Aufgaben

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art.
Vereinfache diese:

Zu text-exercise-group 14827:
Nish 2018-09-23 15:10:56
Hallo zusammen,
die Lösung zu der Aufgabe sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/59311) überarbeitet werden.

Würde mich freuen, wenn sich jdn. dafür findet! :)
LG,
Nish
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%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2%%

Fasse alles unter der Wurzel zusammen.

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{164}}2%%

Ziehe %%2%% aus der Wurzel .

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}2=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}2%%

Kürze den Bruch mit %%2%%.

%%x_{1/2}=-7\pm\sqrt{41}%%

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt7}}{2\sqrt7}%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt7}}{2\sqrt7}%%

Fasse alles unter der Wurzel zusammen.

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt7}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt7}%%

Berechne den Bruch einmal mit %%+%% und einmal mit %%-%%.

%%x_1=\frac{-5+9}{2\sqrt7}=\frac4{2\sqrt7}%%

Kürze den Bruch mit %%2%%.

%%x_1=\frac2{\sqrt7}%%

Erweitere den Bruch mit %%\sqrt7%% .

%%x_1=\frac{2\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}7%%

%%x_2=\frac{-5-9}{2\sqrt7}=\frac{-14}{2\sqrt7}%%

Erweitere den Bruch mit %%\sqrt7%% .

%%x_2=\frac{-14\sqrt7}{2\sqrt7\sqrt7}=\frac{-14\sqrt7}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt7}{14}%%

Kürze den Bruch mit 14.

%%x_2=-\sqrt7%%

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Zu text-exercise-group 15253:
Nish 2018-10-04 12:52:41
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%x^2+6x-16=0%%

Quadratische Ergänzung

Artikel zum Thema

%%x^2+6x-16=0%%

Quadratisch ergänzen mit %%3^2%%.

%%x^2+6x+3^2-3^2-16=0%%

Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.

%%(x+3)^2-9-16=0%%

Zusammenfassen.

%%(x+3)^2-25=0%%

%%\left|+25\right.%%

%%(x+3)^2=25%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x+3=\pm5%%

%%|-3%%

%%x=\pm5-3%%

=> %%x_1=-8%% und %%x_2=2%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\{-8;2\}%%

%%x^2+10x+9=0%%

%%x^2+10x+9=0%%

Ergänze quadratisch mit %%5^2%%.

%%x^2+\underset{}{2\cdot5}x+5^2-5^2+9=0%%

Fasse zusammen.

%%\left(x^2+2\cdot5x+5^2\;\right)-16=0%%

Fasse als 1. binomische Formel zusammen.

%%\left(x+5\;\right)^2-16=0%%

Addiere auf beiden Seiten 16.

%%\left(x+5\;\right)^2=16%%

Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.

%%x+5=±4%%

Forme weiter um.

%%x_1=4-5=-1%%

%%x_2=-4-5=-9%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-1\;;\;-9\right\}%%

%%0,5x^2-1,5x-14=0%%

%%0,5x^2-1,5x-14=0%%

%%0,5%% ausklammern.

%%0,5\left(x^2-3x\right)-14=0%%

%%0,5\left(x^2-3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)-14=0%%

Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.

%%0,5\left(\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right)-14=0%%

%%0,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14=0%%

Gleichung umformen.

%%\begin{array}{rclc}0,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14&=&0&\end{array}%%

%%\left|+14+\frac98\right.%%

%%\begin{array}{rcl}0,5\left(x-\frac32\right)^2&=&14+\frac98\end{array}%%

$$\left|\cdot2\right.$$

%%\begin{array}{rcl}\left(x-\frac32\right)^2&=&28+\frac94\end{array}%%

$$\left|\sqrt\;\right.$$

%%\begin{array}{rcl}x-\frac32&=&\pm\sqrt{\frac{121}4}\end{array}%%

%%\left|+\frac32\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x&=&\frac32\pm\frac{11}2\end{array}%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-4;\;7\right\}%%

%%-\frac12x^2+7x+7,5=0%%

%%-\frac12x^2+7x+7,5=0%%

Klammere %%-\frac12%% vor den x-Termen aus.

