6Nullstellen von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht, also $f(x)=\sqrt[n] {x^m}$ . Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form $f(x)=x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ .

Unter der Wurzel muss nicht nur eine Potenz stehen, sondern die Wurzelfunktion kann auch von der Form $f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$ sein, bei der der Radikand $g(x)$ eine beliebige Funktion ist.

Eine Wurzelfunktion nimmt den Wert Null genau dann an, wenn der Radikand Null ist.

Beispiele

a) $f(x)=\sqrt{x^3-4x}=0$

Setze den Radikanden $x^3-4x$ gleich Null.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\;&x^3-4x=0&x\text{ ausklammern}\\&x\cdot(x^2-4)=0&\text{Faktoren}=0\\&x=0\text{ oder }x^2-4=0&|+4\\&x=0\text{ oder }x^2=4&|\sqrt{}\\&x_1=0\text{ oder }x_{2{,}3}=\pm 2\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=2$ , $x_3=-2$ .

b) $f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x-5)}=0$

Setze den Radikanden $\sin(3x-5)$ gleich Null.

$\sin(3x-5)=0$

$f(x)$ hat somit dieselben Nullstellen wie eine Sinusfunktion der Form $g(x)= \sin(3x-5)$ .

Auf den folgenden Kursseiten erfährst du, wie du diese bestimmen kannst.

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