Aufgaben

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

%%f(x)= 2x-8%%

Nullstellenberechnung: Gerade f(x)=2x-8

Nullstelle

Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.

%%\Rightarrow%% Nullstelle bei %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichung:

Funktion: f(x)=2x-8 mit Nullstelle x=4

Lösung durch Berechnung:

%%\begin{array}{l}f(x)=2x-8\\\end{array}%%

Setze %%f(x)=0%%

%%\begin{array}{l}2x-8=0\\\end{array}%%

|%%+8%%

%%2x=8%%

|%%:2%%

%%x=4%%

Die Nullstelle der Funktion liegt bei %%x=4%%.

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Nullstellenberechnung: Funktion g(x)=-x^2-7x-10, Parabel

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=-5%% und %%x=-2%%

Graphische Veranschaulichung:

Funktion g(x) mit den Nullstellen x=-5 und x=-2

Lösung durch Berechnung:

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Setze %%g(x)=0%%

%%-x^2-7x-10=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}%%

Berechne die Wurzel

%%x_{1,2}=\frac{7\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{10}{-2}=-5%%

  1. Fall %%+%%

%%x_2=\frac{7-3}{-2}=-2%%

  1. Fall: %%-%%

Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=-5%% und %%x_2=-2%%.

%%h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)%%

Nullstellenberechnung: Funktion h(x)=1/10(x+6)(x-4)

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=−6%% und %%x=2%% und %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichunng

Funktion h(x) mit den Nullstellen x=2 und x=4

Lösung durch Berechnung:

%%h(x)=\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze %%h(x)=0%%.

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann %%0%%, wenn mindestens ein Faktor %%0%% ist.

Für %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%% gilt:

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%%.

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Funktionsgraph

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.

⇒ Nullstellen bei x=−1.

Graphische Veranschaulichung

Funktionsgraph

Lösung durch Berechnung:

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.

%%3x^2+6x+3=0%%

kürze durch 3

%%x^2+2x+1=0%%

|-1

%%x^2+2x=-1%%

Ermittle die Lösung durch raten.

%%x=-1%%

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

%%f(x)=4x+20%%

%%f(x)=14x−21%%

%%f(x)=x^2+6x−14%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^2+6x−14=0%%

mit der pq-Formel lösen.

%%x_{1,2\;\;}=-\left(\frac p2\right)\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}%%

Im obigen Falle ist %%p = 6%% und %%q = - 14%%.

Einsetzen in die Formel:

%%x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-(-14})%%

%%x_1=-3+\sqrt{23}\;\vee x_2=-3-\sqrt{23}%%

Die Nullstellen liegen also bei %%x_1\approx 1,8%% und %%x_1\approx-7,8%%

%%f(x)=x^2−5x+6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Lösung mit der Mitternachtsformel:

%%f(x)=x^2−5x+6=0%%

Bestimme die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%%.

%%a=1%%, %%b=-5%% und %%c=6%%

Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.

%%\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}}%%

%%\displaystyle{=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\frac{5\pm1}2}%%

$$\begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1=3\\\Rightarrow\;x_2=2\end{array}$$

Die Funktion f hat also die Nullstellen %%x_1=3%% und %%x_2=2%%.

%%\;\;%%

Lösung mit dem Satz von Vieta:

%%x^2-5x+6=0%%

Da die Gleichung die Form %%x^2+px+q=0%% hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}x_1+x_2&=&-p&=&-(-5)=5\\x_1\cdot x_2&=&q&=&6\end{array}\end{array}%%

Versuche durch Raten Lösungen für %%x_1%% und %%x_2%% zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

%%x_1\cdot x_2%%

$$1$$

$$6$$

$$1+6=7$$

$$1\cdot6=6$$

$$2$$

$$3$$

$$2+3=5$$

$$2\cdot3=6$$

Die Lösungen sind also %%x_1=2%% und %%x_2=3%%.

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

Bestimme die Nullstellen:

%%f(x)=x^4-3x^2+2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-3x^2+2%%

%%f(x)%% gleich %%0%% setzen, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%x^4-3x^2+2=0%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

$$f(u)=u^2-3u+2=0$$

$$u_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$$

$$=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$$

$$=\frac{3\pm1}2$$

%%u_1=\frac42=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac22=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=2%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt2%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm1%%

Die Nullstellen der Funktion lauten %%x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=1,\;x_4=-1%%

%%f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-\frac{17}4u+1%%

$$u_{1/2}=\frac{\frac{17}4\pm\sqrt{(-\frac{17}4)^2-4\cdot1\cdot1}}2$$

$$=\frac{\frac{17}4\pm\sqrt{14,0625}}{2}$$

$$=\frac{\frac{17}4\pm\frac{15}4}{2}$$

%%u_1=4%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac14%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=4%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%x_{3,4}^2=\frac14%%

%%x_{3,4}=\pm\frac12%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=2,\;x_2=-2,\;x_3=\frac12,\;x_4=-\frac12%%.

%%f(x)=(x^2-\frac32)^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=(x^2-\frac32)^2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=(u-\frac32)^2=(u-\frac32)(u-\frac32)%%

Die Nullstellen können abgelesen werden.

%%u=\frac32%%

Doppelte Nullstelle.

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=\frac32%%

%%x_{1}=\sqrt{\frac32}%%

%%x_{2}=-\sqrt{\frac32}%%

Zwei doppelte Nullstellen.

Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt{\frac32}%% und %%x_2=-\sqrt{\frac32}%%.

%%f(x)=\frac12x^6-2x^3-2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\frac12x^6-2x^3-2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^3%%

%%f(u)=\frac12u^2-2u-2%%

$$u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac12\cdot(-2)}}{2\cdot\frac12}$$

$$=\frac{2\pm\sqrt8}{1}=2\pm\sqrt8$$

%%u_1=2+\sqrt8\approx4,83%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=2-\sqrt8\approx-0,83%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_1^3\approx4,83%%

%%x_1\approx\sqrt[3]{4,83}\approx 1,69%%

%%x_2^3\approx-0,83%%

%%x_2\approx\sqrt[3]{-0,83}\approx -0,94%%

Die Funktion hat 2 Nullstellen bei %%x_1\approx\sqrt[3]{4,83}\approx 1,69%% und bei %%x_2\approx\sqrt[3]{-0,83}\approx -0,94%%.

