Gemischte Aufgaben zur Volumenberechung

Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen $0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}$ soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b = 2a$ . Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 1{,}5a$ .

Berechne die Kantenlängen als Vielfache von $a$ .

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von $a^2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Bestimme die Länge der Diagonalen $d$ des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+\left(2a\right)^2$
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 5a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}a$

Das negative Ergebnis kannst du vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ d=\sqrt{5}a$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Berechne die Länge der Kante $k$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2$
	↓	Setze $d=\sqrt 5 a$ und $h=1{,}5a$ ein.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Das negative Ergebnis kannst du wieder vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ k=\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Oberfläche der Pyramide $O_\text{Pyramide}$ besteht aus der Fläche der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ . Die Grundfläche $G$ ist ein Rechteck. Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Dreiecksflächen, von denen je 2 der Dreicksflächen (und zwar die Gegenüberliegenden) gleich groß sind. Hier sind die Dreicksflächen als $m_1$ und $m_2$ bezeichnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcllc}O_\text{Pyramide}&=&G&+&M\\&=&G&+&2\cdot m_1+2\cdot m_2\end{array}$

Bestimme erstmal die Grundfläche $G$ .

$G=b\cdot a\\=2a\cdot a\\=2a^2$

Um die Mantelfläche zu bestimmen benötigst du die Höhen der Dreiecksflächen. Sie heißen hier $h_1$ und $h_2$ . Bestimme $h_1$ und $h_2$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle h_1^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle k^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_1$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{13}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_1\ =\ \frac{\sqrt{13}}{2}a$

$\displaystyle h_2^2+a^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle k^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_2$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{10}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_2\ =\ \frac{\sqrt{10}}{2}a$

Jetzt kannst du die Dreiecksflächen berechnen.

$m_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1\\=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}a\\=\frac{\sqrt{13}}{4}a^2$

$m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{2}\\=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a\\=\frac{\sqrt{10}}2a^2$

Jetzt lässt sich die Oberfläche bestimmen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}O_\text{Pyramide}&=&G+2\cdot m_1+2\cdot m_2\\&=&2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2\\&=&\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\\&\approx &6{,}97a^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt in etwa $6{,}97a^2$ .

