Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt.
Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form %%f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}%%, wobei sowohl %%p(x)%% als auch %%q(x)%% Polynome sind.


Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen %%x\in\mathbb R%% ausschließen, für die gilt: Der Nenner %%q(x)=0%%.

Beispiel

%%f(x)=\displaystyle\frac{13x+7}{5x^3-20x}%%

%%\rightarrow\;q(x)=5x^3-20x%%

Prüfe, wann %%q(x)%% Null wird.

%%5x^3-20x=0%%

%%x%% ausklammern.

%%5x\cdot(x^2-4)=0%%

Verwende: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Setze die einzelnen Faktoren gleich Null.

%%5x=0%%

%%\vert:5%%

%%x_1=0%%

%%x^2-4=0%%

%%\vert+4%%

%%x^2=4%%

%%\vert\sqrt{}%%

%%x_{2,3}=\pm2%%

Die Nullstellen sind gegeben durch: %%x_1=0%%, %%x_2=2%% und %%x_3 =-2%%.

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also %%\mathbb D=\mathbb R\backslash\{-2; 0; 2\}%%.

gebrochenrationale Funktion

Kann eine gebrochenrationale Funktion auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert sein?

Eine gebrochenrationale Funktion kann auch auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert sein. Schau dir dazu folgendes Beispiel an.

%%f(x)=\displaystyle\frac{2x-1}{x^2+1}\;\rightarrow \;q(x)=x^2+1%%

Prüfe, wann %%q(x)%% Null wird.

%%\begin{array}{rcl} x^2+1&=&0&|-1\\ x^2&=&-1&\\ \end{array}%%

Da %%x^2%% in %%\mathbb R%% nicht negativ werden kann, gibt es keine reelle Lösung. Deshalb muss man auch keine Zahl aus dem Definitionsbereich ausschließen.

%%\Rightarrow%% Man darf alles einsetzen, also %%\mathbb D=\mathbb R%%.

gebrochenrationale Funktion

Kommentieren Kommentare

metzgaria 2018-12-14 09:52:13+0100
-Ich würde wieder die Extra-Überschrift rauslassen.
-Bei q(x)=0 würde ich noch das Wort Nenner einweben.
-Die Schreibweise mit den Äquivalenzpfeilen ist sicher für viele nicht üblich, ich würde es eher in zwei Zeilen mit Äquivalenzumformungsstrichen machen.
-"Da x2 in R nicht negativ werden kann..." ...gibt es keine Lösung. "Deshalb muss man auch..."
-"Man darf alles einsetzen, also D=R" würde ich in ein layout drunter ziehen, sonst liest du das vor der erklärung, warum die gleichung nie erfüllt ist (v.a. mobile)
-Beim zweiten Beispiel fände ich etwas mit schönen Lösungen netter. Erreichst du schon mit 5x^3-20x
-"Löse die Gleichung q(x)=0" kann eine Ebene weiter hoch (zb statt dem Satz "Prüfe...")
-Keinen Text in Latex "Klammere zuerst 5x aus" nach rechts.
-"Faktoren= 0" auch nach rechts, zb mit "Setze die einzelnen Faktoren gleich Null"
-Löse nicht beide Gleichungen gleichzeitig, das ist formell nicht schön und macht es schwerer verständlich
--> Problem: Folie wird zu lang.
-Kürzen zb indem du oben nur den zweiten Satz verwendest "Gebrochenrationale Funktionen sind..."
-Vielleicht kann man das Spezialfall-beispiel, dass D=R ist, in einen Spoiler mit dem Titel "Kann eine gebrochenrationale Funktion auf ganz R definiert sein" auslagern, dann kannst du auch noch den Graph dazu machen, ist nämlich spannend :)
Antwort abschicken