Aufgaben zu Bruchgleichungen

1
Löse folgende Bruchgleichung $\frac{1570}{x} = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Definitionsmenge bestimmen
Der Nenner darf nie 0 werden! Daher muss $x = 0$ ausgeschlossen werden.
$D = ℚ \ {0}$
Bruchgleichung lösen
Bei dieser Aufgabe musst du nur das $x$ auf die andere Seite bringen. Da $x$ im Nenner steht, musst du mit $x$ multiplizieren
$\frac{1570}{x} = 4$
Mit $x$ multiplizieren.
$1570 = 4 \cdot x$
Durch 4 dividieren.
$x = \frac{1570}{4} = 392,5$
Da $392,5$ in der Definitionsmenge liegt, ist dies die Lösung der Bruchgleichung.

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}$

$\frac{2}{x - 2} - 2 = \frac{1}{4 - 2 x}$

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x - 1}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1,3}$ .

$\frac{2}{5 x + 15} = \frac{1}{10}$
Mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Lösen der Bruchgleichung
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.
Hauptnenner finden
Suche zunächst nach dem Hauptnenner.
Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\frac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\frac{2}{5 x + 15}$ ist $5 x + 15$ .
Man bekommt die faktorisierten Bausteine:
$[10] = [2] \cdot [5]$
$[5 x + 15] = [5] \cdot [x + 3]$
Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.
Es ergibt sich für den Hauptnenner:
$[2] \cdot [5] \cdot [x + 3] = 10 (x + 3)$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
$=$ $\frac{4}{10 (x + 3)}$
$\frac{1}{10} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$
Gleichung bruchtermfrei machen
Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{1}{10}$
↓
Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$ $\cdot 10 (x + 3)$
↓
mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$ $=$ $x + 3$
Bruchtermfreie Gleichung lösen
Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.
$4$ $=$ $x + 3$ $- 3$
$x$ $=$ $1$
$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {1}$ .
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$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x = \frac{1}{x - 1} + 2$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Bringe zuerst beide Terme auf jeweils einen Bruch.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x}{x - 1}$
$\frac{1}{x - 1} + 2$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
$=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
Die Gleichung lässt sich auf $\frac{3 x}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ vereinfachen.
Beide Bruchterme haben als Nenner $x - 1$ , also ist dieser auch der Hauptnenner.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + 2$
↓
Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$ $=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
↓
Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$ $=$ $2 x - 1$ $- 2 x$
$x$ $=$ $- 1$
$- 1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist $𝕃 = {- 1}$ .
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$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x} = \frac{1}{4}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3,0}$ .

