Nullstellen von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht, also %%f(x)=\sqrt[n] {x^m}%%. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form %%f(x)=x^n%% mit %%n\in\mathbb{N}%% .

Wurzelfunktion


Unter der Wurzel muss nicht nur eine Potenz stehen, sondern die Wurzelfunktion kann auch von der Form %%f(x)=\sqrt[n]{g(x)}%% sein, bei der der Radikand %%g(x)%% eine beliebige Funktion ist.

Eine Wurzelfunktion nimmt den Wert Null genau dann an, wenn der Radikand Null ist.

Beispiele

a) %%f(x)=\sqrt{x^3-4x}=0%%

Setze den Radikanden %%x^3-4x%% gleich Null.

%%\begin{array} \; &x^3-4x=0&x\text{ ausklammern}\\ &x\cdot(x^2-4)=0&\text{Faktoren}=0\\ &x=0\text{ oder }x^2-4=0&|+4\\ &x=0\text{ oder }x^2=4&|\sqrt{}\\ &x_1=0\text{ oder }x_{2,3}=\pm 2 \end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=2%%, %%x_3=-2%%.


b) %%f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x-5)}=0%%

Setze den Radikanden %%\sin(3x-5)%% gleich Null.

%%\sin(3x-5)=0%%

%%f(x)%% hat somit dieselben Nullstellen wie eine Sinusfunktion der Form %%g(x)= \sin(3x-5)%%.

Auf den folgenden Kursseiten erfährst du, wie du diese bestimmen kannst.

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