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=-\frac12x^3-2x^2%%

Der niedrigste Exponent ist 2, also kann %%x^2%% ausgeklammert werden.

%%0=x^2\cdot(-\frac12x-2)%%

Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.

%%\Rightarrow x_{1,2}=0%%

Betrachte um weitere Nullstellen zu ermitteln den Term in der Klammer.

%%0=-\frac12 x-2%%

%%\mid {+\frac12x}%%

%%\frac12x=-2%%

%%\mid\cdot 2%%

%%\Rightarrow x_3=-4%%

Die Funktion %%f(x)%% hat eine doppelte Nullstelle bei %%x=0%% und eine einfache Nullstelle bei %%x=-4%%.

Besonderheit

Eine doppelte Nullstelle bei 0.

%%f\left(x\right)=2x^5+64%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=2x^5+64%%

Die Funktion gleich 0 setzen.

%%0=2x^5+64%%

%%\mid-64%%

%%-64=2x^5%%

%%\mid:2%%

%%x=-2%%

Die Funktion %%f(x)%% hat eine Nullstelle bei %%x=-2%%.

Besonderheit

Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen

%%f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f\left(u\right)=3u^2-7u+2%%

$$u_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$$

$$=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$$

Unter der Wurzel die Differenz bilden.

$$=\frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$$

$$=\frac{7\pm5}6$$

%%u_1=\frac{7+5}6=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac{7-5}6=\frac13%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=2%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt2%%

%%x_{3,4}^2=\frac13%%

%%x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac13}%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=\sqrt{\frac13},\;x_4=-\sqrt{\frac13}%%.

Besonderheit

Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f\left(u\right)=-\frac12u^2-\frac72u+6%%

$$u_{1,2}=\frac{\frac72\pm\sqrt{(-\frac72)^2-4\cdot(-\frac12)\cdot6}}{2\cdot(-\frac12)}$$

$$=\frac{\frac72\pm\sqrt{\frac{49}4+12}}{-1}$$

Unter der Wurzel die Summe bilden.

$$=\frac{3,5\pm\sqrt{24,25}}{-1}$$

%%u_1=\frac{3,5+\sqrt{24,25}}{-1}\approx-8,424%%

1) Fall: %%+%%

%%\Rightarrow%% keine Resubstitution möglich, da negativ.

%%u_2=\frac{3,5-\sqrt{24,25}}{-1}\approx1,424%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=\frac{3,5-\sqrt{24,25}}{-1}\approx1,424%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt{1,424}%%

Die Funktion hat die beiden Nullstellen %%x_1=\sqrt{1,424}%% und %%x_2=-\sqrt{1,424}%%.

Besonderheit

Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.

%%f\left(x\right)=\frac12x^4-8%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=\frac12x^4-8%%

Die Funktion gleich 0 setzen.

%%0=\frac12x^4-8%%

%%\mid +8%%

%%8=\frac12x^4%%

%%\mid \cdot2%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

Die Funktion hat die beiden Nullstellen %%x_1=2%% und %%x_2=-2%%.

Besonderheit

Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.

%%f(x)=x^4+10x^3+25x^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4+10x^3+25x^2%%

%%x^2%% ausklammern.

%%=x^2(x^2+10x+25)%%

 

%%(x^2+10x+25)=0%%

Setze die Klammer gleich %%0%%.

$$x_{2,3}=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot 1}$$

$$=\frac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{-10\pm0}{2}$$

%%x_2=\frac{-10}2=-5%%

Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar bei %%x_1=0%% und %%x_2=-5%%.

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von %%x%% lässt sich ausklammern.

%%f(x)=\frac12x^3-\frac14x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\frac12x^3-\frac14x%%

%%x%% ausklammern.

%%=x\cdot\left(\frac12x^2-\frac14\right)%%

%%x_1=0%%

%%0=\left(\frac12x^2-\frac14\right)%%

Klammer gleich %%0%% setzen.

%%0=\frac12x^2-\frac14%%

%%\mid+\frac14%%

%%\frac14=\frac12x^2%%

%%\mid:\frac12%% oder %%\mid\left(\cdot 2\right)%%

%%x^2=\frac12%%

%%\mid \sqrt[2]{}%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac12}\approx\pm0,71%%

Die Funktion hat die beiden Nullstellen %%x_1=\sqrt{\frac12}%% und %%x_2=-\sqrt{\frac12}%%.

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von %%x%% lässt sich ausklammern.

%%f(x)=-\frac14x^3-16%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=-\frac14x^3-16%%

%%0=-\frac14x^3-16%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=-\frac14x^3-16%%

%%\mid+16%%

%%16=-\frac14x^3%%

%%\mid:(-\frac14)%% oder %%\mid\cdot(-4)%%

%%-64=x^3%%

%%\mid\sqrt[3]{}%%

%%x=-4%%

Die Funktion hat eine Nullstelle bei %%x=-4%%.

Besonderheit

Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.

%%f(x)=2x^5-5x^4-3x^3%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=2x^5-5x^4-3x^3%%

%%x^3%% ausklammern.

%%f(x)=x^3\cdot\left(2x^2-5x-3\right)%%

 

%%(2x^2-5x-3)=0%%

Klammer %%0%% setzen.

$$x_{2,3}=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot 2}$$

$$=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}$$

$$=\frac{5\pm7}{4}$$

%%x_2=\frac{5+7}4=3%%

1) Fall: %%+%%

%%x_3=\frac{5-7}4=-\frac12%%

2) Fall: %%-%%

Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei %%x_1=0%% und jeweils eine einfache Nullstelle bei %%x_2=3%% und %%x_3=-\frac12%%

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von %%x%% lässt sich ausklammern.