4
Löse die folgende Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$\frac{7}{x} = \frac{1}{3 \cdot x} - \frac{5 x}{x \cdot (x + 1)}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Tipp: Hier kann dir der Artikel Bruchgleichungen lösen helfen. Wenn du dir noch unsicher bist, dann schau mal in den Kurs Bruchgleichungen rein.
Bruchgleichungen lösen
In dieser Lösung wirst du Wissen aus den Artikeln Über Kreuz multiplizieren und Buchgleichungen lösen brauchen.
Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:
$\frac{7}{x} = \frac{1}{3 \cdot x} - \frac{5 x}{x \cdot (x + 1)}$ .
Definitionsmenge bestimmen
Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.
Wie du dich vielleicht erinnerst, entsteht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$ :
Nenner des ersten Bruchs
$x = 0$
Also wird dieser Nenner $0$ für $x = 0$
Der Nenner des zweiten Bruchs
$3 \cdot x = 0$
$| : 3$
$x = 0$
Also wird dieser Nenner $0$ für $x = 0$
Der Nenner des dritten Bruchs
$x \cdot (x + 1) = 0$
Diese Gleichung gilt, wenn entweder $x = 0$ oder $x + 1 = 0$ .
Also ist der Nenner des zweiten Bruchs genau dann gleich $0$ , wenn entweder $x = 0$ oder $x = - 1$ .
Du erkennst also, dass hier $0$ und $- 1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Insgesamt ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung $D = ℚ \ {0, - 1}$ .
Gleichung bruchterm-frei machen
Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, indem man Über Kreuz multipliziert.
Der erste Schritt ist beide Seiten der Gleichung auf jeweils einen gleichen Nenner zu bringen:
$\frac{7}{x} = \frac{1}{3 \cdot x} - \frac{5 \cdot x}{x \cdot (x + 1)}$
$\frac{7}{x} = \frac{x + 1}{3 \cdot x \cdot (x + 1)} - \frac{3 \cdot 5 \cdot x}{3 \cdot x \cdot (x + 1)}$
Jetzt subtrahierst du die beiden Brüche auf der rechten Seite der Bruchgleichung voneinander:
$\frac{7}{x} = \frac{x + 1 - 3 \cdot 5 \cdot x}{3 \cdot x \cdot (x + 1)}$
$\frac{7}{x} = \frac{- 14 \cdot x + 1}{3 \cdot x \cdot (x + 1)}$
Dann multplizierst du die Gleichung mit den beiden Nennern der Brüche:
$\frac{7}{x} = \frac{- 14 \cdot x + 1}{3 \cdot x \cdot (x + 1)}$
$| \cdot 3 \cdot x \cdot (x + 1)$ und $\cdot x$
$7 \cdot 3 \cdot x \cdot (x + 1) = x \cdot (- 14 \cdot x + 1)$
Hier teilt man durch $x$ . Dies darf man, da $x = 0$ nicht in der Definitionsmenge liegt.
$7 \cdot 3 \cdot x \cdot (x + 1) = x \cdot (- 14 \cdot x + 1)$
$| : x$
$7 \cdot 3 \cdot (x + 1) = - 14 \cdot x + 1$
Als letzter Schritt löst du nach x auf:
$21 \cdot x + 21 = - 14 \cdot x + 1$
$| + 14 \cdot x - 21$
$35 \cdot x = - 20$
$| : 35$
$x = - \frac{20}{35} = - \frac{4}{7}$
Also ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung $L = {- \frac{4}{7}}$ und die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {0, - 1}$ .
5
Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - 6 (\frac{2}{x} - 2)$
Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung
Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.
$x = 0$
Setze den Nenner $x$ gleich $0$ .
Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x = 0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x = 0$ und du siehst:
$D = ℚ \ {0}$
Gleichung bruchterm-frei machen
Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - 6 (\frac{2}{x} - 2)$
Multipliziere die Klammern aus.
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{12}{x} + 12$
Addiere $1$ auf beiden Seiten.
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = \frac{1}{2} - \frac{12}{x} + 12 + 1$
Vereinfache:
$\frac{1}{2} + 12 + 1 = 13,5$
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = - \frac{12}{x} + 13,5$
Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$ . Der einzige Baustein ist $x$ , daher ist auch der Hauptnenner $x$ . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = - \frac{12}{x} + 13,5$
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$ .
$7 + 8 = - 12 + 13,5 x$
Löse die bruchterm-freie Gleichung
Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.
$7 + 8 = - 12 + 13,5 x$
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$ .
$7 + 8 + 12 = 13,5 x$
Vereinfache den Term auf der linken Seite.
$27 = 13,5 x$
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $13,5$ .
$2 = x$
Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$ .
Angabe der Lösungsmenge
Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D = ℚ \ {0}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $𝕃 = {2}$ .
Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $𝕃 = {2}$ .
Versuche die Gleichung Bruchterm-frei zu machen. Dafür kannst du verschiedenen Methoden nutzen.
6
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$\frac{1}{x} = \frac{4}{2 x + 2} + \frac{1}{x + 1}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Bestimme zunächst die Definitionsmenge.Keiner der drei Nenner darf $0$ sein. Nicht erlaubt sind also:
$x = 0$
$2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1$
$x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
Es müssen also die $0$ und die $- 1$ ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge der Gleichung ist somit $D = ℚ ∖ {0, - 1}$ .
Nun zur Lösungsmenge. Versuche zunächst die Bruchgleichung durch Über-Kreuz-Multiplizieren auf eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung zu bringen. Danach kannst du die lineare Gleichung wie gewohnt lösen.
$\frac{1}{x} = \frac{4}{2 x + 2} + \frac{1}{x + 1}$
Klammere die $2$ aus, auf der rechten Seite der Bruchgleichung im ersten Nenner.
$\frac{1}{x} = \frac{4}{2 (x + 1)} + \frac{1}{x + 1}$
Kürze.
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$
Addiere.
$\frac{1}{x} = \frac{3}{x + 1}$
Über-Kreuz-Multiplizieren
$1 (x + 1) = 3 x$
Ausmultiplizieren.
$x + 1 = 3 x$
Subtrahiere x.
$1 = 2 x$
Dividiere durch 2.
$x = \frac{1}{2}$
Da $\frac{1}{2}$ in der Definitionsmenge enthalten ist, ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{1}{2}}$ .
7
Bestimme die Definitionsmenge und Lösungsmenge der Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$- \frac{1}{x} = 5 + \frac{1}{x}$

Tipp: Für die bestimmung der Definitionsmenge musst du explizit die Nenner anschauen.
Versuche Überkreuz zu multiplizieren.
Die Idee ist die Bruchtermgleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine lineare Gleichung zu bringen. Dafür muss man zunächst die Definitionsmenge bestimmen und an geeigneter Stelle über Kreuz multiplizieren.
Bestimme also zunächst die Definitionmenge. Sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ist der Nenner der Terme $x$ .
Man darf also die $0$ nicht einsetzen.Für die Definitionsmenge gilt: $D = ℚ \ {0}$ .
Nun zur Lösungsmenge:
Versuche zunächst die Gleichung Bruchfrei zu machen.
$- \frac{1}{x} = 5 + \frac{1}{x}$
Auf den gleichen Nenner bringen
$- \frac{1}{x} = \frac{5 x}{x} + \frac{1}{x}$
Addiere
$- \frac{1}{x} = \frac{5 x + 1}{x}$
Überkreuzmultiplizieren
$- x = 5 x^{2} + x$
$| : x$ (Man darf durch $x$ teilen, weil $0$ nicht in der Definitionsmenge ist)
$- 1 = 5 x + 1$
$| - 1$
$- 2 = 5 x$
$| : 5$
$x = - \frac{2}{5}$
$- \frac{2}{5}$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung.Es gibt keine weiteren Lösungen.
Also ist die Lösungsmenge $𝕃$ der Gleichung $𝕃 = {- \frac{2}{5}}$ .