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge a. Die Höhe der Pyramide beträgt 2a. Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Die Seitenkantenlänge $k$
Im gleichseitigen Dreieck gilt mit Pythagoras:
$h_a=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3\cdot a^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
$A_{\Delta_G}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$
Betrachte das Dreieck $ADS$ .
Die Seite $AD$ ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ .
Die Seitenhalbierenden (Höhen) schneiden sich im Verhältnis $2:1$ .
Für die Strecke $p$ gilt dann:
$p=\dfrac{2}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$
Für $q$ gilt: $q=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$
Im rechtwinkligen Dreieck $AHS$ ist
$h_P = 2a$ . Dann gilt wieder mit Pythagoras:
$k^2=p^2+h_P^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2+(2a)^2$
$k^2=\dfrac{1}{3}a^2+4a^2=\dfrac{13}{3}a^2$
$\Rightarrow\;k=\sqrt{\dfrac{13}{3}}a=\dfrac{\sqrt{39}}{3 }a$
Die Seitenkantenlänge $k$ ist:
Im rechtwinkligen Dreieck $HDS$ gilt:
$h_{\Delta}^2=h_P^2+q^2=(2a)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=4a^2+\dfrac{1}{12}a^2=\dfrac{49}{12}a^2$
$\Rightarrow\;h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{12}}a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}a=\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{6}a$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide:
$O_P=A_{\Delta_G}+3\cdot A_{\text{Seitenfläche}}$
$O_P=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2+3\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{6}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2+\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{8\cdot \sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}a^2$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist gleich:
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Gussteils.
Dichte: $\rho_{Guss\;}=7{,}25\frac{kg}{dm^3}$
Die Längen in der Zeichnung sind in $\mathrm {mm}$ angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_1=1{,}5\ \text{dm}\cdot1{,}5\ \text{dm}=2{,}25\ \text{dm}^2\\A_2=6{,}0\ \text{dm}\cdot2{,}5\ \text{dm}=15{,}00\ \text{dm}^2\end{array}$
Berechne nun die Gesamtfläche:
$A_{Ges}=A_1+A_2=2{,}25\ \text{dm}^2+15{,}00\ \text{dm}^2=17{,}25\ \text{dm}^2$
Als nächstes berechnest du das Volumen:
$V=A_{Ges}\cdot3\ \text{dm}=17{,}25\ \text{dm}^2\cdot3\ \text{dm}=51{,}75\ \text{dm}^3$
Zum Schluss stellst du die Dichteformel nach m um und setzt den gerade berechneten Wert $V$ ein:
$\rho=\dfrac mV$
$m=\rho\cdot V=7{,}25\dfrac{\text{kg}}{\ \text{dm}^3}\cdot51{,}75\ \text{dm}^3=375{,}188\ \text{kg}$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der "linken" Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt.
Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild des Oktaeders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Aus dem halben Netz wird eine Pyramide hergestellt.
Die Diagonale $d$ der Grundfläche dieser Pyramide wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$d=\sqrt{2k^2}=\sqrt{2}k$
Gesucht ist die Höhe $h_P$ der Pyramide.
Im Dreieck $EBS$ gilt mit Pythagoras:
$h_P=\sqrt{k^2-\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}$
$h_P=\sqrt{k^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}k\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}k^2}$
$h_P=\dfrac{\sqrt{2}}{2}k\approx0{,}71k$
Schrägbild des Oktaeders
Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5$ und $\alpha=45^\circ.$
Konstruiere ein Parallelogramm $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $E$ .
Im Punkt $B$ wird die Seite $\overline{BC}=\frac{1}{2}\overline{AB}$ unter dem Winkel $45^\circ$ abgetragen.
Im Diagonalenschnittpunkt $E$ wird die Höhe $h_P= \overline{ES}=0{,}71\overline{AB}$ eingezeichnet.
Die Höhe der zweiten Pyramide $h_P'=\overline{ES'}=0{,}71\overline{AB}$ wird ebenfalls im Punkt E eingezeichnet. Zeichne dann die Strecken von $S$ zu $A, B, C$ und $D$ und von $S'$ zu $A, B, C$ und $D$ .
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Aluminiumteils. Die Seitenlängen sind in Millimetern angegeben.
Dichte: $\rho_{Alu}=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$
Die Längen in der Zeichnung sind in Millimeter angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper
Berechnung der Frontfläche $A_{Ges}=A_1+A_2$
Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ , um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.
--Die Fläche $A_1$ ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche $A_2$ ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.
--
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}A_1=\dfrac{1{,}5\ \text{dm}\cdot1{,}5\ \text{dm}}2=1{,}125\ \text{dm}^2\\A_2=5{,}5\ \text{dm}\cdot2{,}0\ \text{dm}=11{,}00\ \text{dm}^2\end{array}$
Für die Frontfläche $A_{Ges}$ gilt also:
$A_{Ges}=A_1+A_2=1{,}125\ \text{dm}^2+11{,}00\ \text{dm}^2=12{,}125\ \text{dm}^2$
Berechnung des Volumens
Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.
Dabei gilt:
$V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot3\ \text{dm}=12{,}125\ \text{dm}^2\cdot3\ \text{dm}=36{,}375\ \text{dm}^3$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um.
Es gilt: $\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
Mit der Dichte $\rho=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\ \text{dm}^3}$ und dem vorher bestimmten Volumen $V=36{,}375\ \text{dm}^3$ ergibt sich:
$m=\rho\cdot V=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot36{,}375\ \text{dm}^3=98{,}213\ \text{kg}$

Die rechteckige Grundfläche eines Ölbehälters hat die Maße a=60cm und b=40cm.

Der Behälter ist mit V=140 Liter Öl gefüllt.

Welche Höhe h hat der Ölspiegel in ganzen cm?

