Definitionsbereich von trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Funktionen sind Sinusfunktion %%\mathrm{sin}(x)%%, Kosinusfunktion %%\mathrm{cos}(x)%% und Tangensfunktion %%\mathrm{tan}(x)%%.


Sinus- und Kosinusfunktion haben ganz %%\mathbb R%% als Definitionsbereich.

Die Tangensfunktion ist folgendermaßen definiert: %%\mathrm{tan}(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)}%%.

Man sieht, dass man alle %%x\in\mathbb R%% ausschließen muss, für die %%\mathrm{cos}(x)=0%% wird. Dies ist für die folgende Zahlenmenge der Fall: %%N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\}%%. Vergleiche hierzu auch die Kursseite "Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3/5)".

Im Definitionsbereich der Tangensfuntion müssen somit alle %%x\in\mathbb R%% ausgeschlossen werden, für die das Argument gleich %%(2k-1)\dfrac{\pi}{2}%% mit %%k\in \mathbb{Z}%% wird.

Beispiel

%%f(x)=\tan(0{,}5\pi\cdot{x})%%

Prüfe, wann das Argument %%0{,}5\pi\cdot{x}%% gleich %%(2k-1)\dfrac{\pi}{2}%% mit %%k\in \mathbb{Z}%% wird.

%%\begin{array}{rcl} 0{,}5\pi\cdot{x}&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}&|\cdot2\\ \pi\cdot{x}&=&(2k-1)\pi&|:\pi \\ x&=&2k-1 \end{array}%%

Die Werte %%x=2k-1%% mit %%k\in\mathbb{Z}%% müssen somit aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

%%\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash\{2k-1\;|k\in\mathbb{Z}\}%%.

Tangensfunktion

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