Löse die Bruchgleichung.

\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3} = \frac{6}{6 + 2 x} - \frac{3}{6 - 3 x}

9
Bestimme die Definitionsmenge.
Hinweis zum Eingabefeld: Im Eingabefeld musst du nur die Zahl(en) eingeben, die nicht in der Definitionsmenge enthalten sind. Gib die Zahlen nur durch ein Leerzeichen getrennt ein (also kein Komma oder ähnliches), und ordne sie der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge (das heißt, beginne mit der kleinsten).
1. $\frac{2}{x} + 3 = \frac{5}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Finde die Definitionslücken. Setze hierfür den Nenner des Bruchs gleich $0$ .
  $x = 0$
  Du kannst erkennen, dass hier der Nenner $0$ wird, wenn $x = 0$ ist.
  Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
  $D = ℚ \ {0}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $ℚ$ ohne die Zahl $0$ .
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2. $\frac{2 + x}{x - 1} = \frac{3 + 2 x}{x + 1} - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Finde die Definitionslücken. Setze hierfür die Nenner beider Brüche gleich $0$ .
  $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
  $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$
  Du kannst erkennen, dass der Nenner $0$ wird für $x = 1$ und $x = - 1$ .
  Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
  $D = ℚ \ {- 1, 1}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $ℚ$ ohne die Zahl $- 1$ und die Zahl $1$ .
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3. $\frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x^{2} - 2 x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Definitionsmenge
  Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Definitionslücke ist und wie du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmst.
  Finde die Definitionslücken. Setzte den Nenner beider Brüche gleich $0$ .
  1. Bruch:
  $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
  2. Bruch:
  Hier brauchst du einen Trick! Klammere aus und prüfe, wann einer der beiden Faktoren gleich $0$ wird.
  $x^{2} - 2 x = 0$
  Klammere $x$ aus.
  $x \cdot (x - 2) = 0$
  Du musst jetzt prüfen, wann einer der beiden Faktoren $0$ wird. Setze sie jeweils gleich $0$ .
  $x = 0$
  $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
  Du kannst erkennen, dass der Nenner des zweiten Bruchterms $0$ wird für $x = 0$ und $x = 2$ und der erste Bruchterm $0$ wird für $x = 3$ .
  Schließe die Definitionslücken aus der Definitionsmenge aus.
  $D = ℚ \ {0, 2, 3}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $ℚ$ ohne die Zahlen $0$ , $2$ und $3$ .
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10
Welche Zahlen sind nicht in der Definitionsmenge der Bruchgleichung enthalten?
1. $- 4$
  $0$
  $- 2$
  $0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen
  Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
  Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Definitionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge herausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote. In diesem Beispiel sind für $x = 0$ beide Terme nicht definiert. Für $x = - 4$ ist $g$ definiert, aber $f$ nicht. Für die Definitionsmenge müssen alle diese Definitionslücken entfernt werden.
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2. $3$
  $1$
  $0$
  $- 4$
  $- 1$
  $- 2$
  $2$
  $4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen
  Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
  Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Defintionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge rausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote. In diesem Beispiel erkennt man senkrechte Asymptoten bei $- 4, - 1,0,1,3$ . Diese müssen alle aus der Definitionsmenge rausgenommen werden.
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11
Warum muss man die Zahl $- 2$ aus der Definitionsmenge der folgendenen Gleichung ausschließen?
$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 4} = 3$
(Hinweis: Du musst die Lösungsmenge nicht bestimmen!)
Weil sonst im Nenner $0$ steht. Durch $0$ darf man nicht teilen.
Weil die Gleichung dann keine Lösung hat.
$- 2$ ist eine Lösung der Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücken
Bei Brüchen kann es Probleme mit der Definitionsmenge geben, wenn der Nenner des Bruches 0 wird. Setze deshalb $- 2$ in den Nenner auf der linken Seite ein:
$(- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$
Da der Nenner des Bruches $0$ wird, muss man die $- 2$ aus der Definitionsmenge ausschließen.
12
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.
1. $\frac{1}{x} + 2 = \frac{9}{x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{1}{x} + 2$ $=$ $\frac{9}{x}$ $- \frac{1}{x}$
  $2$ $=$ $\frac{8}{x}$ $\cdot x$
  $2 x$ $=$ $8$ $: 2$
  $x$ $=$ $4$
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2. $\frac{2 x + 4}{8} = \frac{8 x - 7}{20}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{2 x + 4}{8}$ $=$ $\frac{8 x - 7}{20}$ $\cdot 20; \cdot 8$
  $40 x + 80$ $=$ $64 x - 56$ $+ 56 - 40 x$
  $136$ $=$ $24 x$ $: 24$
  $x$ $=$ $\frac{17}{3}$
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3. $\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11} = \frac{27}{22}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11}$ $=$ $\frac{27}{22}$
  ↓
  Brüche auf der linken Seite multiplizieren
  $\frac{2 x}{99}$ $=$ $\frac{27}{22}$ $\cdot 99; \cdot 22$
  $44 x$ $=$ $27 \cdot 99$ $: 44$
  $x$ $=$ $60,75$
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4. $\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21} = 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
  ↓
  $\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21}$ $=$ $6$ $\cdot x$
  $\frac{15 \cdot 12}{21}$ $=$ $6 x$ $: 6$
  $\frac{15 \cdot 12}{21 \cdot 6}$ $=$ $x$
  ↓
  vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
  $x$ $=$ $\frac{10}{7}$
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Beim Lösen einer Gleichung der Form $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ist das Gleiche wie $a \cdot d = b \cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$2 x + 1 = 0$
$2 - x = 0$
Erste Gleichung lösen!
$2 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$2 x$ $=$ $- 1$ $: 2$
$x$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Zweite Gleichung lösen!
$2 - x$ $=$ $0$ $- 2$
$- x$ $=$ $- 2$ $: (- 1)$
$x$ $=$ $2$
Daher müssen die Zahlen $- \frac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 0,5; 2}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Über-Kreuz-Multiplizieren! $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = c \cdot b$
$\frac{3}{2 x + 1}$ $=$ $\frac{2}{2 - x}$ $\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $2 \cdot (2 x + 1)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$ $=$ $4 x + 2$ $- 2 + 3 x$
↓
Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$ $=$ $7 x$ $: 7$
$\frac{4}{7}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x = \frac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{4}{7}}$ .
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$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$3 + x = 0$
$2 x - 3 = 0$
Löse die erste Gleichung!
$3 + x$ $=$ $0$ $- 3$
$x$ $=$ $- 3$
Löse die zweite Gleichung!
$2 x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$2 x$ $=$ $3$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{3}{2}$
Daher müssen die Zahlen $- 3$ und $\frac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 3, \frac{3}{2}}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{x - 2}{3 + x}$ $=$ $\frac{2 x}{2 x - 3}$ $\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$ $=$ $2 x \cdot (3 + x)$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$
↓
Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$ $- 2 x^{2} + 7 x$
$6$ $=$ $13 x$ $: 13$
$\frac{6}{13}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x = \frac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{6}{13}}$ .
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$1 + \frac{2}{2 x - 1} = \frac{x}{x + 2}$

