Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt.
Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form %%f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}%%, wobei sowohl %%p(x)%% als auch %%q(x)%% Polynome sind.

gebrochenrationale Funktion


Eine gebrochenrationale Funktion wird genau dann Null, wenn das Zählerpolynom %%p(x)%% gleich Null ist.

Um die Nullstellen von %%f(x)%% zu berechnen, brauchst du also nur das Polynom %%p(x)=0%% zu setzen. Die Nullstellen von %%p(x)%% kannst du dann auf die gleiche Weise bestimmen, wie es auf der Kursseite Nullstellen von ganzrationalen Funktionen beschrieben wird.

Dabei muss eine beliebige Nullstellen %%x_0%% auch im Definitionsbereich der Funktion liegen, also %%x_0\in{\mathbb{D}_f }%%.

Beispiel

%%f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\dfrac{x^2-x-6}{(x-1)(x^2+x+3)}=0%%

Berechne die möglichen Nullstellen von %%f(x)%%. Setze dazu %%p(x)=0%%.

%%p(x)=x^2-x-6=0%%

%%\displaystyle x_{{1,2}}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2}%%

%%x_1=\dfrac{1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2%%

%%x_2=\dfrac{1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3%%

Überprüfe nun, ob die Nullstellen im Definitionsbereich der Funktion liegen, indem du die Definitionsmenge %%\mathbb{D}_f%% bestimmst. Setze dazu das Nennerpolynom gleich Null und berechne die Nullstellen von %%q(x)%%.

%%q(x)=(x-1)(x^2+x+3)=0%%

Aus dem Linearfaktor %%(x-1)%% kannst du die Nullstelle %%x_{q_1}=1%% von %%q(x)%% ablesen. Überprüfe %%q(x)%% auf weitere Nullstellen. Setze dazu die zweite Klammer gleich Null.

%%x^2+x+3=0%%

%%\displaystyle x_{q_{2,3}}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot 1}%%

%%\phantom{x_{h_{2,3}}}=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{-11}}{2}% %%

Da die Diskriminante %%D<0%%, besitzt %%q(x)%% keine weiteren Nullstellen. Bestimme die Definitionsmenge %%\mathbb{D}_f%%.

%%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}%%

Da %%x_1\in\mathbb{D}_f%% und %%x_2\in\mathbb{D}_f%%, hat %%f(x)%% zwei Nullstellen bei %%x_1=-2%%, %%x_2=3%%.

Nullstellen bei einer gebrochenrationalen Funktion

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