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12Nullstellen von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat den Funktionsterm f(x)=baxf(x)=b\cdot a^x. Dabei ist a>0,  a1a>0,\;a\neq1 und b0b\neq0.

Da b0b\neq0, muss zur Bestimmung der Nullstelle x0x_0 gelten: ax0=0a^{x_0}=0. Jedoch gilt: ax>0a^x>0. Daraus folgt:

Eine Exponentialfunktion der Form baxb\cdot{a^x} besitzt keine Nullstellen.

Ausnahme

Wird eine Exponentialfunktion durch eine Konstante cc in yy-Richtung verschoben, kann es eine Nullstelle geben.

f(x)=bax+cf(x)=b\cdot{a^x}+c

0\displaystyle 0==bax0+c\displaystyle b\cdot{a^{x_0}}+cc\displaystyle -c
c\displaystyle -c==bax0\displaystyle b\cdot{a^{x_0}}:b\displaystyle :b
cb\displaystyle \dfrac{-c}{b}==ax0\displaystyle a^{x_0}ln()\displaystyle \ln()
ln(cb)\displaystyle \ln\left(\dfrac{-c}{b}\right)==ln(ax0)=x0ln(a)\displaystyle \ln(a^{x_0})=x_0\cdot\ln(a):ln(a)\displaystyle :\ln(a)
ln(cb)=ln(ax0)\displaystyle \ln\left(\dfrac{-c}{b}\right)=\ln(a^{x_0})==x0ln(a)\displaystyle x_0\cdot\ln(a):ln(a)\displaystyle :\ln(a)
ln(cb)ln(a)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{-c}{b}\right)}{\ln(a)}==x0\displaystyle x_0

Da ax0>0a^{x_0}>0 ist, muss für das Vorhandensein einer Nullstelle x0x_0 gelten:

wenn b>0b>0, dann c<0c<0.

wenn b<0b<0, dann c>0c>0.

  \;

Du kannst dir das noch nicht so gut vorstellen? Im folgenden Applet kannst du aa, bb und cc mit den Schiebereglern verändern und schauen, wie sich der Graph der Exponentialfunktion verhält.


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