14
Löse die Bruchgleichung:
$\frac{2 + x}{1 - x} = \frac{3 x}{2 - 3 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.
$\frac{2 + x}{1 - x} = \frac{3 x}{2 - 3 x}$
Kein Nenner darf $0$ werden.
$1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$2 - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$
Damit lautet die Definitionsmenge: $D = ℚ \ {\frac{2}{3},1}$
Bruchgleichung lösen
Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.
$\frac{2 + x}{1 - x}$ $=$ $\frac{3 x}{2 - 3 x}$ $\cdot (1 - x) \cdot (2 - 3 x)$
$(2 + x) \cdot (2 - 3 x)$ $=$ $3 x \cdot (1 - x)$
↓
Ausmultiplizieren.
$4 - 6 x + 2 x - 3 x^{2}$ $=$ $3 x - 3 x^{2}$
$4 - 4 x - 3 x^{2}$ $=$ $3 x - 3 x^{2}$ $+ 3 x^{2}$
$4 - 4 x$ $=$ $3 x$ $+ 4 x$
$4$ $=$ $7 x$ $: 7$
$x$ $=$ $\frac{4}{7}$
Da $\frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:
$𝕃 = {\frac{4}{7}}$
15
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung.
$\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?
Definitionsmenge bestimmen
Beide Nenner nehmen für $x = 1$ den Wert $0$ an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die $1$ aus der Definitionsmenge ausschließen.
Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:
$D = ℚ \ {1}$ .
Bruchgleichung lösen
Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.
$\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ .
$| \cdot (x - 1)$
$\frac{x (x - 1)}{x - 1} = \frac{1 (x - 1)}{x - 1}$ .
Kürzen.
$x = 1$
$1$ ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.
Also ist $1$ keine Lösung der Gleichung.
An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge $𝕃 = \emptyset$ .
$f (x) = \frac{x}{x - 1}$
$g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .
16
Handelt es sich um eine Bruchgleichung?
1. $\frac{2}{x + 3} + 3 = 15$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem ist ein Bruch enthalten, nämlich $\frac{2}{x + 3}$ und dieser hat eine Variable im Nenner.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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2. $\frac{25 x}{x^{2} - 4} + 35$
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Hier kannst du erkennen, dass keine Gleichung vorliegt, da kein " $=$ " vorhanden ist.
  Folglich musst du die anderen Merkmale garnicht mehr prüfen.
  Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.
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3. $\frac{x}{4 x - 5} = \frac{x^{2}}{7 x - 4} + 3$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem sind die Brüche $\frac{x}{4 x - 5}$ und $\frac{x^{2}}{7 x - 4}$ enthalten, welche eine Variable $x$ im Nenner haben.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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4. $\frac{2 x^{2} - x}{4} = \frac{5 x - 3}{34}$
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Hinsehen kannst du erkennen, dass eine Gleichung vorliegt.
  Eigenschaft $2$
  Zudem sind die Brüche $\frac{2 x^{2} - x}{4}$ und $\frac{5 x - 3}{34}$ vorhanden.
  Eigenschaft $3$
  Vorsicht! Keiner der Brüche hat eine Variable im Nenner.
  Eine der Eigenschaften ist nicht erfüllt und somit handelt es sich nicht um eine Bruchgleichung.
  Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.
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5. $31 + \frac{2 x - 1}{x^{3} + 2} = \frac{2}{x}$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem sind Brüche, nämlich $\frac{2}{x}$ und $\frac{2 x - 1}{x^{3} + 2}$ , vorhanden. Diese haben ebenfalls eine Variable im Nenner.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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17
Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung mit Hilfe der Grafik!
1. $\frac{5}{x + 1} = - \frac{15}{x - 3}$
  $𝕃 = {0}$
  $𝕃 = {5}$
  $𝕃 = {0; 5}$
  $𝕃 = \emptyset$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen
  Die Lösung der Gleichung ist die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts!Die zwei Graphen haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt also gibt es genau eine Lösung! Dieser Schnittpunkt liegt bei $(0 | 5)$ . Also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {0}$ .
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  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten aller Schnittpunkte
2. $\frac{4 x}{x^{2} - 1} = 1 + \frac{1}{x^{2} - 1}$
  $𝕃 = {0; 4}$
  $𝕃 = {1; 4}$
  $𝕃 = {0}$
  $𝕃 = {4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen
  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen. Hier gibt es genau zwei Schnittpunkte, nämlich $(0 | 0)$ und $(4 | \frac{16}{15})$ . Also besteht die Lösungsmenge $𝕃 = {0,4}$ .
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  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte!

