Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:

$f(x)=(1-x)\cdot \ln(1-\frac1x)$ ; $D_f = D_{\text{max}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln - Funktion

Definitionslücke des Bruchs

$f(x)=(1-x)\cdot \ln{(1-\frac{1}{x})}$

Der Nenner des Bruches darf nicht gleich 0 werden.

Definitionslücke bei: $x=0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f(x)=(1-x)\cdot \ln{(1-\frac{1}{x})}$

Der Logarithmus muss immer größer als 0 sein.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rclllll} 1-\dfrac{1}{x}&>&0 &&|&+\dfrac1x \\\\1&>&\dfrac1x &&|&\cdot x \end{array}$

Nun musst du eine Fallunterscheidung machen für x größer oder kleiner Null:

Fall $x>0$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&>&{\textstyle1} \end{array}$
Fall $x<0$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&<&{\textstyle1} \end{array}$ und strenger noch nach Annahme $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&<&{\textstyle0} \end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left[0\;;\;1\right]$

Nullstellen

Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.

$\displaystyle 1\ -\ x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\ x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .

Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.

\displaystyle \ln(1-\frac{1}{x})

=

\displaystyle 0

Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für $\ln\left(1-\frac1x\right)$ .

Also besitzt die Funktion $f$ keine Nullstelle.

Ableitung

Nun musst du die Ableitungen ausrechnen

1. Ableitung:

$f(x)=\left(1-x\right)\cdot\ln\left(1-\frac1x\right)$

Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu $u = (1 - x)$ und $v= \ln{(1 - \frac{1}{x})}$ getrennt ableiten.

Für $v$ muss mit der Ableitung vom Inneren des $\ln$ nachdifferenziert werden.

\displaystyle u'

=

\displaystyle -1

$\displaystyle v'$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x^2}$
	↓	Terme multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{x^2-x}$

Nun kann die Produktregel angewendet werden.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\left(1-x\right)\cdot\frac{1}{x^2-x}$
	↓	Die hinteren beiden Terme multiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\ln{(1 - \frac{1}{x})} + \frac{1-x}{x^2 - x}$
	↓	Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern
	$=$	$\displaystyle -\ln{(1-\frac{1}{x})} - \frac{x-1}{x(x-1)}$
	↓	$(x-1)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle - \ln{(1 - \frac{1}{x})} - \frac{1}{x}$

2. Ableitung:

Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle -\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}$
	↓	Im ln 1 mit x erweitern und dann davon $\frac1x$ subtrahieren
	$=$	$\displaystyle -\ln(\frac{x-1}{x})-\frac{1}{x}$

$f'(x)$ ableiten:

Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: $u`=1,\;v`=1$ . Im Anschluss $\frac{1}{x}$ ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: $u' = 0,$ $v' = 1$ .

$\displaystyle f``(x)$	$=$	$\displaystyle -(\frac{x}{x-1}\cdot\frac{1\cdot x-(x-1)\cdot1}{x^2})+\frac{1}{x^2}$
	↓	In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{x-(x-1)}{x^2 - x} + \frac{1}{x^2}$
	↓	Ersten Zähler vereinfachen und im Nenner x ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{x\cdot (x-1)} + \frac{1}{x^2}$
	↓	Alle Brüche auf den Hauptnenner $x^2 \cdot (x-1)$ erweitern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{x}{x^2\cdot(x-1)} + \frac{(x-1)}{x^2 \cdot (x-1)}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{x^2 \cdot (x-1)}$

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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

$f(x)=\dfrac{1}{2-\ln(x^2-1)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\dfrac1{2-\ln(x^2-1)}$

Der Nenner ist dann 0, wenn $\ln\left(x^2-1\right)=2$ ist.

