepunkte bestimmen
x-Werte bestimmen
f‘‘(x)=x432⋅(3ln2x−1)
Setze die Funktion gleich 0.
Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.
0 = 3ln 2x−1 +1 1 = 3ln2x :3 31 = ln 2x ↓ e-Funktion anwenden.
e31 = 2x ⋅2 x = 2e31 y-Wert bestimmen
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Gefundenes x=2⋅e31 einsetzen
f(2⋅e31) = 2(2⋅e312)2(1+2ln22⋅e31) ↓ = 2(e311)2(1+2ln(e31)) ↓ ln und e hebt sich auf. Exponent in die Klammer ziehen.
= e322(1+2⋅31) ↓ = e322+3e324 ↓ = 3e326+3e324 ↓ = 3e3210 ⇒WP2⋅e313e3210
Grenzwertbetrachtung
⇒Df=]0;∞[
Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und +∞ .
Grenzwert bei 0
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Annäherung von rechts an 0.
x→0+lim2(x2)2(1+2ln2x)= = x→0+lim2→+∞→0+x22→−∞1+2→−∞ln2x→0+ = −∞ Grenzwert bei +∞
f(x)=2(x2)2(1+2ln2x)
Annäherung an +∞ .
x→+∞lim2(x2)2(1+2ln2x) = x→+∞lim22→+∞x2→+∞1+2→+∞ln2x→+∞ = 0 Symmetrieverhalten
Überprüfe das Symmetrieverhalten.
Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.
⇒ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
x∈]0;2[
x=2
x∈]2;∞[
Vorzeichen von f'(x)
+
0
-
Gf
↗
Hochpunkt
↘
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x1+lnx;Df=Dmax
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
x=0
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
⇒Df=]0;∞[
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
f(x)=x1+lnx
1+lnx = 0 −1 lnx = −1 ↓ e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
x = e−1 ⇒NST(e−1∣0)
Ableitungen bilden
Berechne die Ableitungen.
1. Ableitung
f(x)=x1+lnx
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
2. Ableitung
f‘(x)=−x2lnx
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
u‘=x1,v‘=2x
Quotientenregel anwenden.
f′′(x) = −x4x1⋅x2−lnx⋅2x ↓ Mit x kürzen.
= −x3x1⋅x−lnx⋅2 ↓ = −x31−2lnx Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
f′(x)=−x2lnx
lnx = 0 ↓ e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
x = e0 x = 1 Art des Extremums bestimmen
f′′(x)=−x31−2lnx
Gefundenes x=1 einsetzen.
f′′(1) = −131−2ln1 ↓ ln1=0
= −11 = −1 ⇒ Da f′′