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{2 x - 4}$

19
Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:
$3 + \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$
(Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren
Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.
Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $0$ setzen.
Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.
Bruchgleichungen
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst
die Definitionsmenge bestimmen, und
die Gleichung bruchtermfrei machen.
Definitionsmenge
Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $0$ werden:
$x = 0$
$x + 1 = 0$
Für $x = 0$ und $x = - 1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.
Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D = ℚ \ {- 1; 0}$ , falls die Grundmenge $ℚ$ ist, und $D = ℝ \ {- 1; 0}$ , falls die Grundmenge $ℝ$ ist.
Umformen in bruchtermfreie Gleichung
Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.
$3 + \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$
Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $3 + \frac{1}{x}$ auf einen Nenner.
Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.
$3 + \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$
Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $3 + \frac{1}{x}$ auf einen Nenner.
$\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$
Addiere
$\frac{3 x + 1}{x} = \frac{2}{x + 1}$
Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.
$(3 x + 1) \cdot (x + 1) = 2 \cdot x$
Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $0$ und $- 1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $0$ multipliziert.
Somit ist $(3 x + 1) \cdot (x + 1) = 2 \cdot x$ äquivalent zu $3 + \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$ .
Lösung der bruchtermfreien Gleichung
(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)
$(3 x + 1) \cdot (x + 1) = 2 \cdot x$
$3 x^{2} + 3 x + x + 1 = 2 x$
Klammer ausmultiplizieren
$3 x^{2} + 4 x + 1 = 2 x$
linke Seite zusammenfassen
$3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.
$D = {(2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1$
$= 4 - 12$
$= - 8$ $\Rightarrow - 8 < 0$
Diskriminante berechnen.
$𝕃 = {}$
Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!
20
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Zeichne die Graphen zu den Termen $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ und $g (x) = \frac{1}{3} x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Zeichnung
Bestimmung der Nullstelle
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\to$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $x = 0$ .
$\Rightarrow x_{N} = 0$
Der Graph hat bei $x_{N} = 0$ eine Nullstelle.
x-Wert mit $f (x) = - 3$
Setze $f (x) = - 3$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $- 3$ $\cdot (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$x$ $=$ $- 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$x$ $=$ $- 3 x + 6$ $+ 3 x$
$4 x$ $=$ $6$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{6}{4} = 1,5$
Für $x = 1,5$ nimmt $f (x)$ den Wert $- 3$ an.
Bestimmung der Schnittpunkte
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$ , $g (x) = \frac{x}{3}$
Setze $f (x)$ und $g (x)$ gleich.
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $\frac{x}{3}$ $\cdot 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$3 x$ $=$ $x (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$3 x$ $=$ $x^{2} - 2 x$ $- 3 x$
$x^{2} - 5 x$ $=$ $0$
↓
Klammer x aus.
$x (x - 5)$ $=$ $0$
Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
$\Rightarrow$ $x_{S 1} = 0 x_{S 2} = 5$
Setze $x_{S 2}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y_{S 2} = \frac{5}{3}$
$\Rightarrow S_{1} (0 | 0); S_{2} (5 | \frac{5}{3})$
In der Definitionsmenge von $f (x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g (x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.
Daher ist die Lösungsmenge: $L = {0; 5}$
21
Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion
1. Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen $y = \frac{x - 2}{1 + x}$ und $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .
  Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x - 2}{1 + x} = - \frac{1}{2} x + 1$ .
  Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
  Schnittpunkte von Funktionen
  $\frac{x - 2}{1 + x} = - \frac{1}{2} x + 1$
  Die Lösungsmenge der Gleichung repräsentiert die x-Werte, bei denen sich die Funktionen schneiden.
  $L = {- 3; 2}$
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2. Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x - 2}{1 + x} = - 1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  $\frac{x - 2}{1 + x}$ $=$ $- 1$
  ↓
  An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $- 1$ hat, ist der x-Wert $0,5$
  $x$ $=$ $0,5$
