Nullstellen von Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion hat den Funktionsterm %%f(x)=b\cdot a^x%%. Dabei ist %%a>0,\;a\neq1%% und %%b\neq0%%.

Exponentialfunktion


Da %%b\neq0%%, muss zur Bestimmung der Nullstelle %%x_0%% gelten: %%a^{x_0}=0%%. Jedoch gilt: %%a^x>0%%. Daraus folgt:

Eine Exponentialfunktion der Form %%b\cdot{a^x}%% besitzt keine Nullstellen.

Ausnahme

Wird eine Exponentialfunktion durch eine Konstante %%c%% in %%y%%-Richtung verschoben, kann es eine Nullstelle geben.

%%f(x)=b\cdot{a^x}+c%%

%%0=b\cdot{a^{x_0}}+c%%

%%\vert-c%%

%%-c=b\cdot{a^{x_0}}%%

%%\vert:b%%

%%\dfrac{-c}{b}=a^{x_0}%%

%%\vert\ln()%%

%%\ln\left(\dfrac{-c}{b}\right)=\ln(a^{x_0})=x_0\cdot\ln(a)%%

%%\vert:\ln(a)%%

%%\dfrac{\ln\left(\dfrac{-c}{b}\right)}{\ln(a)}=x_0%%

Da %%a^{x_0}>0%% ist, muss für das Vorhandensein einer Nullstelle %%x_0%% gelten:

wenn %%b>0%%, dann %%c<0%%.

wenn %%b<0%%, dann %%c>0%%.

%%\;%%

Du kannst dir das noch nicht so gut vorstellen? Im folgenden Applet kannst du %%a%%, %%b%% und %%c%% mit den Schiebereglern verändern und schauen, wie sich der Graph der Exponentialfunktion verhält.

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