Aufgaben

Löse folgende Bruchgleichung %%\displaystyle\frac{1570}{x}=4%%

Der Nenner darf nie 0 werden! Daher muss %%x=0%% ausgeschlossen werden.

%%D=\mathbb{Q} \backslash \{0\}%%

Bei dieser Aufgabe musst du nur das %%x%% auf die andere Seite bringen. Da %%x%% im Nenner steht, musst du mit %%x%% multiplizieren

%%\frac{1570}{x}=4%%

%%|\cdot x%%

Mit %%x%% multiplizieren

%%1570=4\cdot x%%

%%|:4%%

Mit 4 dividieren

%%x=\frac{1570}{4}=392,5%%

Da %%392,5%% in der Definitionsmenge liegt, ist es die Lösung der Bruchgleichung.

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\displaystyle \frac2{x^2}+\frac1{x+1}=\frac1x%%

%%\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x%%

Keiner der Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich %%0%% im Nenner ergeben würde.

Verboten ist hier also:

  • %%x^2=0%%
  • %%x+1=0%%
  • %%x=0%%

Daher müssen ausgeschlossen werden:
die Zahlen %%0%% und %%-1%%.

Die Definitionsmenge ist %%\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{0;-1\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist %%\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

%%\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x%%

Bilde den Hauptnenner .
Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: %%x^2(x+1)%%

Bringe alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner,

%%\dfrac{2(x+1)}{x^2(x+1)}+\dfrac{x^2}{x^2(x+1)}=\dfrac{x(x+1)}{x^2(x+1)}%%

und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.

%%\dfrac{2(x+1)}{x^2(x+1)}+\dfrac{x^2}{x^2(x+1)}=\dfrac{x(x+1)}{x^2(x+1)}%%

%%\quad \vert\cdot x^2(x+1)%%

%%2(x+1)+x^2={x(x+1)}%%

Löse die Klammern auf,

und forme die Gleichung dann geeignet um.

%%2x+2+x^2=x^2+x%%

%%\left|{-x^2-x}\right.%%

%%x+2=0%%

%%\left|-2\right.%%

%%x=-2%%

Überprüfe nun noch, ob %%-2%% in der Definitionsmenge enthalten ist.

%%x=-2 \in \mathbb D%%

Damit ist %%-2%% Lösung der Gleichung,
und du kannst die Lösungsmenge angeben.

%%\Rightarrow\ \mathbb L = \{-2\}%%

%%\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}%%

Definitionsbereich bestimmen

%%\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}%%

Keiner der Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich %%0%% im Nenner ergeben würde.

  %%D_f=ℝ\backslash\left\{2\right\}%%

Die Definitionsmenge ist %%\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist %%\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}%%

Hier musst du den Faktor %%-2%% ausklammern im rechten Nenner ausklammern.

%%\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{-2(x-2)}%%

Bilde den Hauptnenner beider Brüche: %%-2(x-2)%%

%%\displaystyle\frac{2 \cdot(-2) }{(-2)(x-2)}+\frac{(-2)(-2)(x-2)}{(-2)(x-2)}=\frac1{(-2)(x-2)}%%

%%\vert\cdot(-2)(x-2))%%

Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.

%%-4+4\cdot(x-2)=1%%

Löse die Klammern auf.

%%\begin{align} -4+4x-8&=1 \\ -12+4x&=1 \ \ \ \ \ \ \ |+12\\ 4x&=13 \ \ \ \ \ |:4\\ \displaystyle\;\;\Rightarrow\;\;x&=\frac{13}4=3,25 \end{align} %%

Löse die Gleichung auf

%%x=3,25%%

Überprüfe nun noch, ob %%3,25%% in der Definitionsmenge enthalten ist.

%%x=3,25 \in \mathbb D%%

Damit ist %%3,25%% Lösung der Gleichung,
und du kannst die Lösungsmenge angeben.

%%\Rightarrow\ \mathbb L = \{3{,}25\}%%

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\dfrac2{x-3}=\dfrac3{x-1}%% mit der Definitionsmenge %%D=\mathbb Q \backslash\{3,1\}%%.

Bruchgleichungen lösen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Suche zunächst nach dem Hauptnenner. Dazu schaust du dir die Nenner an:

  • %%[x-3]%%
  • %%[x-1]%%

Diese kommen nur einmal vor und können nicht weiter faktorisiert werden. Den Hauptnenner erhälst du, wenn du die %%2%% Bausteine zusammen multiplizierst. %%(x-3)(x-1)%%

%%\dfrac2{x-3}=\dfrac3{x-1}%%

Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner %%(x-3)(x-1)%%.