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22
Zeichne die Graphen der Funktionen $f : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$ und $f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
$f_{} : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$
$f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Der Schnittpunkt liegt bei $(1 | 1)$ .
Rechnung
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
$\frac{3}{2 + x}$ $=$ $\frac{1}{2 - x}$
↓
Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $1 \cdot (2 + x)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$ $=$ $2 + x$ $- 2 + 3 x$
↓
Nach $x$ auflösen.
$ 4$ $=$ $4 x$ $: 4$
$x$ $=$ $1$
Einsetzen von $x = 1$ in einen der Funktionsterme, z.B. in $f_{1} (x)$ :
$y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
Also wurde auch rechnerisch gezeigt, dass der Schnittpunkt bei $(1 | 1)$ liegt.
23
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:
$x + 1 + \frac{4 x + 4}{(x + 1)^{2}} - \frac{x^{3} + x^{2}}{x (x + 1)} = \frac{x^{2} + 4 x}{(x + 4) (x + 1)} + \frac{5 x + 15}{(x + 1) (x + 3)}$
Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an. Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.
Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.
$D = ℚ \ {- 4, - 3, - 1,0}$
Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:
$\frac{4 x + 4}{(x + 1)^{2}} = \frac{4 \cdot (x + 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{4}{x + 1}$
$\frac{x^{2} + 4 x}{(x + 4) (x + 1)} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(x + 4) (x + 1)} = \frac{x}{x + 1}$
$\frac{5 x + 15}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{5 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{5}{(x + 1)}$
$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x + 1)} = \frac{x^{2} (x + 1)}{x (x + 1)} = x$
Dies ergibt dann:
$x + 1 + \frac{4 x + 4}{(x + 1)^{2}} - \frac{x^{3} + x^{2}}{x (x + 1)} = \frac{x^{2} + 4 x}{(x + 4) (x + 1)} + \frac{5 x + 15}{(x + 1) (x + 3)}$
$\Rightarrow x + 1 + \frac{4}{x + 1} - x = \frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1}$
$\Rightarrow x + 1 + \frac{4}{x + 1} - x = \frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1}$
$| - \frac{4}{x + 1}$
$\Rightarrow x + 1 - x = \frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1} - \frac{4}{x + 1}$
Gleicher Nenner
$\Rightarrow x + 1 - x = \frac{x + 5 - 4}{x + 1}$
Auf beiden Seiten Kürzen
$\Rightarrow 1 = 1$
Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge $𝕃$ , die Definitionsmenge, also $𝕃 = D = ℚ \ {- 4, - 3, - 1,0}$ . Denn jedes $x \in D$ ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von $x$ ist.
Vorsicht
Für die Zahlen $- 4, - 3, - 1,0$ , die wir aus der Definitionsmenge entfernt haben, ist die Gleichung weiterhin nicht definiert, obwohl sich der Nenner kürzen lässt.
24
Gegeben ist folgende Bruchgleichung:
$\frac{5}{x + 3} - \frac{- 6}{x^{2} - 9} = \frac{3}{x - 3}$
Bestimme die Lösungsmenge!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Tipp: 3.Binomische Formel $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Bruchgleichungen lösen
Um diese Aufgabe zu lösen, könnten dir die Artikel Binomische Formeln und Bruchgleichungen lösen helfen.
Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:
$\frac{5}{x + 3} - \frac{- 6}{x^{2} - 9} = \frac{3}{x - 3}$
Definitionsmenge bestimmen:
Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du sogenannte Definitionslücken der Bruchgleichung finden. Eine Lücke entsteht, sobald der Nenner eines Bruchs 0 wird. Man darf nämlich nicht durch 0 teilen.
Die Definitionsmenge ist also: $𝔻 = {- 3,3}$
Der erste Nenner ist für x = -3, der zweite Nenner ist für x = -3 und x = 3 und der dritte Nenner ist für x = 3 nicht definiert. Daraus ergibt sich die Definitionsmenge.
Gleichung auflösen
$\frac{5}{x + 3} - \frac{- 6}{x^{2} - 9} = \frac{3}{x - 3}$
$| \cdot (x + 3) (x - 3)$
$\frac{5 (x + 3) (x - 3)}{x + 3} - \frac{- 6 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 9} = \frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$
Kürze die Brüche.
$5 \cdot (x - 3) - \frac{- 6 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 9} = 3 \cdot (x + 3)$
Löse den Bruch auf.
$5 x - 15 - (- 6) = 3 x + 9$
Löse die Klammer auf
$5 x - 15 + 6 = 3 x + 9$
und forme die Gleichung geeignet um!
$5 x - 3 x = 9 + 15 - 6$
$2 x = 18$
$| : 2$
$x = 9$
Die Lösungsmenge ist somit $𝕃 = {9}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}$	$=$	$\frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\frac{2 (x + 1)}{x^{2} (x + 1)} + \frac{x^{2}}{x^{2} (x + 1)}$	$=$	$\frac{x (x + 1)}{x^{2} (x + 1)}$	$\cdot x^{2} (x + 1)$
$2 (x + 1) + x^{2}$	$=$	$x (x + 1)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$2 x + 2 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + x$	$- x^{2} - x$
$x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$x$	$=$	$- 2$

