Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

1

Entscheide, ob folgende Gleichungen quadratische Gleichungen sind. Begründe deine Antwort.

$3x^2+2x+1=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $3x^2+2x+1=0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $ax^2+bx+c=0$ (mit $a \in\mathbb R \setminus \{0\}$ und $b,c\in \mathbb R$ ):
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$\frac{1}{2}x^2+1=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $\frac{1}{2}x^2+1=0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $ax^2+bx+c=0$ (mit $a \in\mathbb R \setminus \{0\}$ und $b,c\in \mathbb R$ ):
$\phantom{\Leftrightarrow}\frac{1}{2}x^2+1=0\\$ $\Leftrightarrow\underbrace{\frac{1}{2}}_ax^2+\underbrace{0}_b\cdot x+\underbrace{1}_c=0$
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$5x-1=2x^3$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält einen Term dritten Graden ( $2x^3$ ), welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)
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$x^2=25x$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$\frac{1}{3}x+2=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Für eine quadratische Gleichung benötigt es einen quadratischen Term (etwas mit $x^2$ ), welcher hier nicht vorkommt.
(In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ dürfen $b$ und $c$ Null sein, aber nicht $a$ .)
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$(x+1)(x-2)=0$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$5\left(x+1\right)^2=x$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$x^2\cdot(-x+3)=-5$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$dx-gx^2=h$ (mit $d,g,h\in\mathbb{R}$ , $g \neq 0$ )

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

2

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_1;x_2$ an, zum Beispiel "4;-1"

$\left(x-2\right)^2=16$

$\left(x+3\right)^2=25$

$\left(x+8\right)^2=36$

$\left(x-1\right)^2=10$

3

Löse die angegebenen Gleichungen.

Gib die Lösungen in der Form " $x_1;x_2$ " an. Zum Beispiel: " $4;-1$ "

$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss einer der beiden Faktoren gleich $0$ sein. Also entweder:
Dann erhältst du die Lösung $x_1 = 3$ . Oder:
Dann erhältst du die Lösung $x_2 = -1$
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge $L=\left\{3;-1\right\}$ .
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$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss der Faktor $(x-2)$ gleich $0$ sein. Mit:
kommst du auf das Ergebnis $x=2$ .
Diese Lösung ist eine zweifache Lösung!
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
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$0{,}5x^2-2x+2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
$0{,}5x^2-2x+2=0$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert $0$ , damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: $x=2$ .
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
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4

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_1=2$ und $x_2=-3$ , so kannst du entweder " $2;-3$ " oder " $-3;2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^2+6x-16=0$

$x^2+10x+9=0$

$0{,}5x^2-1{,}5x-14=0$

$-\frac12x^2+7x+7{,}5=0$

$2x^2+2x-\frac89=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$\displaystyle 2x^2+2x-\frac{9}{8}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle 2\left(x^2+x\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $\left(\frac12\right)^2$ .
$\displaystyle 2\left(x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$\displaystyle 2\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{18}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{25}{18}$
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{18}$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{36}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\}$

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$2x^2=x+1$

5

Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.

Gib die Lösung in der Form " $x_1;x_2$ " an. Zum Beispiel: " $5;-4$ "

