4Definitionsbereich gebrochen-rationaler Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form $f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ , wobei sowohl $p(x)$ als auch $q(x)$ Polynome sind.

Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen $x\in\mathbb R$ ausschließen, für die gilt: Der Nenner $q(x)=0$ .

Beispiel

$f(x)=\displaystyle\frac{13x+7}{5x^3-20x}$

$\rightarrow\;q(x)=5x^3-20x$

Prüfe, wann $q(x)$ Null wird.

$\displaystyle 5x^3-20x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle 5x\cdot(x^2-4)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Setze die einzelnen Faktoren gleich Null.
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x_{1_{ }}$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Nullstellen sind gegeben durch: $x_1=0$ , $x_2=2$ und $x_3 =-2$ .

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also $\mathbb D=\mathbb R\backslash\{-2; 0; 2\}$ .

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