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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Hier ist der Bereich Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2 des bayrischen Mathematikabiturs 2017 mit ausführlichen Lösungen. Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktionff mit f(x)=(3+x)2x1f(x)=\frac{(3+x)^2}{x-1} und maximalem Definitionsbereich DD. Der Graph von ff wird mit GfG_fbezeichnet.

    a)a) Geben Sie DD und die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_f mit den Koordinatenachsen an. (3 BE)

    b)b) Zeigen Sie, dass f(x)f(x) zum Term x+7+16x1x+7+\frac{16}{x-1} äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden gg mit der Gleichung y=x+7y=x+7 für GfG_f an. (3 BE)

  2. 2

    Die Abbildung zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion g:xp+qsin(πrx)g : x \mapsto p+ q\cdot sin(\frac{\pi}{r}x) mit p,q,rNp, q, r \in \mathbb{N}.

    Graph einer Sinus-Funktion

    a)a)Geben Sie p, q und r an. (3 BE)

    b)b)Der Graph der Funktion hh geht aus dem Graphen der Funktion gg durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive xx-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von hh an. (1 BE)

  3. 3

    Eine Funktion f ist durch f(x)=2e12x1f(x)=2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-1 mit xRx\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion ff. (2 BE)

    2. Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt S(01)S(0|1) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE)

  4. 4

    An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t t (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung n(t)=3t260t+500n(t)= 3t^2-60t+500 beschrieben werden.

    1. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung. (3BE)

    2. Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft 301h-30\frac{1}{h}beträgt. (2 BE)


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