Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (3|5)

Als Nächstes schauen wir uns den Cosinus an.

Cosinus

Für welche %%x\in\mathbb R%% wird %%f(x)=\mathrm{cos}(x)%% Null?

Am Einheitskreis kannst du erkennen, für welche %%x\in[0°;360°[\;\mathrm{cos}(x)%% Null wird.

%%\;%%

Es gilt: %%360°\hat{=}\;2\pi%%, also für jedes beliebige %%\alpha:\;\;\;\;x=\displaystyle\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi%% .

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass %%x_1=90°%% bzw. %%x_1=\frac12\pi%% und %%x_2=270°%% bzw. %%x_2=\frac32\pi%% Nullstellen im Intervall %%[0°;360°[%% bzw. %%[0;2\pi[%% sind.

Da die Cosinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen.

cosinus

Wir wissen, dass der Cosinus an ungeradzahligen Vielfachen von %%\dfrac{\pi}{2}%% Null wird. Es gilt also %%\cos\left(k\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=0%% mit %%k=1,3,5,7,9,\dots%%. Gerade Zahlen sind ein Vielfaches von %%2%%. Ungerade Zahlen kann man beschreiben, indem man von einer geraden Zahl %%1%% abzieht. Es gilt also %%\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0%% mit %%k\in\mathbb{Z}%%.

Die Nullstellenmenge für %%f(x)=\cos(x)%% lautet somit: %%N=\left\{(2k-1)\dfrac{\pi}{2}\;\vert k\in \mathbb{Z}\right\}%% .

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