$\frac{2}{x - 3}$	$=$	$\frac{3}{x - 1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x - 3) (x - 1)$
$\frac{2 (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)}$	$=$	$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)}$	$\cdot (x - 3) (x - 1)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$2 {(x - 1)}_{}$	$=$	$3 (x - 3)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 x - 2$	$=$	$3 x - 9$	$- 2 x + 9$
$x$	$=$	$7$

$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{6}{6 + 2 x} - \frac{3}{6 - 3 x}$
	↓	Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon.
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{6}{2 \cdot (3 + x)} - \frac{3}{3 \cdot (2 - x)}$
	↓	kürzen
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{3}{3 + x} - \frac{1}{2 - x}$
	↓	Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen.
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{3}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}$

$\frac{5}{2 - x}$	$=$	$\frac{x}{2 x - 4}$	$\cdot (2 - x) \| \cdot (2 x - 4)$
$5 \cdot (2 x - 4)$	$=$	$x \cdot (2 - x)$
	↓	Ausmultiplizieren
$10 x - 20$	$=$	$2 x - x^{2}$
	↓	Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen.
$x^{2} + 8 x - 20$	$=$	$0$
	↓	Mit der Mitternachtsformel lösen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 8 \pm 12}{2}$
	↓	Beide Werte für $x$ ausrechnen
$x_{1}$	$=$	$2$
$x_{2}$	$=$	$- 10$

$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{4 - 2 x}$
$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{- 2 (x - 2)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $- 2 (x - 2)$
$\frac{2 \cdot (- 2)}{(- 2) (x - 2)} + \frac{(- 2) (- 2) (x - 2)}{(- 2) (x - 2)}$	$=$	$\frac{1}{(- 2) (x - 2)}$	$\cdot (- 2) (x - 2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$- 4 + 4 \cdot (x - 2)$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 4 + 4 x - 8$	$=$	$1$
$- 12 + 4 x$	$=$	$1$	$+ 12$
$4 x$	$=$	$13$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{13}{4}$
$x$	$=$	$3,25$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
	$=$	$\frac{4}{10 (x + 3)}$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$	$=$	$\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$	$\cdot 10 (x + 3)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$	$=$	$x + 3$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x}{x - 1}$

$\frac{1}{x - 1} + 2$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + 2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$	$=$	$2 x - 1$	$- 2 x$
$x$	$=$	$- 1$

$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4 x (x + 3)$ erweitern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)} \cdot \frac{4}{4}$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$
	↓	Vereinfache
$\frac{10 x}{4 x (x + 3)} - \frac{4 - x^{2}}{4 x (x + 3)}$	$=$	$\frac{x (x + 3)}{4 x (x + 3)}$	$\cdot 4 x (x + 3)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$10 x - 4 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + 3 x$	$- x^{2} - 3 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$7 x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$7 x$	$=$	$4$	$: 7$
$x$	$=$	$\frac{4}{7}$