$\displaystyle \ln\left(x^2-1\right)$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \vert e^{(...)}$
$\displaystyle x^2 - 1$	$=$	$\displaystyle e^2$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle e^2 + 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{e^2+1}$

$\Rightarrow x_1=-\sqrt{e^2+1},\;x_2=\sqrt{e^2+1}$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f(x)=\dfrac1{2-\ln(x^2-1)}$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\displaystyle x^2 -1$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x^2$	$>$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$>$	$\displaystyle 1$

$\Rightarrow x>1\ \text{oder}\ x<-1$

$\Rightarrow$ $D_f=\rbrack-\infty;\;\;-1\lbrack\;\cup$ $\;\rbrack1;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;\left\{-\sqrt{e^2+1},\;\sqrt{e^2+1}\right\}$

Nullstellenbestimmung

$\Rightarrow$ Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Bilde die 1. Ableitung

$f(x)=\dfrac1{2-\ln(x^2-1)}$

Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.

$f(x)={\textstyle\left(2-\ln(x^2-1)\right)}^{-1}$

Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:

$f`\left(x\right)=-{\textstyle\left(2-\ln(x^2-1)\right)}^{-2}\cdot\left(-\frac1{x^2-1}\cdot2x\right) =\dfrac{2x}{\left(x^2-1\right)\cdot\left(2-\ln(x^2-1)\right)^2}$

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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

$\displaystyle f(x)=\frac{1+(\mathrm{\ln x})^2}{1-(\mathrm{\ln x})^2}$

$D_f=D_{\max}$

Diskutiere folgende Funktionen.

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$ ; $D_f=D_{max}$

Definitionsbereich festlegen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Der ln muss immer positiv sein.

$\displaystyle \frac{x+2}{x^2}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot x^2$
	↓	Da $x^2$ immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
$\displaystyle x+2$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle -2$

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \ln\frac{x+2}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$\ln x$ ist für $x=1$ gleich 0. Finde also die x-Werte, sodass $\frac{x+2}{x^2} =1$
$\displaystyle \frac{x+2}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot x^2$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -x^2$
$\displaystyle -x^2+x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}$
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm3}{-2}$

$x_1=\frac{-1+3}{-2}=-1,\;x_2=\frac{-1-3}{-2}=2$

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{NST}\left(-1\;\left|\;0\right.\right),\;\mathrm{NST}\left(\left.2\;\right|\;0\right)$

Ableitungen bilden

Bestimme die Ableitungen.

1. Ableitung

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=1,\;v`=2x$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, nachdifferenzieren mit der Quotientenregel.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{1\cdot x^2-\left(x+2\right)\cdot2 x}{x^4}$
	↓	Im Zähler des zweiten Bruchs ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{x^2-2 x^2-4 x}{x^4}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{-x^2-4x}{x^4}$
	↓	Brüche multiplizieren und kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{-x-4}{x^2+2x}$

2. Ableitung

$f'(x)=\frac{-x-4}{x^2+2x}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').

$\mathrm u`=-1,\;\mathrm v`=2\mathrm x+2$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left( x^2+2x\right)\cdot\left(-1\right)-\left(-x-4\right)\cdot\left(2x+2\right)}{\left( x^2+2x\right)^2}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{-x^2-2x+2x^2+2x+8x+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{ x^2+8x\;+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$\displaystyle -x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme die Wendepunkte.

x-Werte bestimmen

$f''\left(x\right)=\frac{x^2+8x+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$

Zum Bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$\displaystyle x^2+8x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel verwenden.
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{64-32}}{2}$
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle -4\pm2\sqrt{2}$

$f\left(x_1\right)=\ln\frac{-2+2\sqrt{2}}{\left(-4+2\sqrt{2}\right)^2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da bei $x_2$ das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für $x_1$ einen Wendepunkt.

$\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(-4\pm2\sqrt2\;\left|\ln\frac{-2+2\sqrt2}{\left(-4+2\sqrt2\right)^2}\right.\right)$

Grenzwertbetrachtung

Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}$

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und $+\infty$ .