$x^2-5x+6=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^2-5x+6=0$
$a=1$ , $b=-5$ und $c=6$
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1{,}2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
$=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\frac{5\pm1}2$
$\Rightarrow\;x_1=3\\\Rightarrow\;x_2=2$
Lösung mit der pq-Formel
$x^2-5x+6=0$
$p=-5$ und $q=6$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{\left(\frac p 2\right)^2−q}\\&=&−\frac {(-5)} {2} \pm \sqrt{\left( \frac {-5} {2}\right )^2−6}\\&=&\frac52\pm\sqrt{\frac{25}{4}-6}\\&=&\frac52\pm\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}}\\&=&\frac 5 2\pm \sqrt{\frac 14}\\&=&\frac 52 \pm \frac 12\end{array}$
$\Rightarrow\;x_1=\frac 52+\frac 12=\frac 62=3$
$\Rightarrow\;x_2=\frac 52-\frac 12=\frac42=2$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$
Setze $x_1=3, x_2=2, p=-5$ und $q=6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+2&=&-(-5)&\checkmark\\II&3\cdot 2&=&6&\checkmark\end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$x^2-6x-27=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^2-6x-27=0$
$a=1,\;\;b=-6,\;\;c=-27$
Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1{,}2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot(-27)}}{2\cdot1}$
$=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}2=\frac{6\pm12}2$
$\Rightarrow$ $x_1=\frac{18}{2}$ und $x_2=\frac{-6}{2}$
Die Lösungen sind also $x_1=9$ und $x_2=-3$ .
Lösung mit der pq-Formel
$x^2-6x-27=0$
$p=−6$ und $q=-27$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right) ^2−q}\\&=&−\frac {-6} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {-6} 2 \right) ^2−(-27)}\\&=&\frac 6 2 \pm \sqrt{\frac {36} {4}+27}\\&=&3 \pm \sqrt{9+27}\\&=&3 \pm \sqrt{36}\\&=&3\pm6\end{array}$
$\Rightarrow x_1=3+6=9$
$\Rightarrow x_2=3-6=-3$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}\end{array}$
Setze $x_1=9,x_2=-3,p=-6$ und $q=-27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &9+(-3)&=&-(-6)&\checkmark\\II&9\cdot (-3)&=&-27&\checkmark\end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$\frac13x^2+3x-12=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:

Lösung mit Mitternachtsformel

$\frac13x^2+3x-12=0$

Die Koeffizienten sind $a=\frac13,\;b=3,\;c=-12$ .

Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot\frac{1}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm5}{\frac{2}{3}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3\pm5)\cdot3}{2}$

$\Rightarrow x_1=3$ und $x_2=-12$

Lösung mit der pq-Formel

$\frac13x^2+3x-12=0$

Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ anwenden. Klammere also zuerst $\frac{1}{3}$ aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}\left(x^2+9x-36\right)&=&0&|\cdot3\\x^2+9x-36&=&0\end{array}$

$p=9$ und $q=-36$

Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2−q}\\&=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{ \left( \frac 9 2 \right) ^2−(-36)}\\&=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{\frac {81} {4}+36}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{81}{4}+\frac{144}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{225}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\left( \frac{15}{2}\right )^2}\\&=&-\frac 92\pm \frac{15}{2}\end{array}$

$\Rightarrow x_1=-\frac 92+\frac{15}{2}=\frac 62 =3$

$\Rightarrow x_2=-\frac 92-\frac{15}{2}=-\frac{24}{2}=-12$

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$

Geg: $\frac13x^2+3x-12=0$

Da $a=\frac13\neq1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.

$\frac{1}{3}\left(x^2+9x-36\right)=0$

Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.

Setze $x_1=3,x_2=-12,p=9$ und $q=-36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+(-12)&=&-9=5&\checkmark\\II&3\cdot (-12)&=&-36&\checkmark\end{array}$

Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

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6

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5;-2{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-2{,}5$ ".

$11=2x+\frac{12}x$

$3\left(x+2\right)+\frac3x=0$

7

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2$

$x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$

8

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2x^2+16=12x$

$2=\left(3+x\right)^2$

$-x^2-2=0{,}25+9x$

$2x+x+16=0$

$x^2+\sqrt2x-1=0$

$x^2-x=x-x^2$

9

Gib jeweils eine quadratische Gleichung mit der angegebenen Eigenschaft an.