$2 \cdot (x + 3) + 4 \cdot (x - 2)$	$=$	$3 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (x + 3)$
	↓	Ausmultiplizieren
$2 x + 6 + 4 x - 8$	$=$	$3 x - 6 + x + 3$
	↓	Terme zusammenfassen
$6 x - 2$	$=$	$4 x - 3$	$+ 2 - 4 x$
$2 x$	$=$	$- 1$	$: 2$
$x$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x} + 2$	$=$	$\frac{9}{x}$	$- \frac{1}{x}$
$2$	$=$	$\frac{8}{x}$	$\cdot x$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

$\frac{2 x + 4}{8}$	$=$	$\frac{8 x - 7}{20}$	$\cdot 20; \cdot 8$
$40 x + 80$	$=$	$64 x - 56$	$+ 56 - 40 x$
$136$	$=$	$24 x$	$: 24$
$x$	$=$	$\frac{17}{3}$

$\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11}$	$=$	$\frac{27}{22}$
	↓	Brüche auf der linken Seite multiplizieren
$\frac{2 x}{99}$	$=$	$\frac{27}{22}$	$\cdot 99; \cdot 22$
$44 x$	$=$	$27 \cdot 99$	$: 44$
$x$	$=$	$60,75$

Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
	↓
$\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21}$	$=$	$6$	$\cdot x$
$\frac{15 \cdot 12}{21}$	$=$	$6 x$	$: 6$
$\frac{15 \cdot 12}{21 \cdot 6}$	$=$	$x$
	↓	vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
$x$	$=$	$\frac{10}{7}$

$\frac{3}{2 x + 1}$	$=$	$\frac{2}{2 - x}$	$\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$2 \cdot (2 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$	$=$	$4 x + 2$	$- 2 + 3 x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$	$=$	$7 x$	$: 7$
$\frac{4}{7}$	$=$	$x$

$\frac{x - 2}{3 + x}$	$=$	$\frac{2 x}{2 x - 3}$	$\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$	$=$	$2 x \cdot (3 + x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$	$- 2 x^{2} + 7 x$
$6$	$=$	$13 x$	$: 13$
$\frac{6}{13}$	$=$	$x$

$1 + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2 x - 1$ erweitern.
$\frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\frac{2 x - 1 + 2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	$\cdot (2 x - 1) (x + 2)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$(2 x + 1) \cdot (x + 2)$	$=$	$x \cdot (2 x - 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$2 x^{2} + 4 x + x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$2 x^{2} + 5 x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$	$- 2 x^{2} + x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$6 x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$6 x$	$=$	$- 2$	$: 6$
$x$	$=$	$- \frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$

$\frac{2 + x}{1 - x}$	$=$	$\frac{3 x}{2 - 3 x}$	$\cdot (1 - x) \cdot (2 - 3 x)$
$(2 + x) \cdot (2 - 3 x)$	$=$	$3 x \cdot (1 - x)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$4 - 6 x + 2 x - 3 x^{2}$	$=$	$3 x - 3 x^{2}$
$4 - 4 x - 3 x^{2}$	$=$	$3 x - 3 x^{2}$	$+ 3 x^{2}$
$4 - 4 x$	$=$	$3 x$	$+ 4 x$
$4$	$=$	$7 x$	$: 7$
$x$	$=$	$\frac{4}{7}$

$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$- 3$	$\cdot (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$x$	$=$	$- 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$x$	$=$	$- 3 x + 6$	$+ 3 x$
$4 x$	$=$	$6$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{6}{4} = 1,5$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$\frac{x}{3}$	$\cdot 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$3 x$	$=$	$x (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$3 x$	$=$	$x^{2} - 2 x$	$- 3 x$
$x^{2} - 5 x$	$=$	$0$
	↓	Klammer x aus.
$x (x - 5)$	$=$	$0$

$\frac{x - 2}{1 + x}$	$=$	$- 1$
	↓	An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $- 1$ hat, ist der x-Wert $0,5$
$x$	$=$	$0,5$

$\frac{3}{2 + x}$	$=$	$\frac{1}{2 - x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$1 \cdot (2 + x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$	$=$	$2 + x$	$- 2 + 3 x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$ 4$	$=$	$4 x$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

Aufgaben zu Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Lösungsmenge bestimmen

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Bruchgleichungen lösen

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Lösen der Bruchgleichung

Hauptnenner finden

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Gleichung bruchtermfrei machen

Bruchtermfreie Gleichung lösen

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Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen lösen

Definitionsmenge bestimmen

Nenner des ersten Bruchs

Der Nenner des zweiten Bruchs

Der Nenner des dritten Bruchs

Gleichung bruchterm-frei machen

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Gleichung bruchterm-frei machen

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Angabe der Lösungsmenge

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

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Definitionsmenge

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Zweite Gleichung lösen!

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Löse die erste Gleichung!

Löse die zweite Gleichung!

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Löse die erste Gleichung.

Löse die zweite Gleichung.

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Defintionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Alternative Lösung

Bruchgleichungen

Definitionsmenge

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

x-Wert mit $f (x) = - 3$