Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (4|5)

Betrachten wir nun eine Cosinusfunktion der Form $f(x)=a\cdot\cos\left(g(x)\right)$ mit $a\neq0$ , bei der das Argument $g(x)$ eine beliebige Funktion ist.

Da $a\neq0$ , brauchst du bei der Nullstellenbestimmung $a\cdot\cos\left(g(x)\right)=0$ also nur $\cos\left(g(x)\right)=0$ zu setzen. Wir wissen, dass beim Cosinus gilt: $\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Somit gilt zur Nullstellenbestimmung:

$\cos\left(g(x)\right)=\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

$\Rightarrow g(x)=(2k-1)\dfrac{\pi}{2}$

Löse diese Gleichung nach $x$ auf, um die Nullstellen von $f(x)$ zu erhalten.

Fazit

Um die Nullstellen der Cosinusfunktion zu bestimmen, muss man prüfen, wann ihr Argument ein ungerades Vielfaches von $\dfrac\pi2$ wird.

Beispiel

$f(x)=\cos(x^2-4\pi)=0$

Man weiß, dass $\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ .Setze das Argument der Cosinusfunktion also gleich $(2k-1)\dfrac{\pi}{2}$ und löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}x^2-4\pi&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}&|+4\pi\\x^2&=&\dfrac{(2k-1)\pi}{2}+4\pi&\text{auf Hauptnenner bringen} \\x^2&=&\dfrac{(2k-1)\pi+8\pi}{2}&\pi\;\text{ausklammern}\\x^2&=&\pi\cdot\dfrac{(2k-1)+8}{2}=\pi\cdot\dfrac{2k+7}{2}&\text{Bruch auftrennen}\\x^2&=&\pi\cdot\left(\dfrac{2k}{2}+\dfrac{7}{2}\right)=\pi\cdot\left(k+\dfrac{7}{2}\right)&|\sqrt{}\\x&=&\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}\end{array}$

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

$N=\left\{\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}\;|\;k\in \mathbb Z\right\}$

Da $k$ eine beliebige ganze Zahl ist, kann der Radikand sowohl positive, als auch negative Werte annehmen. Für einen negativen Radikanden gibt es allerdings keine reelle Lösung. Dass das Ergebnis dennoch stimmt, hat damit zu tun, dass die Funktion $f(x)=\cos (x^2-4\pi)$ reelle und komplexe Nullstellen hat.

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Fazit

Beispiel