%%f(x)=x^4-5x^2+4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-5x^2+4%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-5u+4%%

$$u_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot 1}$$

$$=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}2$$

%%u_1=4%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=4%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm1%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=2,\;x_2=-2,\;x_3=1%% und %%x_4=-1%%.

Besonderheit

Spezialfall: Funktion lässt sich auf eine quadratische Funktion zurückführen.

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^3+3x^2-4x%%

%%=x\cdot\left(x^2+3x-4\right)%%

 

%%x_1=0%%

%%(x^2+3x-4)=0%%

Klammer %%0%% setzen.

%%x^2+3x-4=0%%

$$x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$$=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$$

$$=\frac{-3\pm5}{2}$$

 

%%x_2=\frac{-3+5}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%x_3=\frac{-3-5}2=-4%%

2) Fall: %%-%%

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar bei %%x_1=0, x_2=1%% und %%x_3=-4%%.

%%f(x)=x^4+2x^3+x^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4+2x^3+x^2%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%=x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)%%

%%x_1=0%%

Doppelte Nullstelle, da %%x^2%% in der Faktordarstellung vorkommt.

%%\left(x^2+2x+1\right)=0%%

Klammer gleich %%0%% setzen.

%%\left(x+1\right)^2=0%%

%%x_2=-1%%

Doppelte Nullstelle.

Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar bei %%x_1=0%% und %%x_2=-1%%.

%%f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)%%

Die erste Klammer %%0%% setzen.

%%0=\left(x^2-25\right)%%

%%0=(x-5)\cdot(x+5)%%

%%x_{1,2}=\pm5%%

%%0=\left(\frac12x+4\right)%%

Die zweite Klammer %%0%% setzen.

%%0=\frac12x+4%%

%%\mid-4%%

%%-4=\frac12x%%

%%\mid:\frac12%% oder %%\mid \cdot 2%%

%%-8=x%%

%%x_3=-8%%

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar bei %%x_1=5, x_2=-5%% und %%x_3=-8%%.

%%f(x)=x^6-x^4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^6-x^4%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=x^6-x^4%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%0=x^4\cdot\left(x^2-1\right)%%

%%\left(x^2-1\right)=0%%

Klammer %%0%% setzen.

%%(x-1)\cdot(x+1)=0%%

%%x_{2,3}=\pm1%%

Die Funktion hat eine vierfache Nullstelle bei %%x_1=0%% und jeweils eine einfache Nullstelle bei %%x_2=1%% und %%x_3=-1%%.

%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-6u+5%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=u^2-6u+5%%

$$u_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$$=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}$$

$$=\frac{6\pm4}{2}$$

%%u_1=\frac{6+4}{2}=5%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac{6-4}{2}=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=5%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt5%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm\sqrt1=\pm1%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt5,\;x_2=-\sqrt5,\;x_3=1%% und %%x_4=-1%%.

%%f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8%%

Ersetze den "schlimmen Teil"

Den Term %%(4x^2-\frac{1}{3}x+2)%% bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von %%f%%:

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% schlimmer Teil %%-4x+8%%

Was haben die Terme %%(2x-4)%% und%%\ -4x+8%% gemeinsam?

%%-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)%%

Setze dies in die Vorschrift von %%f%% ein

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% schlimmer Teil %%\ -2\cdot(2x-4)%%

Klammere %%(2x-4)%% aus

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% %%(%%schlimmer Teil %%-\ 2)%%

Setze den "schlimmen Teil" ein

%%f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)%%

Löse innere Klammer auf

%%f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)%%

%%-2%% und %%+2%% heben sich gegenseitig auf

%%f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)%%

%%f%% ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen.
Berechne die Nullstellen der Faktoren.

Nullstellen des linken Faktors

Setze %%(2x-4)%% gleich Null

%%2x-4 = 0%%

Bringe die %%4%% auf die andere Seite

%%2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4%%

Teile durch %%2%%

%%2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2%%

Erhalte die Nullstelle

%%x_1 = 2%%

Nullstellen des rechten Faktors

Setze %%\ (4x^2-\frac{1}{3}x)%% gleich Null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht können wir die kleinste Potenz von %%x%% ausklammern. Wir haben dann: $$\left(4x^2-\frac{1}{3}x\right) = x\cdot\left(4x-\frac{1}{3}\right)$$ Dort lesen wir die Nullstelle %%x_2=0%% ab.
Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von %%(4x-\frac{1}{3})%%. Diese berechnen wir indem wir %%4x-\frac{1}{3}%% gleich Null setzen und diese Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%4x-\frac{1}{3} = 0%%

Bringe die %%\frac{1}{3}%% auf die andere Seite

%%4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}%%

Teile durch 4

%%4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4%%

Erhalte die Nullstelle

%%x_3 = \frac{1}{12}%%

Und die Nullstellen von %%f%% lauten…

Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von %%f%%. Sie lauten %%x_1=2, x_2=0%% und %%x_3=\frac1{12}%%.

%%f(x)=x^3+2x^2-5x-6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3+2x^2-5x-6%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8%%

%%f(1)\neq0%%

Setze z.B. %%-1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-1%% eine Nullstelle. Da %%f(-1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x+1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2+x-6=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm{5}}{2}%%

%%x_2=\dfrac{4}{2}=2%%

Fall 1: %%+%%

%%x_3=\dfrac{-6}{2}=-3%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-3%%.

Bestimme die Nullstellen der Funktion %%f%% zum maximalen Definitionsbereich %%\mathbb{D}_f%%

%%f:x\mapsto \left(e^x+1\right)\cdot\left(x^4-4x^2\right)%%

(frei nach der Beispielabiturprüfung - Teil A 2014)

%%\begin{align} &\left(e^x+1\right)\cdot\left(x^4−4x^2\right)=0 \\ \Leftrightarrow & \left(e^x+1\right)=0 \vee \left(x^4−4x^2\right)=0 \end{align}%%

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.

