Definitionsbereich von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

%%f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x)%%, wobei %%b\in\mathbb{R}^+%% und %%b\neq 1%% gilt.

%%b%% heißt Basis des Logarithmus und %%x%% das Argument des Logarithmus.

Das Argument kann auch ein Term beliebiger Form sein.


Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument stets positiv wird.

Beispiel

%%f(x)=\mathrm{log}_5(x^2-1)%%

Prüfe, wann das Argument %%x^2-1%% kleiner oder gleich Null wird.

%%\begin{array} \;&x^2-1\leq0&|+1\\ \Leftrightarrow &x^2\leq1&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &|x|\leq1&\text{Betrag auflösen}\\ \Leftrightarrow &x\leq1\text{ oder }x\geq-1&\\ \Leftrightarrow &-1\leq x\leq1\\ \end{array}%%

%%\;%%

Wichtig bei der Umformung ist, den Betrag nicht zu vergessen!

Wenn %%x%% zwischen %%-1%% und %%1%% liegt, wird %%x^2-1%% kleiner oder gleich %%0%%.
Das Intervall von %%-1%% bis %%1%% muss man also ausschließen.

%%\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash[-1;1]%%

Logarithmusfunktion

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