Grenzwert bei 0

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von links.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^-}^2}_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle \ln\frac2{0^+}$
$=$	$\displaystyle +\infty$

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von rechts.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^+}^2}_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle \ln\frac2{0^+}$
$=$	$\displaystyle +\infty$

Grenzwert bei -2

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von rechts

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{\overbrace{\overbrace x^{\rightarrow-2^-}+2}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{x^2}_{\rightarrow4}}=\ln0^+$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Grenzwert gegen $+\infty$

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{\overbrace{\frac x{x^2}}^{\rightarrow0^+}+\overbrace{\frac2{x^2}}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{\frac{x^2}{x^2}}_{\rightarrow1}}=\ln\frac{0^+}1$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Symmetrieverhalten

Untersuche das Symmetrieverhalten.

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Setze $-x$ für $x$ ein.

$\displaystyle f(-x)$	$=$	$\displaystyle \ln\frac{-x+2}{\left(-x\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \ln\frac{-x+2}{x^2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f(-x)$ weder $f(x)$ noch $-f(x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung .

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x\in]-2;0[$	$x=0$	$x>0$
Vorzeichen von $f'(x)$	+	/	-
$G_f$	$\nearrow$	/	$\searrow$

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$f(x)=2(\frac 2x)^2(1+2\ln\frac x2);\; D_f=D_{max}$

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenners

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

$x=0$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\frac x2$ ist dann positiv, wenn x positiv ist.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.

Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.

Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+2\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 2\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \ln\frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle e^{-\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-\frac{1}{2}}$
	↓	Ab hier kann man die Formel noch ein wenig umstellen mithilfe von Potenzgesetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)}$
	↓	$a^{-1}=\frac{1}{a}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$
	↓	$a^{\frac 12}=\sqrt a$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e}}$

$\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(\frac2{\sqrt e}\;\left|\;0\right.\right)$

Ableitungen bilden

1. Ableitung

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
	↓	Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .
	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{4}{x^2}\right)\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{x^2}+\frac{16}{x^2}\ln\frac{x}{2}$

Bilde nun die Ableitung. Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil: $u`=\left(-\frac{32}{x^3}\right),\;v`=\frac2x\cdot\frac12$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}+\frac{16}{x^2}\cdot\frac{1}{x}$
	↓	In der letzten Summe multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle -\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}+\frac{16}{x^3}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

2. Ableitung

$f'\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Getrennte Ableitung von $u=\left(-\frac{32}{x^3}\right)$ und $v=\left(\ln\frac{x}{2}\right)$ bilden und mithilfe der Produktregel die zweite Ableitung $f''(x)$ bestimmen.

$u`=\frac{96}{x^4},\;v`=\frac2x\cdot\frac12$

Wende die Produktregel an.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac{x}{2}-\frac{32}{x^3}\cdot\frac{1}{x}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac{x}{2}-\frac{32}{x^4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac{x}{2}-1\right)$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f'\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.

Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das Innere des ln = 1 ist.

$\displaystyle \frac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Art des Extremums bestimmen

$f''\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac{x}{2}-1\right)$

Gefundenes x=2 einsetzen.

	$\displaystyle f''\left(2\right)$
$=$	$\displaystyle \frac{32}{2^4}\cdot\left(3\ln\frac{2}{2}-1\right)$
$=$	$\displaystyle \frac{32}{16}\cdot\left(3{\textstyle\cdot}{\textstyle0}-1\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(x\right)<0$ ist an der Stelle $x=2$ ein Maximum.

y-Wert bestimmen

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Gefundenes $x=2$ einsetzen.

	$\displaystyle f\left(2\right)$
$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{2}{2}\right)^2\left(1+2\ln\frac{2}{2}\right)$
$=$	$\displaystyle 2\cdot1\cdot\left(1+2\textstyle\cdot\textstyle0\right)$
$=$	$\displaystyle 2$

$f$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $(2|2)$ .