%%\dfrac{2(x-1)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{3\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}%%

%%\left|\cdot\right.(x-3)(x-1)%% Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner

%%2x-2=3x-9;%%

%%\left|-2x+9\right.%%

   %%x=7%%

Da %%7%% in der Definitionsmenge enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge %%\mathbb L=\{7\}%%

%%\dfrac2{5x+15}=\dfrac1{10}%%

Mit der Definitionsmenge %%D=\mathbb Q\backslash \{-3\}%%.

Lösen der Bruchgleichung

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen. Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.

Hauptnenner finden

Suche zunächst nach dem Hauptnenner.

Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von %%\dfrac{1}{10}%% ist %%10%% und der Nenner von %%\dfrac2{5x+15}%% ist %%5x+15%%.

Man bekommt die faktorisierten Bausteine:

  • %%[10]\ \ \ \ \ \ \ \ \ =[2]\cdot[5]%%

  • %%[5x+15]=\ \ \ \ [5]\cdot[x+3]%%

Der Baustein %%5%% kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.

Es ergibt sich für den Hauptnenner:

%%[2]\cdot[5]\cdot[x+3]=10(x+3)%%

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.

  • %%\dfrac2{5x+15}=\dfrac2{5(x+3)}\cdot\dfrac22=\dfrac4{10(x+3)}%%

  • %%\dfrac1{10}\cdot\dfrac{x+3}{x+3}=\dfrac{x+3}{10(x+3)}%%

Gleichung bruchtermfrei machen

Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.

%%\dfrac2{5x+15}=\dfrac1{10}%%

Auf den Hauptnenner %%10(x+3)%% erweitern.

%%\dfrac4{10(x+3)} = \dfrac{x+3}{10(x+3)}%%

%%\left| \cdot 10(x+3)\right.%% Mit dem Hauptnenner multiplizieren

%%4=x+3%%

Bruchtermfreie Gleichung lösen

Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.

%%4=x+3%%

%%|-3%%

%%x=1%%

%%1%% ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L=\{1\}%%.

%%\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac1{x-1}+2%% mit der Definitionsmenge %%D=\mathbb Q\backslash \{1\}%%.

Bruchgleichungen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bringe zuerst beide Terme auf jeweils einen Bruch.

  • %%\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac{3x^2}{x-1}-\dfrac{3x(x-1)}{x-1}=\dfrac{3x^2}{x-1}-\dfrac{3x^2-3x}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}%%
  • %%\dfrac{1}{x-1}+2=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2(x-1)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2x-2}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}%%

Die Gleichung lässt sich auf %%\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}%% vereinfachen.

Beide Bruchterme haben als Nenner %%x-1%%, also ist dieser auch der Hauptnenner.

%%\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac1{x-1}+2%%

Auf den Hauptnenner %%(x-1)%% erweitern und vereinfachen (siehe oben).

%%\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}%%

Mit dem Hauptnenner %%x-1%% multiplizieren

%%3x=2x-1%%

%%|-2x%%

   %%\Rightarrow\;\;x=-1%%

%%-1%% ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist %%\mathbb L=\{-1\}%%.

%%\dfrac5{2x+6}-\dfrac{1-0,25x^2}{x^2+3x}=\dfrac14%% mit der Definitionsmenge %%D=\mathbb Q\backslash\{-3,0\}%%.

Bruchgleichungen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bestimme zunächst den Hauptnenner. Schaue dir dafür explizit jeden Bruch einzeln an und faktorisiere falls möglich:

  • %%2x+6=2(x+3)%%
  • %%x^2+3x=x(x+3)%%
  • %%4=2\cdot2%%

Aus den Faktoren ergibt sich für den Hauptnenner: %%4x(x+3)%%.

Es folgt:

%%\dfrac5{2x+6}-\dfrac{1-0,25x^2}{x^2+3x}=\dfrac14%%

Im 1. Bruch den Faktor %%2%% und im 2. Bruch %%x%% ausklammern.

%%\dfrac5{2\left(x+3\right)}-\dfrac{1-0,25x^2}{x\left(x+3\right)}=\dfrac14%%

Auf den Hauptnenner %%4x\left(x+3\right)%% erweitern.

%%\dfrac5{2\left(x+3\right)}\cdot\dfrac{2x}{2x}-\dfrac{1-0,25x^2}{x\left(x+3\right)}\cdot\dfrac{4}{4}=\dfrac14\cdot\dfrac{x(x+3)}{x(x+3)}%%

Vereinfache.

%%\dfrac{10x}{4x\left(x+3\right)}-\dfrac{4-x^2}{4x\left(x+3\right)}=\dfrac{x(x+3)}{4x(x+3)}%%

%%\vert\cdot4x(x+3)%%

Mit dem Hauptnenner multiplizieren.