%%-\frac12\left(x^2-14x\right)+7,5=0%%

%%-\frac12\left(x^2-2\cdot7x+7^2\;-7^2\right)+7,5=0%%

Fasse als 2. binomische Formel zusammen.

%%-\frac12\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7,5=0%%

%%-\frac12\left(\left(x-7\right)^2\right)+24,5+7,5=0%%

Fasse zusammen.

%%-\frac12\left(x-7\right)^2+32=0%%

%%\left|-32\right.%%

%%-\frac12\left(x-7\;\right)^2=-32%%

%%\left|-2\right.%%

%%\left(x-7\;\right)^2=64%%

Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.

%%x-7=\pm8%%

Forme weiter um.

%%x_1=8+7=15%%

%%x_2=-8+7=-1%%

Gib die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{-1\;;\;15\right\}%%

%%2x^2+2x-\frac89=0%%

%%2x^2+2x-\frac89=0%%

Klammere den Faktor %%2%% vor den x-Termen aus.

%%2\left(x^2+x\right)-\frac89=0%%

Ergänze quadratisch mit %%\left(\frac12\right)^2%%.

%%2\left(x^2+2\cdot\frac12x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2\right)-\frac89=0%%

Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.

%%2\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right)-\frac89=0%%

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac12-\frac{16}{18}=0%%

Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac9{18}-\frac{16}{18}=0%%

Fasse zusammen.

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}{18}=0%%

%%|+\frac{25}{18}%%

%%2\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{18}%%

%%\vert\cdot\frac12%%

%%\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{36}%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x+\frac12=\pm\frac56%%

Forme weiter um.

%%x_1=\frac56-\frac12=\frac56-\frac36=\frac26\;=\frac13%%

%%x_2=-\frac56-\frac12=-\frac56-\frac36=-\frac86\;=-\frac43%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-\frac43\;;\;\frac13\right\}%%

%%2x^2=x+1%%

%%2x^2=x+1%%

%%\left|-x+1\right.%%

Alles Summanden auf eine Seite bringen.

%%2x^2-x-1=0%%

Den Faktor 2 ausklammern.

%%2\left(x^2-\frac12x\right)-1=0%%

%%2\left(x^2-\frac12x+\left(\frac14\right)^2-\left(\frac14\right)^2\right)-1=0%%

Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.

%%2\left(\left(x-\frac14\right)^2-\frac1{16}\right)-1=0%%

%%2\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1=0%%

Die Gleichung nach x auflösen.

%%\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1&=&0\end{array}%%

%%\left|+1+\frac18\right.%%

%%\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac18+1\end{array}%%

%%|:2%%

%%\begin{array}{rcl}\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac9{16}\end{array}%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x-\frac14&=&\pm\frac34\end{array}%%

%%\left|+\frac14\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x&=&\frac14\pm\frac34\end{array}%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-\frac12;\;1\right\}%%

Löse die folgenden Gleichungen mit dem Satz von Vieta und der Mitternachtsformel:

Zu text-exercise-group 14897:
Nish 2017-10-28 17:36:08
Hallo zusammen,
Diese Aufgabe muss komplett nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien überarbeitet werden.
LG,
Nish
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%%x^2-5x+6=0%%

%%x^2-5x+6=0%%

Da die Gleichung die Form %%x^2+px+q=0%% hat können wir den Satz von Vieta anwenden. Es gilt:

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}x_1+x_2&=&-p&=&-(-5)=5\\x_1\cdot x_2&=&q&=&6\end{array}\end{array}%%

Versuche durch Raten Lösungen für %%x_1%% und %%x_2%% zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

%%x_1\cdot x_2%%

$$1$$

$$6$$

$$1+6=7$$

$$1\cdot6=6$$

$$2$$

$$3$$

$$2+3=5$$

$$2\cdot3=6$$

Die Lösungen sind also %%x_1=2%% und %%x_2=3%%

%%a=1%%, %%b=-5%% und %%c=6%%

Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\frac{5\pm1}2%%

$$\begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1=3\\\Rightarrow\;x_2=2\end{array}$$

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei Vieta.