%%\begin{align} &\left(e^x+1\right)=0 \\ \Leftrightarrow & e^x=-1 \end{align}%%

%%e^x%% ist nie negativ.

Nach %%x%% auflösen.

%%\begin{align} &\left(x^4-4x^2\right)=0\\ \Leftrightarrow &x^2\left(x^2-4\right)=0\\ \Leftrightarrow &x=0 \vee \left(x^2-4\right)=0\\ &\left(x^2-4\right)=0\\ \Leftrightarrow &x^2=4\\ \Leftrightarrow &x=\pm 2\\ \end{align}%%

%%x^2%% ausklammern und den zweiten Faktor nach %%x%% auflösen.

Nullstellen bei %%x=0, x=-2, x=2%%.

Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.

%%f(x)=x^4-2x^2-8%%

Lösung mit der Substitutionsmethode

Wenn du diese Aufgabe lösen willst, solltest du dich mit der Substitution auskennen.

%%\begin{align}f(x)=x^4-2x^2-8\\0=x^4-2x^2-8\end{align}%%

Setze die Gleichung gleich %%0%%.

Substitution

%%0=(x^2)^2-2x^2-8%%

Substituiere: %%z=x^2%%.

%%0=z^2-2z-8%%

Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

%%z_{1,2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}%%

Vereinfache.

%%z_{1,2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{36}}{2}%%

%%z_{1}=\dfrac{2+6}{2}=4%%

%%z_{2}=\dfrac{2-6}{2}=-2%%

Resubstitution

Um auf die Nullstellen von %%f(x)%% zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:

%%z=x^2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{z}%%

Aus %%z_1=4%% folgt:

%%x_{1,2}=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x_1=2%% und %%x_2=-2%%

Aus %%z=-2%% bekommt man keine Lösungen für %%f(x)=0%%, da man aus um auf %%x%% zu kommen die Wurzel aus %%-2%% ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!

Die Funktion hat also die beiden Nullstellen %%x_1=2%% und %%x_2=-2%%.

%%f(x)=\frac12 x^6 +x^3-4%%

Lösen mit der Substitutionsmethode

Um diese Aufgabe zu lösen solltest du das Substitutionsverfahren kennen.

%%\begin{align}f(x)=\dfrac12x^6+x^3−4\\0=\dfrac12x^6+x^3−4\end{align}%%

Setzte die Gleichung gleich %%0%%.

Substitution

%%0=\dfrac12(x^3)^2+x^3−4%%

Substituiere: %%u=x^3%%.

%%0=\dfrac12u^2+u−4%%

Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.

%%u_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(-4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}%%

Vereinfache.

%%u_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{1}%%

Vereinfache weiter.

%%u_{1,2}=-1\pm\sqrt{9}%%

Ziehe die Wurzel.

%%u_{1,2}=-1\pm3%%

Berechne %%u_1%% und %%u_2%%.

%%u_1=2%% und %%u_2=-4%%

Resubstitution

Um auf die Nullstellen von %%f(x)%% zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:

%%u=x^3 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{u}%%

%%u_1=2 \Leftrightarrow x_1=\sqrt[3]{2}\approx1,30%%

%%u_2=-4 \Leftrightarrow x_2=\sqrt[3]{-4}\approx{-1,59}%%

Die Funktion hat also die beiden Nullstellen %%x_1=\sqrt[3]{2}%% und %%x_2=\sqrt[3]{-4}%%.

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=1%% eine Nullstelle. Da %%f(1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x-1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x-1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-4=0%%

%%\vert+4% %%

%%x^2=4%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt4=\pm2%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-2%%.

%%g(x)=x^3+3x^2-16x+12%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%g(x)=x^3+3x^2−16x+12%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%g(x)%% ein.

%%g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0%%

Die Funktion %%g(x)%% hat an der Stelle %%x_1=1%% eine Nullstelle. Da %%g(1)=0%%, wissen wir, dass %%g(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x-1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%g(x):(x-1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%g(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%g%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2+4x-12=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-4\pm8}{2}%%

%%x_2=\dfrac{4}{2}=2%%

%%x_3=\dfrac{-12}{2}=-6%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%g(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-6%%.

%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%

%%3x%% ausklammern.

%%h(x)=3x\cdot(x^3+4x^2-11x-30)%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Die Funktion %%h(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=0%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%h%% bestimmen, indem du die Klammer gleich %%0%% setzt.

%%x^3+4x^2-11x-30=0%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%-2%% für %%x%% ein.

%%(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0%%

Die Funktion %%h(x)%% hat an der Stelle %%x_2=-2%% eine Nullstelle. Da %%h(-2)=0%%, wissen wir, dass %%h(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+2)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15\\\underline{-(x^3+2x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2-11x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2+4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-15x-30\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-15x-30)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Setze das erhaltene Polynom gleich %%0%%.

%%x^2+2x-15=0%%

%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-2\pm8}{2}%%

%%x_3=\dfrac{6}{2}=3%%

%%x_4=\dfrac{-10}{2}=-5%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%h(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=-2%%, %%x_3=3%% und %%x_4=-5%%.

%%i(x)=x^3-7x-6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%i(x)=x^3-7x-6%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%i(x)%% ein.

%%i(1)=1^3-7\cdot1-6=-12%%

%%i(1)\neq0%%

Setze z.B. %%-1%% in %%i(x)%% ein.

%%i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0%%

Die Funktion %%i(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-1%% eine Nullstelle. Da %%i(-1)=0%%, wissen wir, dass %%i(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%i(x):(x+1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%i(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%i%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-x-6=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}%%

%%x_2=\dfrac62=3%%

%%x_3=\dfrac{-4}{2}=-2%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%i(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=3%% und %%x_3=-2%%.

Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von %%f%% an:

$$f:x\mapsto \frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2$$

Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben

Nullstellen berechnen

$$f(x)=\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2$$

Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes %%f(x)=0%%.

$$\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2=0$$

Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten %%x^2%% aus.

$$x^2\cdot (\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1)=0$$

Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich %%0%% ist.
Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich %%0%% setzen.