%%10x-4+x^2=x^2+3x%%

%%\left|-x^2-3x\right.%%

%%7x-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%7x=4%%

%%\left|:7\right.%%

%%x=\dfrac47%%

%%\dfrac47%% ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L=\left\{\dfrac47\right\}.%%

Löse die folgende Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3}-\frac{5x}{x\cdot(x+1)}%%.

Bruchgleichungen lösen

In dieser Lösung wirst du Wissen aus den Artikeln Über Kreuz multiplizieren und Buchgleichungen lösen brauchen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5x}{x\cdot(x+1)}%%.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entsteht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner %%0%% werden würde. Man darf nämlich nicht durch %%0%% teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich %%0%%:

Nenner des ersten Bruchs

%%x=0%%

Also wird dieser Nenner %%0%% für %%x=0%%

Der Nenner des zweiten Bruchs

%%3\cdot x=0%%

%%|:3%%

%%x=0%%

Also wird dieser Nenner %%0%% für %%x=0%%

Der Nenner des dritten Bruchs

%%x\cdot(x+1)=0%%

Diese Gleichung gilt, wenn entweder %%x=0%% oder %%x+1=0%%.

Also ist der Nenner des zweiten Bruchs genau dann gleich %%0%%, wenn entweder %%x=0%% oder %%x=-1%%.

Du erkennst also, dass hier %%0%% und %%-1%% die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Insgesamt ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung %%D=\mathbb{Q}\backslash\{0,-1\}%%.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, indem man Über Kreuz multipliziert.

Der erste Schritt ist beide Seiten der Gleichung auf jeweils einen gleichen Nenner zu bringen:

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5\cdot x}{x\cdot(x+1)}%%

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}-\frac{3\cdot5\cdot x}{3\cdot x\cdot(x+1)}%%

Jetzt subtrahierst du die beiden Brüche auf der rechten Seite der Bruchgleichung voneinander:

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{x+1-3\cdot5\cdot x}{3\cdot x\cdot(x+1)}%%

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}%%

Dann multplizierst du die Gleichung mit den beiden Nennern der Brüche:

%%\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}%%

%%|\cdot3\cdot x\cdot(x+1)%% und %%\cdot x%%

%%7\cdot3\cdot x\cdot(x+1)=x\cdot(-14\cdot x+1)%%

Hier teilt man durch %%x%%. Dies darf man, da %%x=0%% nicht in der Definitionsmenge liegt.

%%7\cdot3\cdot x\cdot(x+1)=x\cdot(-14\cdot x+1)%%

%%|:x%%

%%7\cdot3\cdot (x+1)=-14\cdot x+1%%

Als letzter Schritt löst du nach x auf:

%%21\cdot x+21=-14\cdot x+1%%

%%|+14\cdot x-21%%

%%35\cdot x=-20%%

%%|:35%%

%%\displaystyle x=-\frac{20}{35}=-\frac{4}{7}%%

Also ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung %%L=\{-\frac{4}{7}\}%% und die Definitionsmenge ist %%D=\mathbb{Q}\backslash\{0,-1\}%%.

Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:

%%\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)%%

Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

Lösen der Bruchgleichung

Da es sich bei der Gleichung um eine Bruchgleichung handelt, wendest du dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich %%0%% setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner %%x%% ist, reicht es diesen Nenner %%x%% gleich %%0%% zu setzen.

%%x=0%%

Setze den Nenner %%x%% gleich %%0%%.

Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach %%x%% aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für %%x=0%% nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei %%x=0%% und du siehst:

%%D =\mathbb{Q} \backslash \{0\}%%

Gleichung bruchterm-frei machen

Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:

%%\displaystyle \frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-\frac{12}x+12%%

Addiere %%1%% auf beiden Seiten.

%%\displaystyle\frac7x+\frac8x=\frac12-\frac{12}x+12+1%%

Vereinfache:

%%\frac 12 +12+1=13,5%%

%%\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13,5%%

Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich %%x%%. Der einzige Baustein ist %%x%%, daher ist auch der Hauptnenner %%x%%. Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:

%%\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13,5%%

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner %%x%%.

%%7+8=-12+13,5x%%

Löse die bruchterm-freie Gleichung

%%7+8=-12+13,5x%%

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung %%12%%.

%%7+8+12=13,5x%%

Vereinfache den Term auf der linken Seite.

%%27=13,5x%%

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch %%13,5%%.

%%2=x%%

Als Lösung der Gleichung erhältst du also %%2%%.

Angabe der Lösungsmenge

Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen %%D=\mathbb{Q}\backslash \{ 0\}%% liegt %%2%% in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: %%\mathbb L=\{ 2\}%%.

Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch %%\mathbb L=\{ 2\}%%.

Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2x+2}+\dfrac{1}{x+1}%%

Bestimme zunächst die Definitionsmenge. Keiner der drei Nenner darf %%0%% sein. Nicht erlaubt sind also:

  • %%x=0%%

  • %%2x+2=0 \ \Leftrightarrow 2x=-2 \Leftrightarrow x=-1%%

  • %%x+1=0\ \ \ \Leftrightarrow x=-1%%

Es müssen also die %%0%% und die %%-1%% ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge der Gleichung ist somit %%D=\mathbb Q \setminus\{0,-1\}%%.

Nun zur Lösungsmenge. Versuche zunächst die Bruchgleichung durch Über-Kreuz-Multiplizieren auf eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung zu bringen. Danach kannst du die lineare Gleichung wie gewohnt lösen.

%%\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2x+2}+\dfrac{1}{x+1}%%

Klammere die %%2%% aus, auf der rechten Seite der Bruchgleichung im ersten Nenner.

%%\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2(x+1)}+\dfrac{1}{x+1}%%

Kürze.

%%\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}%%

Addiere.

%%\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x+1}%%

%%1(x+1)=3x%%

Ausmultiplizieren.

%%x+1=3x%%

%%|-x%%

%%1=2x%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac{1}{2}%%

Da %%\dfrac{1}{2}%% in der Definitionsmenge enthalten ist, ist die Lösungsmenge %%\mathbb L=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}%%.

Bestimme die Definitionsmenge und Lösungsmenge der Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=5+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}%%

Die Idee ist die Bruchtermgleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine lineare Gleichung zu bringen. Dafür muss man zunächst die Definitionsmenge bestimmen und an geeigneter Stelle über Kreuz multiplizieren.

Bestimme also zunächst die Definitionmenge. Sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ist der Nenner der Terme %%x%%.

Man darf also die %%0%% nicht einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt: %%D=\mathbb Q\backslash\{0\}%%.

Nun zur Lösungsmenge:

Versuche zunächst die Gleichung Bruchfrei zu machen.

%%-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=5+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}%%

Auf den gleichen Nenner bringen

%%-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=\frac{\displaystyle 5x}{\displaystyle x}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}%%

Addiere

%%-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=\frac{\displaystyle 5x+1}{\displaystyle x}%%

Überkreuzmultiplizieren

%%-x=5x^2+x%%

%%|:x%% (Man darf durch %%x%% teilen, weil %%0%% nicht in der Definitionsmenge ist)

%%-1=5x+1%%

%%|-1%%

%%-2=5x%%

%%|:5%%

%%x=-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}%%

%%-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}%% ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Es gibt keine weiteren Lösungen.

Also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L%% der Gleichung %%\mathbb L=\{ -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}\}%%.

Bemerkung

Im dritten Schritt hättest du auch statt überkreuzmultiplizieren, einfach mit %%x%% multiplizieren können.Dadurch hättest du dir einen Schritt sparen können.

Löse die Bruchgleichung.

$$\frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac6{6+2x}-\frac3{6-3x}$$

Definitionsmenge bestimmen

Kein Nenner darf %%0%% werden, deshalb muss man bestimmte Werte ausschließen.

%%x-2=0\Leftrightarrow x=2%%

%%x+3=0\Leftrightarrow x=-3%%

%%6+2x=0\Leftrightarrow x=-3%%

%%6-3x=0 \Leftrightarrow x=2%%

Es müssen die Zahlen %%2%% und %%-3%% ausgeschlossen werden. Daher ist die Definitionsmenge %%D=\mathbb{Q}\backslash\{-3;2\}%%

Bruchgleichung lösen

Für diese Bruchgleichung muss man den Hauptnenner finden. Es bietet sich aber an, zuerst alle Nenner zu faktorisieren.

%%\frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac6{6+2x}-\frac3{6-3x}%%

Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon.

%%\frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac6{2\cdot (3+x)}-\frac3{3\cdot (2-x)}%%

Kürzen.

%%\frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac3{3+x}-\frac1{2-x}%%

Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen.

%%\frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac3{x+3}+\frac1{x-2}%%

Die Bausteine des Hauptnenners sind damit:

  • %%[x-2]%%
  • %%[x+3]%%

Mit dem Hauptnenner muss nun multipliziert werden und gleich gekürzt werden.

%%2\cdot (x+3)+4\cdot (x-2)=3\cdot (x-2)+1\cdot(x+3)%%

Ausmultiplizieren.

%%2x+6+4x-8=3x-6+x+3%%

Terme zusammenfassen.

%%6x-2=4x-3%%

%%|+2%% %%|-4x%%

%%2x=-1%%

%%|:2%%

%%x=-\frac12%%

Da %%-\frac12%% in der Definitionsmenge liegt, lautet die Lösungsmenge::

%%L=\{-\frac12\}%%

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