%%x^2-6x-27=0%%

Lösung mit Vieta

Artikel zum Thema

%%\begin{array}{r}\begin{array}{ccccc}x_1+x_2&=&-p&=&-(-6)\\x_1\cdot x_2&=&q&=&-27\end{array}\\\end{array}%%

Kandidaten für %%x_1%% und %%x_2%% sind die Teiler von %%27%%: 1, 3, 9 und 27

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

$$-1$$

$$27$$

$$-1+27=26$$

$$1$$

$$-27$$

$$1+(-27)=-26$$

$$-3$$

$$9$$

$$-3+9=6$$

$$3$$

$$-9$$

$$3+(-9)=-6$$

Die Lösungen sind also %%x_1=-3%% und %%x_2=9%%.

Lösung mit der Mitternachtsformel

%%a=1,\;\;b=-6,\;\;c=-27%%

Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot(-27)}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}2=\frac{6\pm12}2%%

%%\Rightarrow%% %%x_1=\frac{18}{2}%% und %%x_2=\frac{-6}{2}%%

Die Lösungen sind also %%x_1=9%% und %%x_2=-3%%.

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Lösung mit Vieta

Artikel zum Thema

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Da %%a=\frac13\neq1%% ist muss man zuerst a ausklammern, um Vieta anwenden zu können.

%%\frac13\left(x^2+9x-36\right)=0%%

Jetzt ist in der Klammer %%a=1%% und wir erhalten %%-p = -9%% und %%q= -36%%.

Kandidaten für die Lösungen sind die Teiler von %%36%%: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

%%x_1\cdot x_2%%

$$-1$$

$$36$$

$$-1+36=35$$

$$(-1)\cdot36=-36$$

$$1$$

$$-36$$

$$1+(-36)=35$$

$$1\cdot(-36)=-36$$

$$-2$$

$$18$$

$$-2+18=16$$

$$(-2)\cdot18=-36$$

$$2$$

$$-18$$

$$2+(-18)=-9$$

$$2\cdot(-18)=-36$$

$$-3$$

$$12$$

$$-3+12=9$$

$$(-3)\cdot12=-36$$

$$3$$

$$-12$$

$$3+(-12)=-9$$

$$3\cdot(-12)=-36$$

$$-4$$

$$9$$

$$-4+9=5$$

$$(-4)\cdot9=-36$$

$$4$$

$$-9$$

$$4+(-9)=-5$$

$$4\cdot(-9)=-36$$

$$-6$$

$$6$$

$$-6+6=0$$

$$6\cdot(-6)=-36$$

Die Lösungen sind also %%x_1=3%% und %%x_2=-12%%.

Da nur für sie gilt: %%x_1+x_2=-9%% und %%x_1\cdot x_2=-36%%.

Lösung mit Mitternachtsformel

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Die Koeffizienten sind %%a=\frac13,\;b=3,\;c=-12%% .

Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot{\displaystyle\frac13}\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot{\displaystyle\frac13}}\end{array}%%

%%=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{\displaystyle\frac23}=\frac{(-3\pm5)\cdot3}2%%

%%\Rightarrow x_1=3%% und %%x_2=-12%%

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (D = IR \ {0}) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

%%11=2x+\frac{12}x%%

%%11=2x+\frac{12}x%%

%%\vert\cdot x%%

%%11x=2x^2+12%%

%%\vert-11x%%

%%2x^2-11x+12=0%%

Diskriminante bestimmen.