Die Gleichung hat nur die Lösung –2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat nur die Lösung –2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$\left(x+2\right)\left(x+2\right)$
Zusammenfassen.
$\left(x+2\right)^2=0$
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Die Gleichung hat keine Lösungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Damit die Gleichung keine Lösung hat muss eine unwahre Aussage entstehen.
Dies geschieht beispielsweise bei allen Gleichungen, auf deren einer Seite $x^2$ und auf deren anderen eine negative Zahl steht.
Beispielsweise:
$x^2\;=\;-1$
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Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
Binomische Formel anwenden.
$0=x^2-4$
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Die Gleichung hat die Lösungen –1 und –3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$x_1=-1;\;x_2=-3$
Angabe der Nullstellen mit Hilfe der Faktorschreibweise:
$(x+1)\cdot(x+3)=0$
Ausmultiplizieren.
$x^2+3x+x+3=0$
$x^2+4x+3=0$
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10

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3;-5{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-5{,}5$ ".

$x^2-9x+20=0$

$x^2+11x=-18$

$3x^2-3x-6=0$

$x^2-153=8x$

$45+30x=-5x^2$

$\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=\frac{1}{4}$ , $b=\frac{1}{4}$ und $c=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=\frac{1}{4}$ , $b=\frac{1}{4}$ und $c=-\frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{(\frac{1}{4})^{2}-4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})}}{2\cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Addiere die Brüche unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{ \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 1$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-2;1\}$

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$8x^2+4x=4$

$2x^2+8{,}8x+8{,}4=0$

$13x^2+18{,}2x+3{,}12=0$

11

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$x^2-10=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\displaystyle x^2-10$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +10$
↓
Löse nach $x^2$ auf
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle 10$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 10 ergibt: $\;\sqrt{10}$ und $-\sqrt{10}$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $\sqrt{10}$ und $-\sqrt{10}$ .
Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-\sqrt{10};\;\sqrt{10}\}$
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$\dfrac{1}{3} \cdot x^2 -12 =0$

$2\cdot x^2+\dfrac{1}{2}=0$

$9\cdot x^2+23=6 \cdot x^2+50$

12

Bestimme die Lösungen der Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3/5;-5{,}5$ ".

$x^2=20 \cdot x$

$2x\cdot(x-2{,}5)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $2x=0 \;\Rightarrow \;x=0$
2. Faktor: $x-2{,}5=0\;\Rightarrow \;x=2{,}5$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{0;2{,}5\}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$2x^2+5x=5x^2-2x$

$\dfrac{1}{2}x^2=8x$

13

Bestimme die Lösungen der Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $-(5/7);-5{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-5{,}5$ ".

$3\cdot(x-1{,}5)\cdot(x+2)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $3\neq0$
2. Faktor: $x-1{,}5=0\;\Rightarrow \;x=1{,}5$
3. Faktor: $x+2=0\;\Rightarrow \;x=-2$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-2;1{,}5\}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\left(3x-2\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}x+4\right)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $3x-2=0\;\Rightarrow \;x=\dfrac{2}{3}$
2. Faktor: $\dfrac{1}{2}x+4=0\;\Rightarrow \;x=-8$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-8;\frac{2}{3}\}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$x^2+4x+4=0$

$\left(4x-\dfrac{2}{3}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{8}\right)=0$

14

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3;-5{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-5{,}5$ ". Bei einer leeren Lösungsmenge schreibe "leer".

$2(x-2)^2-32=0$

$\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-3=0$

$4(x+3)^2+12=0$

$\dfrac{2}{5}\left(x+0{,}85\right)^2-10=0$

15

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$4x^2-5x-6=0$

$3x^2+2x-1=0$

$-5x^2+3x-2=0$

$x^2+4x-2=0$

16

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$4\cdot(x+\dfrac{3}{7})\cdot (x-\dfrac{1}{8})=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $4\neq0$
2. Faktor: $x+\dfrac{3}{7}=0\;\Rightarrow \;x=-\dfrac{3}{7}$
3. Faktor: $x-\dfrac{1}{8}=0\;\Rightarrow \;x=\dfrac{1}{8}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-\dfrac{3}{7};\dfrac{1}{8}\}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\dfrac{1}{8}x^2=18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\displaystyle \frac{1}{8}x^2$ $=$ $\displaystyle 18$ $\displaystyle \cdot8$
↓
Löse nach $x^2$ auf
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle 144$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 144 ergibt: $\;12$ und $-12$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $12$ und $−12$ .
Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-12;\;12\}$ .
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$5x^2=-4x$

$-12x+32=-x^2$

$\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{7}{8}x-\dfrac{3}{8}=0$

$3 \cdot\left(x-\dfrac{1}{7}\right)^2-12=0$

$2x^2-72 =0$

$-6x^2=\dfrac{1}{3}x$

$(8x+12)\cdot(3x-15)=0$

$-2 \cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+4=0$

17

18

Lies aus der quadratischen Gleichung die Werte für die Koeffizienten $a{,}\;b$ und $c$ ab.

