13Nullstellen von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x)$ , wobei $b\in\mathbb{R}^+$ und $b\neq 1$ gilt.

$b$ heißt Basis des Logarithmus.

Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion $f(x)=\log_b(x)$ . Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:

$0=\log_b(x_0)$

Da die Logarithmusfunktion $y=\log_b(x)$ die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form $y=b^x$ ist, gilt: $x=b^y$ .

Daraus folgt für die Nullstelle: $x_0=b^0=1$

$\Rightarrow$ Eine Logarithmusfunktion der Form $f(x)=\log_b(x)$ hat die Nullstelle bei $x_0=1$ .

Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form $f(x)=\log_b\left(g(x)\right)$ sein, bei der das Argument $g(x)$ eine beliebige Funktion ist.

Allgemein gilt also:

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.

Beispiele

$a)\;\;\;f(x)=\log_3{(x^2-x-1)}=0$

Setze das Argument $x^2-x-1$ gleich Eins und löse die Gleichung.

$\displaystyle x^2-x-1$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2-x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$

$x_1=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac42=2$

$x_2=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$

Die Funktion $f(x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_1=2$ , $x_2=-1$ .

$b)\;\;\;f(x)=\mathrm{ln}(\mathrm {cos}(x)+0{,}5)$

Setze das Argument $\mathrm{cos}(x)+0{,}5$ gleich Eins und löse die Gleichung.

$\displaystyle \mathrm {cos}(x)+0{,}5$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -0{,}5$
$\displaystyle \mathrm{cos}(x)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle \vert\mathrm{cos}^{-1}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \mathrm{cos}^{-1}(0{,}5)$

$x=\frac13\pi$

$\Rightarrow N=\{\frac13\pi+2\;\pi k \;|\;k\in \mathbb Z\}$

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