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35 cm Durchmesser und h=450 mm Höhe.
Wie viel Liter fasst das Gefäß?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben:
Zylinder mit
Durchmesser $\mathrm{d=35\text{\cm}}$
Höhe $\mathrm{h=450\text{\mm}}$
Gesucht:
Volumen $\text{V}$ in Litern $\text{(l)}$
Lösung:
Lösungidee:
$\text{V=?}$
Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:
$\mathrm{V_{Zylinder}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h}$
$\mathrm{V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h}$
Die Höhe $\h$ ist gegeben, und den Radius $\text{r}$ kannst du aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnen.
Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, $\text{h}$ und $\text{r}$ die gleiche Einheit haben.
Tipp: Wenn du $\text{h}$ und $\text{r}$ (oder $\text{d}$ ) schon jetzt beide in $\text{dm}$ umwandelst, kommt das Volumen in $\text{dm}^3$ (= in Litern $\text{l}$ ) heraus. Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.
Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:
$\mathrm{h=450{\mm}=4{,}5{\dm}}$
$\mathrm{d=35{\cm}= 3{,}5{\dm}}$
Aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnest du dann den Radius $\text{r}$ ,
$\mathrm{r=\dfrac d2=1{,}75\dm}$
… und setzt $\text{r}$ und $\text{h}$ in die Volumenformel ein:
${V=\pi\cdot\left(1{,}75{\dm}\right)^2\cdot4{,}5{\dm}}$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$\mathrm{V\approx43{,}3{\dm}^3}$
$\text{dm}^3$ sind dasselbe wie Liter.
Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .
$\mathrm{V\approx43{,}3\l}$

Ein quaderförmiges Werkstück it den Maßen a=10 mm, b=60 mm, c=150 mm hat eine Masse von m=657 g.

Welche Dichte hat das Material?

kg/dm³

In einem Ölbehälter (Quader) mit den Abmessungen a=500 mm, b=300 mm, c=250 mm ist m=25 kg Öl vorhanden.

Dichte von Öl: $\rho_{Öl}=0{,}9\frac{kg}{dm^3}$

Welche Höhe h in mm hat der Ölspiegel?

Eine Drahtrolle aus d=0,5mm dickem Stahldaht

$\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

hat eine Masse von m=3,6kg.

Wie viel Meter sind auf der Rolle?

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Buchse (Rohrstück) aus CuSn 10 mit der Dichte
$\rho_{CuSn}=8{,}6\frac g{cm^3}$ hat die Durchmesser $D=77\mm$ , $d=68\mm$ und die Länge $l=115\mm$ .
Berechnen Sie die Masse in kg und runde auf 3 Dezimalstellen.
kg

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Volumen des äußeren Zylinders
Rechne als Erstes das Volumen des äußeren Zylinders aus. Nutze hierfür die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders
Rechne das Ergebnis mit deinem Taschenrechner aus, rechne es in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}V_{\text{Zylinder aussen}}&=&\left(\frac{77\text{ mm}}{2}\right)^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot115\text{ mm}\\&\approx&535511\text{ mm}^3\\&\approx&535{,}51\text{ cm}^3\end{array}$
Volumen des inneren Zylinders
Rechne nun den inneren Zylinder aus, rechne das Ergebnis in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.
Volumen des Rohrstücks
Ziehe den inneren Zylinder von dem äußeren Zylinder ab und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.
Masse des Rohrstücks
Jetzt musst du das Ergebnis nur noch mit der Dichte multiplizieren und in Kilogramm umrechnen. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}m_{\text{Rohrstück}}&=&117{,}87\text{ cm}^3\cdot8{,}6\frac {\text{ g}}{\text{ cm}^3}\\&\approx&1013{,}68\ \text{g}\\&\approx&1{,}014\ \text{ k}g\end{array}$
Berechne zuerst das Volumen des Rohrstücks. Das Volumen des Rohrstücks kannst du aus der Differenz eines äußeren Zylinders und eines inneren Zylinders berechnen.
Wenn du das Volumen des Rohrstücks bestimmt hast, kannst du durch die Angabe der Dichte die Masse des Rohrstücks ermitteln.