$5x^2+3=0$
- $a=\;\;5;\;b=\;\;1; \;c=\;\;3$
- $a=5x^2;\;b=\;\;0; \;c=\;\;3$
- $a=\;\;5,\;b=\;\;0, \;c=\;\;3$
- $a=\;\;5;\;b=\;\;0; \;c=-3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $ax^2+bx+c=0.$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^2$ , d.h. hier ist $a=5$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ . In der Gleichung tritt kein $x$ auf, d.h. hier ist $b=0$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c=3$ .
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$-2x^2+2x=0$
- $a=\;\;2;\;b=\;\;2; \;c=\;2x$
- $a=-2;\;b=\;\;2; \;c=\;\;0$
- $a=-2x^2,\;b=\;0x, \;c=\;2x$
- $a=-2;\;b=\;\;0, \;c=\;\;2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $\textcolor{ff6600}{a}x^2+\textcolor{009999}{b}x+\textcolor{cc0000}{c}=0.$
Die quadratische Gleichung in dieser Aufgabe lautet: $\textcolor{ff6600}{-2}x^2+\textcolor{009999}{2}x=0$
$\textcolor{ff6600}{a}$ ist der Koeffizient vor dem $x^2$ , d.h. hier ist ${a=-2}$ .
$\textcolor{009999}{b}$ ist der Koeffizient vor dem $x$ . d.h. hier ist $b=2$ .
Es gibt keinen konstanten Summanden $\textcolor{cc0000}c$ , d.h. hier ist $c=0$ .
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19

Bringe die Gleichung zuerst in die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung und lies dann die Werte für die Koeffizienten $a{,}\;b$ und $c$ ab.

$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)\cdot\left(2x+3\right)=0$
- $a=\;\;0;\;b=-\dfrac{1}{2};\;c=-3$
- $a=-2;\;b=-\dfrac{1}{2}x;\;c=-3$
- $a=\;\;\dfrac{1}{2};\;b=\;\;1;\;c=-3$
- $a=\;\;1;\;b=\;-\dfrac{1}{2};\;c=-3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $ax^2+bx+c=0$ .
$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)\cdot\left(2x+3\right)=0$
Du musst die Klammern ausmultiplizieren und die linke Seite zusammenfassen.
$\frac{1}{2}\left(2x^2+3x-4x-6\right)=0\;\Rightarrow$
$\frac{1}{2}\left(2x^2-x-6\right)=0\;\Rightarrow$
$x^2-\frac{1}{2}x-3=0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^2$ , d.h. hier ist $a=1$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b=-\dfrac{1}{2}$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c=-3$ .
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$(x-4)^2+3=0$
- $a=\;\;1;\;b=\;\;8;\;c=-19$
- $a=-4;\;b=\;\;0;\;c=\;\;3$
- $a=\;\;1;\;b=-8;\;c=19$
- $a=\;\;0;\;b=-4;\;c=\;\;3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $ax^2+bx+c=0$ .
$(x-4)^2+3=0$
Du musst die Klammer mit der binomischen Formel ausmultiplizieren und die linke Seite zusammenfassen.
$(x^2-8x+16)+3=0\;\Rightarrow$
$x^2-8x+19=0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^2$ , d.h. hier ist $a=1$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b=-8$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c=19$ .
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$\displaystyle 5\left(x+1\right)^2$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Löse die binomische Formel.
$\displaystyle 5\cdot\left(x^2+2x+1\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Multipliziere aus,
$\displaystyle 5x^2+10x+5$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 5x^2+9x+5$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x^2\cdot(-x+3)$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle -x^3+3x^2$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle -x^3+3x^2+5$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-2\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-2\right\|$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 25x$	$\displaystyle -25x$
$\displaystyle x^2-25x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x^2+\left(-25\right)\cdot x+0$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2-2x+x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x^2-x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x^2+\left(-1\right)\cdot x+\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle dx-gx^2$	$=$	$\displaystyle h$	$\displaystyle -h$
$\displaystyle -gx^2+dx-h$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(-g\right)x^2+d\cdot x+\left(-h\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+3\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+3\right\|$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \left(x+8\right)^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+8\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+8\right\|$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -14$

