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Nullstellenberechnung

6Nullstellen von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht, also f(x)=xmnf(x)=\sqrt[n] {x^m}. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form f(x)=xnf(x)=x^n mit n∈Nn\in\mathbb{N} .

Wurzelfunktion

Unter der Wurzel muss nicht nur eine Potenz stehen, sondern die Wurzelfunktion kann auch von der Form f(x)=g(x)nf(x)=\sqrt[n]{g(x)} sein, bei der der Radikand g(x)g(x) eine beliebige Funktion ist.

Eine Wurzelfunktion nimmt den Wert Null genau dann an, wenn der Radikand Null ist.

Beispiele

a) f(x)=x3−4x=0f(x)=\sqrt{x^3-4x}=0

Setze den Radikanden x3−4xx^3-4x gleich Null.

  x3−4x=0x ausklammernx⋅(x2−4)=0Faktoren=0x=0 oder x2−4=0∣+4x=0 oder x2=4∣x1=0 oder x2,3=±2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\;&x^3-4x=0&x\text{ ausklammern}\\&x\cdot(x^2-4)=0&\text{Faktoren}=0\\&x=0\text{ oder }x^2-4=0&|+4\\&x=0\text{ oder }x^2=4&|\sqrt{}\\&x_1=0\text{ oder }x_{2{,}3}=\pm 2\end{array}

Die Funktion f(x)f(x) hat drei Nullstellen bei x1=0x_1=0, x2=2x_2=2, x3=−2x_3=-2.

b) f(x)=sin⁡(3x−5)5=0f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x-5)}=0

Setze den Radikanden sin⁡(3x−5)\sin(3x-5) gleich Null.

sin⁡(3x−5)=0\sin(3x-5)=0

f(x)f(x) hat somit dieselben Nullstellen wie eine Sinusfunktion der Form g(x)=sin⁡(3x−5)g(x)= \sin(3x-5).

Auf den folgenden Kursseiten erfährst du, wie du diese bestimmen kannst.


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