%%\Rightarrow x^2 =0%% oder %%\ \frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0%%

  • %%x^2=0 \Rightarrow x=0%%.
    Das ergibt die Nullstelle: %%x_1=0%%
  • %%\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0 \Rightarrow ?%%
    Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.

$$\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0$$

Das ist eine quadratische Gleichung,
und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.

Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;

oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit %%6%%.

Dann fallen nämlich alle Brüche weg!

%%\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0%% %%\hspace{4mm}%% |%%\cdot 6%%

$$x^2-x-6=0$$

Berechne hiervon die Diskriminante.

%%D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)= 25%%

Die Diskriminante ist größer als %%0%%, also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.

%%x_{2/3}= \dfrac {-(-1)\pm \sqrt {25}}{2\cdot 1}%%

Die Lösungen heißen hier %%x_{2/3}%% statt %%x_{1/2}%%, da die Bezeichnung %%x_1%% ja schon für die Nullstelle %%x_1=0%% vergeben wurde.

%%x_{2/3}= \dfrac {1\pm 5}{2}%%

Rechne beide Werte aus.

%%x_{2}= \dfrac {1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3%%

%%x_{3}= \dfrac {1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

Jetzt hast du alle Nullstellen von %%f%% erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.

Nullstellen von %%f%%:

%%x_1 = 0%%

doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2

%%x_2 = 3%%

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

%%x_3 = -2%%

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

Linearfaktordarstellung angeben

%%f(x)=?%%

Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du

  • alle Nullstellen der Funktion, und
  • deren Vielfachheiten;
  • und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten %%x%%-Potenz steht.

Als Linearfaktordarstellung von %%f%% ergibt sich:

%%f(x)=\dfrac{1}{6}\cdot (x-0)^2\cdot (x-3) \cdot (x-(-2))%%

oder kürzer %%f(x)=\dfrac{1}{6}x^2 (x-3) (x+2)%%

Es ist Erntezeit und Nico möchte Äpfel pflücken. Da er zu klein ist, um an die Äpfel zu kommen, stellt er eine Leiter unter den Apfelbaum. Von der Leiter aus will er die Äpfel in einen Korb werfen, der auf dem Boden ein Stück von der Leiter entfernt steht.

Nico wirft aus einer Höhe von %%2\text {m}%%. Nico kennt die Newton'schen Gesetze der Gravitation und weiß somit, dass die Flughöhe %%h%% des Apfels in Abhängigkeit von der Entfernung %%x%% zur Leiter beschrieben werden kann durch %%h=-\frac{1}{2\text{m}}x^2+2%%.

Zu text-exercise-group 86678:
Christoph 2018-12-10 04:57:41
Die eingezeichnete Parabel ist nicht die Flugbahn des Apfels. Der Apfel fliegt nur in eine Richtung und somit wäre die Lösung nur eine Seite der Parabel.
Nish 2018-12-11 05:14:37
Hallo Christoph,
bin deiner Meinung! Sry. für die etwas späte Rückmeldung!

Ich hoffe, der Aufgabensteller kümmert sich um die Korrektur bzw. meldet sich.
Ansonsten habe ich es mir nun notiert und werde es dann angehen, wenn du es auch nicht selbst verbessern magst ;)

LG,
Nish
Simone_Heinrich 2018-12-14 16:25:38
Hallo Christoph,
Ich habe die Skizze jetzt mal angepasst. Ich hab jetzt die Flugbahn als durchgehende Linie und alles, was zur Funktion, aber nicht zur Flugbahn gehört durch eine gestrichelte Linie dargestellt (damit man weiterhin die Parabelform erkennen kann). Schau es dir doch bitte mal an und sag mir, ob das so für dich passt.
Viele Grüße,
Simone
Christoph 2018-12-16 14:06:39
Hallo Simone, ich finde das mit der gestrichelten Linie super! (Ich weiß nicht ob es für Schüler verwirrend ist, aber anstatt 'aus Erfahrung' könnte man ja schreiben 'Nico kennt die Newton'schen Gesetze der Gravitation und weiß, dass ...')
Nish 2018-12-18 16:24:32
Hallo Christoph, hallo Simone,

@Simone: Schön, dass du es gleich verbessert hast! Finde ich auch super!
@Christoph: Guter Punkt! :) Ich habe deinen Vorschlag gleich mal umgesetzt! ;) Passt das so? Ich finde "aus Erfahrung" auch ein wenig fragwürdig...

LG,
Nish

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Berechne, mit wieviel Meter Abstand zur Leiter Nico den Korb positionieren muss, damit er genau in den Korb trifft.

Wenn Nico auf der Leiter steht, wirft er aus einer Höhe von %%2\text{m}%%. Du möchtest wissen, wie viele Meter von der Leiter entfernt der Apfel auf den Boden fällt.

Die %%x-\text{Achse}% %% stellt den Boden dar. Der %%y-\text{Achsenabschnitt}%% beschreibt die Höhe, aus der Nico den Apfel wirfst.

Um herauszufinden, mit welchem Abstand zur Leiter der Apfel auf dem Boden landet, musst du die Nullstellen der Funktion %%h=-\frac{1}{2\text{m}}x^2+2%% berechnen.

$$ \begin{array}{cll} \ h&=0\\ \ -\frac{1}{2}x^2+2&=0 &|-2\\ \ -\frac{1}{2}x^2&=-2 &|\cdot{(-1)}\\ \frac{1}{2}x^2&=2 &|\cdot{2}\\ \ x^2&=4 &|\sqrt{\quad}\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{4} \\ \ |x|&=2 \end{array} $$

Du erhältst zwei Lösungen: %%x_1=2%%, %%x_2=-2%%

Der Apfel fällt %%2\text{m}%% neben Nico auf den Boden.

Er muss den Korb mit %%2\text{m}%% Abstand zur Leiter positionieren, damit er genau in den Korb trifft.

In Teilaufgabe %%\text{b}%% erhältst du zwei Lösungen. Wieso ergibt nur eine Sinn?