$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-1\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1+\sqrt{10}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt{10}$

$\displaystyle x^2+6x-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^2$ .
$\displaystyle x^2+6x+3^2-3^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-9-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +25$
$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle \pm5$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm5-3$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-8;2\}$

$\displaystyle x^2+10x+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^2$ .
$\displaystyle x^2+2\cdot5x+5^2-5^2+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(x^2+2\cdot5x+5^2\right)-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x+5\right)^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle \left(x+5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+5$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4-5\ =-1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -4-5=-9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;-9\}$

$\displaystyle 0{,}5x^2-1{,}5x-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	0,5 ausklammern.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}-14$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +14+\frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 14+\frac{9}{8}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 28+\frac{9}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{121}{4}}$	$\displaystyle +\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\pm\frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-4;7\}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+7x+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-\frac12$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-14x\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^2$ .
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-2\cdot7x+7^2-7^2\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2\right)+24{,}5+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -32$
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle -32$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x-7$	$=$	$\displaystyle \pm8$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8+7=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -8+7=-1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;15\}$

$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -x+1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1+\frac{1}{8}$
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}+1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{16}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{3}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{1}{2};1\}$

$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 2x+\frac{12}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 11x$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12$	$\displaystyle -11x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12-11x$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121-4\cdot2\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 25$

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}$
	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+2\right)+\frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 3x+6+\frac{3}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2+6x+3$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 36-4\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{2\cdot3}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{6}$
	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}{2}=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle -7\pm\sqrt{41}$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt{7}}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-5+9}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-5-9}{2\sqrt{7}}=\frac{-14}{2\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}}=\frac{-14\sqrt{7}}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$

$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-12x+16$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot16$
	$=$	$\displaystyle 144-128$
	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;16$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{12\pm\sqrt{16}}{2\cdot2}$
	↓	$x_1\$ berechnen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{12+4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}=4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{12-4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{4}=2$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{4;2\right\}$

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2-2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9-2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 6^2-4\cdot^{\cdot7}$
	$=$	$\displaystyle 36-28\ =8$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;8$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6\pm\sqrt8}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6+2\sqrt2}2=\;-3+\sqrt2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6-2\sqrt2}2=\;-3-\sqrt2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-3+\sqrt2;\;-3-\sqrt2\right\}$

$\displaystyle -x^2-2$	$=$	$\displaystyle 0{,}25+9x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+9x+2{,}25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$\displaystyle \mathrm{x}_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot2{,}25}}{2}$
	↓	$x_{1\ }und\ x_2$ ausrechnen
$\displaystyle x_1$	$≈$	$\displaystyle -0{,}26$
$\displaystyle x_2$	$≈$	$\displaystyle -8{,}74$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{-0{,}26;-8{,}74\right\}$

$\displaystyle 2x+x+16$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 3x+16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -16$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-16}{3}$
	$=$	$\displaystyle -5\frac{1}{3}$
	$≈$	$\displaystyle -5{,}3$

$\displaystyle x^2+\sqrt{2}x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^2+\mathrm{px}+p$ mit $\;\;p=\sqrt2$ und $q=-1$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{q}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2\;}\pm\sqrt{(\frac{\sqrt2}{2\;})^2+1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac12+1}=-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac32}\end{array}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle x_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\;\;\;\;\;\vee\;\;$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\;-\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$