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

$f``\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\ln\ \frac{x}{2}-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle \ln\ \frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion anwenden.
$\displaystyle e^{\frac{1}{3}}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2e^{\frac{1}{3}}$

y-Wert bestimmen

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Gefundenes $x=2\cdot e^\frac13$ einsetzen

$\displaystyle f\left(2\cdot e^{\frac{1}{3}}\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac2{2\cdot e^{\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\frac{2\cdot e^{\frac13}}2\right)$
	↓	Beide Brüche mit 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac1{e^{\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\left(e^{\frac13}\right)\right)$
	↓	ln und e hebt sich auf. Exponent in die Klammer ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{2}{3}}}\left(1+2\cdot\frac{1}{3}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{2}{3}}}+\frac{4}{3e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Ersten Bruch mit 3 erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{3e^{\frac{2}{3}}}+\frac{4}{3e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{10}{3e^{\frac23}}$

$\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(2\cdot e^{\frac13\;}\left|\;\frac{10}{3e^{\displaystyle\frac23}}\right.\right)$

Grenzwertbetrachtung

Artikel zum Thema

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+\infty$ .

Grenzwert bei 0

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Annäherung von rechts an 0.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)=$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow0^+}}\right)^2}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(1+2\textstyle\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0^+}}2}_{\rightarrow-\infty}\right)}_{\rightarrow-\infty}$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Grenzwert bei $+\infty$

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Annäherung an $+\infty$ .

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}\right)}_{\rightarrow0}^2\underbrace{\left(1+2\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow+\infty}}2}_{\rightarrow+\infty}\right)}_{\rightarrow+\infty}$
$=$	$\displaystyle 0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

$\Rightarrow$ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x\in ]0;2[$	$x=2$	$x\in]2;\infty[$
Vorzeichen von f'(x)	+	0	-
$G_f$	$\nearrow$	Hochpunkt	$\searrow$

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$f(x)=\frac{1+\ln x}x;\;D_f=D_{max}$

Definitionsbereich festlegen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\frac{1+\ln(x)}x;\;D_f=D_{max}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$x=0$

Definitionsbereich des Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack0;\infty\lbrack$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f(x)=\frac{1+\mathrm{\ln x}}{x}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$\displaystyle 1+\ln x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \ln x$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^{-1}$

$\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(e^{-1}\;\left|\;0\right.\right)$

Ableitungen bilden

Berechne die Ableitungen.

1. Ableitung

$f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=\frac1x,\;v`=1$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\left(1+\ln x\right)\cdot1}{x^2}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1-1-\ln x}{x^2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{\ln x}{x^2}$

2. Ableitung

$f`\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=\frac1x,\;v`=2x$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x\cdot2x}{x^4}$
	↓	Mit $x$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot2}{x^3}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f'\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}$

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

$\displaystyle \ln x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Art des Extremums bestimmen

$f''\left(x\right)=-\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Gefundenes x=1 einsetzen.

$\displaystyle f''\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1-2\ln1}{1^3}$
	↓	$\ln 1=0$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{1}$
	$=$	$\displaystyle -1$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(x\right)<0$

$\displaystyle 1-\left(\ln x\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\left(\ln x\right)^2$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \left(\ln x\right)^2$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \pm\ln x$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \ln x$
	↓	ln anwenden.
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -\ln x$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle \ln x$
	↓	ln anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^{-1}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{e}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{2\cdot\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot(1-(\ln x)^2)-(-2)\cdot\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot(1+(\ln x)^2)}{(1-(\ln x)^2)^2}$
	↓	$\frac1x$ ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{{\displaystyle\frac1x}\cdot\left(2\cdot\ln x-2\cdot\left(\ln x\right)^3+2\cdot\ln x+2\cdot\left(\ln x\right)^3\right)}{\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{4\cdot\ln x}{x\cdot\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}$

Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Definitionslücke des Bruchs

Definitionslücken des Logarithmus

Nullstellen

Ableitung

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

Definitionsbereich bestimmen

1. Fall: +lnx

2.Fall: -lnx

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitung bilden

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionslücken des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei -2

Grenzwert gegen +∞+\infty+∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenners

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

y-Wert bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞+\infty+∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

Grenzwert gegen $+\infty$

Grenzwert bei $+\infty$