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

%%f(x)= 3x^4-9x^3%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

%%f(x)=3x^4-9x^3%%

Klammere %%x^3%% aus (kleinster vorkommender Exponent von %%x%%).

%%f(x)=x^3\cdot (3x-9)%%

Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.

%%0=x^3\cdot(3x-9)%%

Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

%%x^3=0%%
%%x=0%%
%%\Rightarrow x_1=0%%

Ziehe die 3. Wurzel.

%%3x-9=0\qquad |+9%%
%%3x=9\qquad |:3%%
%%x=3%%
%%\Rightarrow x_2=3%%

Die Funktion hat die beiden Nullstellen %%x_1=0%% und %%x_2=3%%.

%%f(x)= 2x^3-x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

%%f(x)=2x^3-x%%

Klammere x aus (kleinster vorkommender Exponent von x).

%%f(x)=x\cdot(2x^2-1)%%

Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.

%%0=x\cdot(2x^2-1)%%

Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

%%x=0%%
%%\Rightarrow x_1=0%%

%%2x^2-1=0%% %%|+1%%
%%2x^2=1%% %%| :2%%
%%x=0,5%% %%|\pm \sqrt{\cdot}%%
%%x_2=\sqrt{0,5}%%
%%x_3=-\sqrt{0,5}%%

Forme um und ziehe die Wurzel.

Die Funktion hat 3 Nullstellenund zwar %%x_1=0,\;x_2=\sqrt5%% und %%x_3=-\sqrt5%%.

%%f(x)= 3x^3-3x^2-6x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Ausklammern & Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern und die Mitternachtsformel.

Löse die Erste Nullstelle:

%%f(x)=3x^3−3x^2−6x%%

Klammere %%x%% aus (kleinster vorkommender Exponent von %%x%%).

%%f(x)=x\cdot(3x^2-3x-6)%%

Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.

%%0=x\cdot(3x^2-3x-6)%%

Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

%%x=0%%
%%\Rightarrow x_1=0%%

Löse die zweite und dritte Nullstelle:

%%f(x)=3x^2-3x-6%%

Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.

%%x_2,_3=\dfrac{-3 \pm \sqrt{-3^2-4\cdot3\cdot(-6)}}{2\cdot3}%%

Löse den Inhalt der Diskriminante.

%%x_2,_3=\dfrac{-3\pm\sqrt{64}}{6}%%

Löse die Diskrimininante auf!

%%x_2=\frac{-3+8}{6}%%
%%x_2=\frac{5}{6}%%

%%x_2=0,8\bar3%%

Löse den Term auf um %%x_2%% zu berechnen.

%%x_3=\frac{-3-8}{6}%%
%%x_3=\frac{-11}{6}%%
%%x_3=-1,8\bar3%%

Löse den Term auf um %%x_3%% zu berechnen.

Ergebnis:

Die Funktion hat die folgenden Nullstellen: %%x_1=0%%, %%x_2=0,8\bar3%% und %%x_3=-1,8\bar3%%.

%%f(x)= x^2-81%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Mitternachtsformel

Um diese Gleichung lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

Bestimme die Nullstellen:

%%f(x)=x²-81%%

Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.

%%x_1,_2=\dfrac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot(-81)}}{2\cdot1}%%

Löse den Inhalt der Diskriminante.

%%x_1,_2=\dfrac{-0\pm\sqrt{324}}{2}%%

%%x_1=\frac{+18}{2}=9%%

%%x_2=\frac{-18}{2}=-9%%

Fall 1:+

Fall 2:-

Ergebnis:

Die Funktion hat die beiden Nullstellen %%x_1=9%% und %%x_2=-9%%.

%%f(x)= x^2-10x+25%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

%%f(x)=x^2−10x+25%%

Setze den Term in die Mitternachtformel ein.

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{-10 \pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}%%

Löse den Inhalt der Diskriminante.

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{-10\pm\sqrt{0}}{2}%%

Da die Diskriminante null ist, sind %%x_1%% und %%x_2%% gleich!

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{-10}{2}%%.

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-5%%

%%f(x)=9x^2+24x+16%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

%%f(x)=9x^2+24x+16%%

Setze den Term in die Mitternachtformel ein.

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot9\cdot16}}{2\cdot9}%%

Löse den Inhalt der Diskriminante.

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{24\pm\sqrt{0}}{18}%%

Da die Diskriminante null ist, sind %%x_1%% und %%x_2%% gleich!

%%x_1,_2=\displaystyle\frac{24}{18}=1,\bar3%%

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1,\bar3%%

%%f(x)= 9x^4-81x^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Subsitution & pq-Formel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Substitution und pq-Formel.

%%f(x)=9x^4−81x^2%%

Wandle die Substitution x² = y in eine Quadratische Gleichung um.

%%f(y)=9y^2-81y%%

Setzte %%f(y)=0%%

%%0=9y^2-81y%%

Klammere %%y%% aus.

%%0=y\cdot(9y-81)%%

Ein Produkt ist %%0%%, wenn mindestens einer der Faktoren %%0%% ist.

=> %%y_1=0%%

Resubstitution %%y=x^2%%

%%0=x^2%%

%%x_{1,2}=0%%

%%9y-81=0%%

|+81

%%9y=81%%

|:9

=> %%y_2=9%%

Resubstitution %%y=x^2%%

%%x^2=9%%

ziehe die Wurzel

%%x_{3,4}=\pm3%%

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=0%% und jeweils eine einfache Nullstelle bei %%x_3=+3%% und %%x_4=-3%%.

Lies die Nullstelle der folgenden Parabeln ab und berechne mit diesen den Scheitelpunkt.

%%f(x)=x^2-2x%%

Bild der Parabel

Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.

Nullstellen ablesen

Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.

Die Nullstellen sind (0|0) und (2|0).

Bild mit eingezeichneten Punkten

Scheitelpunkt berechnen

Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 1.

Berechne den y-Wert.

%%f(1)=1^2-2\cdot1=-1%%

Der Scheitelpunkt liegt bei (1|-1)

%%g(x)=x^2-4x%%

Bild der Parabel

Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.