Berechnen Sie die Masse von 20 Lagerzapfen aus S235J2 (St 37 -3) für Garagentore.

Stahl hat eine Dichte von $\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{\dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

Bestimmung des Volumens

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders. Hinweis: Die Grundfläche des Quaders ist ein Quadrat.

$100\;\text{mm}=1\;\text{dm}$

$V_Q=0{,}3\;\text{dm}\cdot 0{,}3 \;\text{dm}\cdot 0{,}4\;\text{dm}=0{,}036\;\text{dm}^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

Es ist: $d=18\;\text{mm}=0{,}18\;\text{dm}$ und $h=35\;\text{mm}=0{,}35\;\text{dm}$

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle \dfrac{d^2}{4}\cdot\pi\cdot h$
	↓	Setze die Werte für $d$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}18^2\;\text{dm}^2}{4}\cdot\pi\cdot 0{,}35\;\text{dm}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}009\;\text{dm}^3$

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=0{,}036\;\text{dm}^3+0{,}009\;\text{dm}^3=0{,}045\;\text{dm}^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .

$\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$

$m=\rho_{Stahl}\cdot V_{Ges}=7{,}85\frac{\;\text{kg}}{\;\text{dm}^3}\cdot 0{,}045\;\text{dm}^3\approx0{,}353\;\text{kg}$

Da es sich um $20$ Teile handelt, muss die berechnete Masse für einen Lagerzapfen noch mit $20$ multipliziert werden.

$m_{Ges}=20\cdot 0{,}353\;\text{kg}=7{,}06\;\text{kg}$

Die Masse aller Lagerzapfen beträgt $7{,}06\;\text{kg}$ .

