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Nullstellenberechnung

10Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (4|5)

Betrachten wir nun eine Cosinusfunktion der Form f(x)=acos(g(x))f(x)=a\cdot\cos\left(g(x)\right) mit a0a\neq0, bei der das Argument g(x)g(x) eine beliebige Funktion ist.

Da a0a\neq0, brauchst du bei der Nullstellenbestimmung acos(g(x))=0a\cdot\cos\left(g(x)\right)=0 also nur cos(g(x))=0\cos\left(g(x)\right)=0 zu setzen. Wir wissen, dass beim Cosinus gilt: cos((2k1)π2)=0\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0 mit kZk\in\mathbb{Z}. Somit gilt zur Nullstellenbestimmung:

cos(g(x))=cos((2k1)π2)=0\cos\left(g(x)\right)=\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0

g(x)=(2k1)π2\Rightarrow g(x)=(2k-1)\dfrac{\pi}{2}

Löse diese Gleichung nach xx auf, um die Nullstellen von f(x)f(x) zu erhalten.

Fazit

Um die Nullstellen der Cosinusfunktion zu bestimmen, muss man prüfen, wann ihr Argument ein ungerades Vielfaches von π2\dfrac\pi2 wird.

Beispiel

f(x)=cos(x24π)=0f(x)=\cos(x^2-4\pi)=0

Man weiß, dass cos((2k1)π2)=0\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0 mit kZk\in\mathbb{Z}.Setze das Argument der Cosinusfunktion also gleich (2k1)π2(2k-1)\dfrac{\pi}{2} und löse nach xx auf.

x24π=(2k1)π2+4πx2=(2k1)π2+4πauf Hauptnenner bringenx2=(2k1)π+8π2π  ausklammernx2=π(2k1)+82=π2k+72Bruch auftrennenx2=π(2k2+72)=π(k+72)x=±π(k+72)\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}x^2-4\pi&=&(2k-1)\dfrac{\pi}{2}&|+4\pi\\x^2&=&\dfrac{(2k-1)\pi}{2}+4\pi&\text{auf Hauptnenner bringen} \\x^2&=&\dfrac{(2k-1)\pi+8\pi}{2}&\pi\;\text{ausklammern}\\x^2&=&\pi\cdot\dfrac{(2k-1)+8}{2}=\pi\cdot\dfrac{2k+7}{2}&\text{Bruch auftrennen}\\x^2&=&\pi\cdot\left(\dfrac{2k}{2}+\dfrac{7}{2}\right)=\pi\cdot\left(k+\dfrac{7}{2}\right)&|\sqrt{}\\x&=&\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}\end{array}

Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

N={±π(k+72)    kZ}N=\left\{\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}\;|\;k\in \mathbb Z\right\}

Da kk eine beliebige ganze Zahl ist, kann der Radikand sowohl positive, als auch negative Werte annehmen. Für einen negativen Radikanden gibt es allerdings keine reelle Lösung. Dass das Ergebnis dennoch stimmt, hat damit zu tun, dass die Funktion f(x)=cos(x24π)f(x)=\cos (x^2-4\pi) reelle und komplexe Nullstellen hat.

Graph einer Cosinusfunktion

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