Nullstellen ablesen

Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.

Die Nullstellen sind (0|0) und (4|0).

Bild der Parabel

Scheitelpunkt berechnen

Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 2.

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen.

%%f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x^2\cdot(x+1)}%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\dfrac{x^2-2x-8}{x^2\cdot(x+1)}=0%%

Berechne die möglichen Nullstellen von %%f(x)%%. Setze dazu das Zählerpolynom %%p(x)%% gleich Null.

%%p(x)=x^2-2x-8=0%%

%%\displaystyle x_{{1,2}}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot 1}%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{2\pm6}{2}%%

%%x_1=\dfrac{2+6}{2}=\dfrac{8}{2}=4%%

%%x_2=\dfrac{2-6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

Überprüfe nun, ob die Nullstellen im Definitionsbereich der Funktion liegen, indem du die Definitionsmenge %%\mathbb{D}_f%% bestimmst. Setze dazu das Nennerpolynom %%q(x)%% gleich Null und berechne die Nullstellen von diesem.

%%q(x)=x^2\cdot(x+1)=0%%

%%q(x)=0%%, wenn %%x^2=0%% oder %%(x+1)=0%%.

  1. %%x^2=0%% für %%x_{q_1}=0%%

  2. %%(x+1)=0%% für %%x_{q_2}=-1%%

Bestimme die Definitionsmenge %%\mathbb{D}_f%%.

%%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1; 0\right\}%%

Da %%x_1\in\mathbb{D}_f%% und %%x_2\in\mathbb{D}_f%%, hat %%f(x)%% zwei Nullstellen bei %%x_1=4%%, %%x_2=-2%%.

%%l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}=0%%

Setze den Radikanden %%2x^2-8%% gleich Null und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcl} 2x^2-8&=&0&|+8\\ 2x^2&=&8&|:2\\ x^2&=&4&|\sqrt{}\\ x_{1,2}&=&\pm2 \end{array}%%

Die Funktion %%l(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=2%%, %%x_2=-2%%.

%%n(x)=\sqrt[6]{4x^3-20x^2+8x+32}%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%n(x)=\sqrt[6]{4x^3-20x^2+8x+32}=0%%

Setze den Radikanden %%4x^3-20x^2+8x+32%% gleich Null.

%%\begin{array} \; &4x^3-20x^2+8x+32=0&|:4\\ &x^3-5x^2+2x+8=0 \end{array}%%

Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.

Finde die Nullstelle %%x_1=-1%%.

Führe mit dem zur Nullstelle %%x_1%% gehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% die Polynomdivision durch.

%%\hphantom{-}(x^3-5x^2+2x+8):(x+1)=x^2-6x+8%%
%%\underline{-(x^3+x^2)}%%
%%\hphantom{-(x^3}-6x^2+2x%%
%%\hphantom{(x^3}\underline{-(-6x^2-6x)}%%
%%\hphantom{-(x^3-6x^2-}\;8x+8%%
%%\hphantom{-(x^3-6x^2}\underline{-(8x+8)}%%
%%\hphantom{-(x^3-6x^2-(8x+}0%%

Setze das erhaltene Polynom gleich Null.

%%x^2-6x+8=0%%

Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.

%%x_{2,3}=\displaystyle\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}%%

%%x_{2,3}=\displaystyle\frac{6\pm\sqrt4}{2}=\displaystyle\frac{6\pm2}{2}%%

%%x_2=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac82=4%%

%%x_3=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac42=2%%

Die Funktion %%n(x)%% hat drei Nulstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=4%%, %%x_3=2%%.

%%g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)=0%%

Man weiß, dass %%\sin(k\cdot\pi)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%.
Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich %%k\cdot\pi%% und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcl} 2x+0{,}5\pi&=&k\cdot\pi&|-0{,}5\pi\\ 2x&=&k\cdot\pi-0{,}5\pi&|\cdot\frac12\\ x&=&\frac12\cdot(k\cdot\pi-0{,}5\pi)&|\pi\;\text{ausklammern}\\ x&=&\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\\ \end{array}%%

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

%%N=\left\{\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\;|\;k\in \mathbb Z\right\}%%

%%h(x)=\cos\left(\dfrac{x}{\pi}\right)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%h(x)=\cos\left(\dfrac{x}{\pi}\right)=0%%

Man weiß, dass %%\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%. Setze das Argument der Cosinusfunktion also gleich %%(2k-1)\dfrac{\pi}{2}%% und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{\pi}&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}=\pi\dfrac{2k-1}{2}&|\cdot\pi\\ x&=&\pi^2\dfrac{2k-1}{2}=\pi^2(k-0{,}5)\\ \end{array}%%

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

%%N=\left\{\pi^2(k-0{,}5)\;|\;k\in \mathbb Z\right\}%%

%%m(x)=\sqrt{\tan(x)}%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%m(x)=\sqrt{\tan(x)}=0%%

Setze den Radikanden %%\tan(x)%% gleich Null.

%%\tan(x)=0%%

An der Definition der Tangensfunktion %%\mathrm{tan}(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)}%% erkennt man, dass für %%\tan(x)=0%% gelten muss: %%\sin(x)=0%%.

Es gilt also zur Nullstelenbestimmung:

%%\tan(x_0)=\sin(x_0)=0%%

Man weiß, dass %%\sin(k\cdot\pi)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%.
Somit ist auch %%\tan(k\cdot\pi)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%.

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

%%N=\{k\cdot\pi\;\vert k\in \mathbb{Z}\}%%

%%i(x)=\ln\left(x^3+9\right)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%i(x)=\ln\left(x^3+9\right)=0%%

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument %%x^3+9%% gleich Eins und löse die Gleichung.

%%\begin{array}{rcl} x^3+9&=&1&|-9\\ x^3&=&-8&|\sqrt[3]{}\\ x_1&=&-2 \end{array}%%

Die Funktion %%i(x)%% hat eine Nullstelle bei %%x_1=-2%%.