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zu berechnen ist die Masse der Bronze-Lagerbuchse (CuSn8). Auf welchen Bruchteil in % verringert sie sich, wenn man sie aus Kunststoff herstellt?
$\rho_{Bronze}=8{,}6\frac{kg}{dm^3};\;\rho_{Kunststoff}=2{,}2\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen
Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen $\cdot$ Dichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.
Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.
Die Volumenformel für Zylinder lautet $V=\pi r^2h$ .
Du beginnst am besten von außen, d.h. ganz rechts an der breitesten Stelle.
Die Höhe des Zylinders (hier von waagrecht eingezeichnet) berechnest du als $65mm - 57mm = 8mm = 0{,}08dm$ .
Der Durchmesser ist die höchste Stelle der Buchse und damit $60mm$ . Der Radius $r$ ist die Hälfte davon und also $30mm$ bzw $0{,}3 dm$ .
Damit ergibt sich mit der Volumenformel: $V = \pi\cdot(0{,}3dm)^2\cdot0{,}08dm = 0{,}0226dm^3$
Als nächstes berechnest du das Volumen der Röhre. Als Höhe dieses Rotationszylinders hast du die vollen $65mm$ also $6{,}5dm$ gegeben und der Durchmesser (hier wieder senkrecht) ist $34mm-24mm = 10mm = 0{,}1dm$ und damit der Radius $r = 0{,}05dm$ .
Es ergibt sich $V = \pi\cdot(0{,}05dm)^2\cdot 6{,}5dm = 0{,}0511dm^3$ .
Als bisherige Summe ergibt sich also $0{,}0737 dm^3$ .
Da du nun einen Teil der Fläche doppelt gezählt hast, ziehst du diesen wieder ab. Dazu musst du natürlich bestimmen, welches Volumen dieser Teil hat. Berechnet wird dieses ebenso wie zuvor schon zwei mal:
Höhe des Rotationszylinders ist $65mm-75mm = 8mm = 0{,}08dm$
Radius des Zylinders ist $r = \frac1 2$ Durchmesser $= \frac1 2\cdot 34mm = 17mm = 0{,}17dm$
Damit ergibt sich das Volumen als $V = \pi\cdot(0{,}08dm^2\cdot0{,}17dm = 0{,}0034dm^3$
Ziehst du dies von der bisherigen Summe ab, erhältst du als neues Zwischenergebnis $0{,}0703dm^3$ .
Jetzt musst du nur noch den Teil des Volumens der Röhre abziehen, den du noch nicht abgezogen hast.
Die Höhe dieses Zylinders (wieder waagrecht) ist $57mm = 0{,}57dm$
Der Durchmesser ist $24mm = 0{,}24dm$ und damit der Radius $0{,}12dm$ .
Das Volumen ist also $V = \pi\cdotπ⋅(0{,}12dm)²\cdot⋅0{,}57dm = 0{,}0258dm³$
$V = \pi\cdot(0{,}12dm)^2\cdot0{,}57dm = 0{,}0258dm^3$ Zieht man das von der bisherigen Zwischensumme ab, erhält man
$V = 0{,}0703dm^3 - 0{,}0258dm^3 = 0{,}0445dm^3$
Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist $G = 8{,}6 \cdot⋅ 0{,}0445 kg = 0{,}3827 kg$
und das Gewicht in Kunststoff ist $2{,}2 \cdot 0{,}0445 kg = 0{,}0979 kg$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.
Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Durch die Rotation entsteht ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.
${\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}$
Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}$
Führe alle Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung zusammen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
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Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius $r$ (⁣ $\Rightarrow$ Grundkantenlänge auch $r$ und der Inkreisradius ist $\frac{\sqrt3}2 r$ ⁣).
Der Höhenfußpunkt der Pyramide ist der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge ist $2{,}6\mathrm r$ .
Berechne das Volumen der Pyramide.
Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen der Pyramide
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_p$
Die Grundfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $r$ .
Die Höhe in diesen gleichseitigen Dreiecken ist gleich dem angegebenen Innenkreisradius
$h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r\;\Rightarrow\;A_{\Delta}=\dfrac{1}{2}\cdot r\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2$
$\Rightarrow\;G=6\cdot A_{\Delta}=6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2$
Die Höhe der Pyramide $h_P$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
Im Dreieck $AGS$ gilt: $h_P^2+r^2=(2{,}6r)^2\;\Rightarrow\;h_P^2=2{,}6^2r^2-r^2=5{,}76r^2$
$\Rightarrow\;$ $h_P=2{,}4r$
Für das das Volumen der Pyramide folgt dann:
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_p=\dfrac{1}{3}\cdot6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2\cdot2{,}4r=1{,}2\sqrt{3}r^3$
Das Pyramidenvolumen beträgt:
Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche
Gesucht ist der Winkel $GAS$ .
Im Dreieck $GAS$ gilt:
$\cos\varphi=\dfrac{\overline{AG}}{\overline{AS}}=\dfrac{r}{2{,}6r}=\dfrac{1}{2{,}6}\;\Rightarrow\;\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2{,}6}\right)=67{,}38^\circ$
Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.
Gesucht ist der Winkel $GLS$ .
Im Dreieck $GLS$ gilt:
$\tan\alpha=\dfrac{h_P}{\overline{GL}}=\dfrac{2{,}4r}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r}=\dfrac{4{,}8}{\sqrt{3}}\;\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{4{,}8}{\sqrt{3}}\right)=70{,}16^\circ$
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Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe $\mathrm h=5\;\mathrm{cm}$ hat:
1. Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge $3\;\mathrm{cm}$ und Basis $2\;\mathrm{cm}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\mathrm G\cdot\mathrm h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;={\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}\cdot\mathrm h\end{array}$
  Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.
  Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot\mathrm{Basis}\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}\end{array}$
  Die Höhe des Dreiecks ${\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}$ kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
  $(\mathrm{h}_\mathrm{Dreieck})^2=\left(3\mathrm{cm}\right)^2-\left(1\mathrm{cm}\right)^2\\\Leftrightarrow{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}=\sqrt{8\mathrm{cm}^2}=\sqrt8\mathrm{cm}$
  Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für ${\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot2\mathrm c\mathrm m\cdot\sqrt8\mathrm{cm}\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\sqrt8\mathrm{cm}^2\end{array}$
  Einsetzen in die Volumenformel des Prismas
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\sqrt8\mathrm{cm}^2\cdot5\mathrm{cm}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=5\sqrt8\mathrm{cm}^3\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx14{,}14\mathrm{cm}^3\end{array}$
  Oberflächeninhalt
  $\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$
  Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche $M$ einsetzt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}+{\mathrm S}_1+{\mathrm S}_2+{\mathrm S}_3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot\sqrt8\mathrm{cm}^2+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(2\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sqrt8\mathrm{cm}^2+40\mathrm{cm}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx45{,}66\;\mathrm{cm}^2\end{array}$