%%\begin{array}{l}D=121-4\cdot2\cdot12=25\;\\\end{array}%%

%%25>0%% %%\Rightarrow%% 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

%%x_1=\frac{11+\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{16}{4}=4%%

%%x_2=\frac{11-\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=1,5%%

%%L=\left\{1,5\;;\;4\right\}%%

Graph zeichnen

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2411_0SE09xEkK0.xml

  %%3\left(x+2\right)+\frac3x=0%%

%%3\left(x+2\right)+\frac3x=0%%

%%3x+6+\frac3x=0%%

%%\vert\cdot x%%

%%3x^2+6x+3=0%%

Diskriminante berechnen.

%%\begin{array}{l}D=36-4\cdot3\cdot3=0\\\end{array}%%

%%\Rightarrow%% Es gibt nur eine Lösung

Mitternachtsformel anwenden.

%%x=\frac{-6}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1%%

%%L=\left\{-1\right\}%%

Löse die angegebenen Gleichungen.

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Zu text-exercise-group 5677:
Nish 2018-10-04 12:55:20
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%2x^2+16=12x%%

Gleichung bestimmen

Artikel zum Thema

%%2x^2+16=12x%%

%%\left|{-12x}\right.%%

%%0=2x^2-12x+16%%

Diskriminante berechnen.

%%D=\left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot16%%

%%=144-128%%

%%=16%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;16>0\;%%

daher 2 Lösungen

%%2x^2+16=12x%%

In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{16}}{2\cdot2}%%

%%x_1\;%% berechnen

%%x_1=\frac{12+4}4=\frac{16}4=4%%

%%x_2=\frac{12-4}4=\frac84=2%%

L %%=\left\{4;2\right\}%%

Graphen zeichnen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1579.xml

%%2=\left(3+x\right)^2%%

Gleichung bestimmen

Hier findest du Erklärungen zum Thema Gleichung.

%%2\;=\;\left(3+x\right)^2%%

%%\left|{-2}\right.%%

%%0\;=\;\left(3+x\right)^2-2%%

Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.

%%0\;=\;x^2+6x+9-2%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

%%0\;=\;x^2+6x+7%%

Diskriminante berechnen.

D %%=\;6^2-4\cdot1\cdot7=36-28=8%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%8>0\;%%

daher 2 Lösungen

%%0\;=\;x^2+6x+7%%

In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.

%%x_{1,2}\;=\;\frac{-6\pm\sqrt8}{2\cdot1}%%

%%x_1%% und %%x_2%% berechnen.

%%x_1\;=\;\frac{-6+2\sqrt2}2=\;-3+\sqrt2%%

%%x_2\;=\;\frac{-6-2\sqrt2}2=\;-3-\sqrt2%%

L %%=%% %%\left\{-3+\sqrt2;\;-3-\sqrt2\right\}%%

Graphen zeichnen

 

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1659.xmlGeogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1665.xml

%%-x^2-2=0,25+9x%%

Quadratische Gleichung lösen

Artikel zum Thema

%%-\mathrm x^2-2=0,25+9\mathrm x%% .

Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist .

%%0=\mathrm x^2+9x+2,25%%

Setze in die Mitternachtsformel ein.

%%{\mathrm x}_{1/2}=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot2,25}}2%%

Rechne %%x_1%% und %%x_2%% aus.

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1=-0,257\\{\mathrm x}_2=-8,74\end{array}%%

%%L=\left\{-0,257;-8,74\right\}%%

%%2x+x+16=0%%

Lösungen von Gleichungen

Artikel zum Thema

%%2x+x+16=0%%

(Achtung lineare Gleichung!)

%%3x+16=0%%

%%3x=-16%%

%%x=\frac{-16}3%%

%%x=-5\frac13=-5,\overline3%%

Graphen zeichen

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2010_W6Rom8bPNh.xml

%%x^2+\sqrt2x-1=0%%

Lösung mit Hilfe der pq-Formel:

Artikel zum Thema

%%x^2+\sqrt2x-1=0%%

Die Gleichung liegt in der Normalform vor.