%%k(x)=\log_2\left(x^2+3x-3\right)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%k(x)=\log_2\left(x^2+3x-3\right)=0%%

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument %%x^2+3x-3%% gleich Eins und löse die Gleichung.

%%x^2+3x-3=1%%

%%\vert-1%%

%%x^2+3x-4=0%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}%%

%%\displaystyle \phantom{x_{1,2}}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}%%

%%x_1=\dfrac{-3+5}{2}=\dfrac22=1%%

%%x_2=\dfrac{-3-5}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4%%

Die Funktion %%k(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=-4%%.

Gegeben ist die Funktionenschar %%f_a(x)=ax^2+6x-3%% mit %%a\neq0%%.

Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters %%a%%.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f_a(x)=ax^2+6x-3%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%ax^2+6x-3=0%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot a\cdot(-3)}}{2\cdot a}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom {x_{1,2}}=\frac{-6\pm\sqrt{36+12a}}{2a}%%

Dieser Term kann auch noch weiter gekürzt werden. Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist das jedoch nicht notwendig. Im Folgenden wird der Term noch weiter vereinfacht:

Unter der Wurzel %%4%% ausklammern.

%%\displaystyle\phantom {x_{1,2}}=\frac{-6\pm\sqrt{4\cdot(9+3a)}}{2a}%%

%%4%% aus der Wurzel kürzen.

%%\displaystyle\phantom {x_{1,2}}=\frac{-6\pm2\sqrt{9+3a}}{2a}%%

%%2%% ausklammern.

%%\displaystyle\phantom {x_{1,2}}=\frac{2\cdot\left(-3\pm\sqrt{9+3a}\right)}{2a}%%

Bruch kürzen.

%%\displaystyle\phantom {x_{1,2}}=\frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}%%

Bestimme %%a%% so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Aus Aufgabe %%\mathrm a)%% weißt du, dass die Nullstellen bei %%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}%% liegen.

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.

%%D=9+3a%%

Setze die Diskriminante gleich Null.

%%9+3a=0%%

%%|-9%%

%%3a=-9%%

%%\vert:3%%

%%a=-3%%

DIe Funktion %%f_a(x)%% hat für %%a=-3%% genau eine Nullstelle.

Bestimme %%a%% so, dass %%x=-1%% eine Nullstelle ist.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Aus Aufgabe %%\mathrm a)%% weißt du, dass die Nullstellen bei %%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}%% liegen.

Setze den Term gleich %%-1%% und löse die Gleichung.

%%\begin{array}{rcl} \dfrac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}&=&-1&|\cdot a\\ -3\pm\sqrt{9+3a}&=&-a&|+3\\ \pm\sqrt{9+3a}&=&-a+3&|()^2\\ 9+3a&=&a^2-6a+9&|-(9+3a)\\ 0&=&a^2-9a&|:a\;(\text{möglich, da} \:a\neq0)\\ 0&=&a-9&|+9\\ 9&=&a&\\ \end{array}%%

Die Funktion %%f_a(x)%% hat für %%a=9%% eine Nullstelle bei %%x=-1%%.

Gegeben ist die Funktionenschar %%f_b(x)=x^4+bx^2+6%% mit %%b\neq0%%.

Bestimme die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von %%b%%.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f_b(x)=x^4+bx^2+6%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%x^4+bx^2+6=0%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt. Hier wird %%x^2%% durch %%u%% ersetzt.

%%u^2+bu+6=0%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot 1\cdot6}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%(x_{1,2,3,4})^2=u_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}%%

Bestimme %%b%% so, dass %%x=\sqrt2%% eine Nullstelle ist.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Aus Aufgabe %%\mathrm a)%% weißt du, dass die Nullstellen bei %%x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}%% liegen.

Setze den Term gleich %%\sqrt2%% und löse die Gleichung.

%%\begin{array}{rcl} \pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}&=&\sqrt2&|()^2\\ \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}&=&2&|\cdot2\\ -b\pm\sqrt{b^2-24}&=&4&|+b\\ \pm\sqrt{b^2-24}&=&b+4&|()^2\\ b^2-24&=&b^2+8b+16&|-(b^2+16)\\ -40&=&8b&|:8\\ -5&=&b&\\ \end{array}%%

Die Funktion %%f_b(x)%% hat für %%b=-5%% eine Nullstelle bei %%x=\sqrt2%%.

Gegeben ist die Funktionenschar %%f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5%% mit %%k\neq0%%.

Bestimme %%k%% so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5%%

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.

%%D=k^2-4\cdot k\cdot(-7{,}5)=k^2+30k%%

Setze die Diskriminante gleich Null.

%%k^2+30k=0%%

%%\vert :k%% (Da %%k\neq0%% kannst du durch %%k%% teilen)

%%k+30=0%%

%%\vert -30%%

%%k=-30%%

DIe Funktion %%f_k(x)%% hat für %%k=-30%% genau eine Nullstelle.

Bestimme %%k%% so, dass %%x=-2{,}5%% eine Nullstelle ist.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%kx^2+kx-7{,}5=0%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4\cdot k\cdot(-7{,}5)}}{2\cdot k}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{x_{1,2}}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2+30k}}{2k}%%

Setze den Term gleich %%-2{,}5%% und löse die Gleichung.

%%\begin{array}{rcl} \dfrac{-k\pm\sqrt{k^2+30k}}{2k}&=&-2{,}5&|\cdot 2k\\ -k\pm\sqrt{k^2+30k}&=&-5k&|+k\\ \pm\sqrt{k^2+30k}&=&-4k&|()^2\\ k^2+30k&=&16k^2&|-(k^2+30k)\\ 0&=&15k^2-30k&|:k\;(\text{möglich, da} \:k\neq0)\\ 0&=&15k-30&|+30\\ 30&=&15k&|:15&\\ 2&=&k&\\ \end{array}%%

Die Funktion %%f_k(x)%% für %%k=2%% eine Nullstelle bei %%x=-2{,}5%%.

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