$\displaystyle V_{\mathrm{Quader}}$	$=$	$\displaystyle l\cdot b\cdot h$
	↓	Setze die Werte ein
	$=$	$\displaystyle 0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m$
	↓	Multipliziere
	$=$	$\displaystyle 0{,}54\,\mathrm m^3$
	↓	Rechne $\mathrm m^3$ in $\mathrm{dm}^3$ um
	$=$	$\displaystyle 540\,\mathrm{dm}^3$
	↓	Rechne $\mathrm{dm}^3$ in Liter um
	$=$	$\displaystyle 540 \,\mathrm l$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140\;l$
	↓	Volumen in $dm^3$ umrechnen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140dm^3$
	↓	$dm^3$ in $cm^3$ umrechnen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140 000cm^3$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle c \cdot b \cdot h$	$\displaystyle :(a\cdot b)$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac V{a\cdot b}$
	↓	a, b und V einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{140\;000cm^3}{60cm\cdot40cm}$
	↓	multiplizieren und dividieren
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 58,\overline3cm$
	↓	auf eine ganze Stelle runden
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 58cm$

$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle a\cdot b\cdot c$
	↓	Längenmaße einsetzen
$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle 10\mm\cdot60\mm\cdot150\mm$
	↓	Multiplikation
$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle 90\;000\mm^3$

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac mV$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{0{,}657\ kg}{0{,}09\ dm^3}}$
	↓	Dividieren
$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \mathrm{7{,}3\frac{\ kg}{\ dm^3}}$

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{V}$
	↓	Formel für die Dichte nach V umstellen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{\rho}$
	↓	m und $\rho$ einsetzen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{25\ kg}{0{,}9\dfrac{kg}{dm^3}}}$
	↓	Division
$\displaystyle V$	$≈$	$\displaystyle \mathrm{27{,}8d\ m^3}$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle a\cdot b\cdot h$	$\displaystyle :(a\cdot b)$
	↓	Volumenformel nach h auflösen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac V{a\cdot b}$
	↓	V, a und b einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{27{,}8\ dm^3}{5\ dm\cdot3\ dm}}$
	↓	Multiplikation im Nenner
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{27{,}8\ dm^3}{15\ dm^2}}$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 1{,}85\dm$
	↓	in mm umrechnen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 185\mm$

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{V}$
	↓	Formel nach V umstellen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{\rho}$
	↓	$m$ und $\rho$ einsetzen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}6\;\text{kg}}{7{,}85\displaystyle\frac{\;\text{kg}}{\;\text{dm}^3}}$
	↓	Division.
$\displaystyle V$	$≈$	$\displaystyle 0{,}459\;\text{dm}^3$

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^2\cdot h$	$\displaystyle :(\pi\cdot r^2)$
	↓	Formel nach $h$ umstellen.
$\displaystyle \dfrac{V_Z}{\pi\cdot r^2}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Setze $V_z$ und $r$ ein.
$\displaystyle \dfrac{459000\;\text{mm}^3}{\pi\cdot (0{,}25\;\text{mm})^2}$	$=$	$\displaystyle h$
$\displaystyle 2337668\;\text{mm}$	$≈$	$\displaystyle h$

Gemischte Aufgaben zur Volumenberechung

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Die Seitenkantenlänge $k$

Berechnung der Frontfläche $A_{Ges}=A_1+A_2$

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