%%x^2+\mathrm{px}+p%%

mit %%\;\;p=\sqrt2%% und %%q=-1%%

Nach der p,q - Formel gilt:

%%x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}%%

Einsetzen der Werte

%%x_{1,2}=-\frac{\sqrt2}{2\;}\pm\sqrt{(\frac{\sqrt2}{2\;})^2+1}%%

Vereinfachen der Wurzel

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac12+1}=-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac32}\end{array}%%

%%x_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\;\;\;\;\;\vee\;\;x_2=-\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}%%

%%x^2-x=x-x^2%%

Quadratische Gleichung

Artikel zum Thema

%%x^2-x=x-x^2%%

%%\begin{array}{l}\left|-\right.x\\\left|+\right.x^2\end{array}%%

%%x^2-x-x+x^2=0%%

Gleiches zusammenfassen.

%%2x^2-2x=0%%

%%x\left(2x-2\right)=0%%

%%\begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1=0\;\;\\\Rightarrow\;x_2=1\end{array}%%

Gib jeweils eine quadratische Gleichung mit der angegebenen Eigenschaft an.

Zu text-exercise-group 5707:
Nish 2017-10-28 17:37:24
Hallo zusammen,
Diese Aufgabe muss komplett nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien überarbeitet werden.
LG,
Nish
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Die Gleichung hat keine Lösungen.

Gleichung aufstellen

Artikel zum Thema

Damit die Gleichung keine Lösung hat muss eine unwahre Aussage entstehen.

Dies geschieht beispielsweise bei allen Gleichungen, auf deren einer Seite %%x^2%% und auf deren anderen eine negative Zahl steht.

Beispielsweise:

%%x^2\;=\;-1%%

Löse die folgenden Gleichungen.

Zu text-exercise-group 29322:
Nish 2018-10-04 12:54:36
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%\left(x-2\right)^2=16%%

%%\left(x-2\right)^2=16%%

Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.

%%\sqrt{\left(x-2\right)^2}=\sqrt{16}%%

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!

%%\left|x-2\right|=4%%

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten.
Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragstrichen stehen, 4 ergeben. Nämlich 4 und -4

1. Fall
%%x-2=4%%

%%|+2%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=6%%

2. Fall
%%x-2=-4%%

%%|+2%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=-2%%

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 6 und -2.
Die Lösungsmenge ist dann %%L=\{-2;6\}%%

%%\left(x+3\right)^2=25%%

%%\left(x+3\right)^2=25%%

Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.

%%\sqrt{\left(x+3\right)^2}=\sqrt{25}%%

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!

%%\left|x+3\right|=5%%

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten.
Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 5 ergeben. Nämlich 5 und -5.

1. Fall
%%x+3=5%%

%%|-3%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=2%%

1. Fall
%%x+3=-5%%

%%|-3%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=-8%%

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 2 und -8.
Die Lösungsmenge ist dann %%L=\{-8;2\}%%

%%\left(x+8\right)^2=36%%

%%\left(x+8\right)^2=36%%

Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.

%%\sqrt{\left(x+8\right)^2}=\sqrt{36}%%

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!

%%\left|x+8\right|=6%%

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten.
Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 6 ergeben. Nämlich 6 und -6.

1. Fall
%%x+8=6%%

%%|-8%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=-2%%

2. Fall
%%x+8=-6%%

%%|-8%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=-14%%

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen -2 und -14.
Die Lösungsmenge ist dann %%L=\{-2;-14\}%%

%%\left(x-1\right)^2=10%%

%%\left(x-1\right)^2=10%%

Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.

%%\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\sqrt{10}%%

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!

%%\left|x-1\right|=\sqrt{10}%%

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten.
Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, %%\sqrt{10}%% ergeben. Nämlich %%\sqrt{10}%% und %%-\sqrt{10}%%

1. Fall
%%x-1=\sqrt{10}%%

%%|+1%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=1+\sqrt{10}%%

2. Fall
%%x-1=-\sqrt{10}%%

%%|+1%%

Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%x=1-\sqrt{10}%%

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen %%1+\sqrt{10}%% und %%1-\sqrt{10}%%.
Die Lösungsmenge ist dann %%L=\{1+\sqrt{10} ; 1-\sqrt{10}\}%%

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