Aufgaben

Gegeben sind die Funktionenschar %%{\mathrm f}_\mathrm k%% mit  %%{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=2\mathrm{kx}+3%% mit dem Parameter %%\mathrm k\in\mathbb{R}%% und die Parabel  %%\mathrm p%% mit %%\mathrm p(\mathrm x)=\mathrm x^2-2\mathrm x+5%% .

Welche der Geraden  %%{\mathrm f}_\mathrm k%% ist parallel zur Tangente an  %%\mathrm p%% im Punkt %%\mathrm Q\left(\left.2\;\right|\;5\right)%% ?

Tangente bestimmen

Berechne die Steigung der Tangente, indem du die Steigung der Parabel an dem Punkt berechnest. Bilde dazu die 1. Ableitung der Parabel.

%%\mathrm p`(\mathrm x)=2\mathrm x-2%%

Bestimme die Steigung am Punkt %%\left(2\;\left|\;5\right.\right)%%

%%\mathrm p`(2)=4-2=2%%

Was heißt das für die Tangente?

%%\Rightarrow%% Tangente hat die Steigung 2

Parallele Gerade bestimmen

Damit die Gerade parallel zur Tangente ist, muss sie die gleiche Steigung haben.

Bestimme die Steigung der Geraden. Bilde dazu die 1. Ableitung der Geraden.

%%\mathrm f_\mathrm k^`(\mathrm x)=2\mathrm k%%

Diese Steigung soll gleich der der Tangente sein. Setze sie also gleich.

   %%2\mathrm k=2%%

|:2

%%\Rightarrow\;\;\mathrm k=1%%

Gib die Gerade explizit an.

%%\Rightarrow\;{\mathrm f}_1(\mathrm x)=2\mathrm x+3%% ist die gesuchte

       Gerade

Gegeben ist die Funktionenschar %%{\mathrm f}_\mathrm a%% mit  %%{\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\mathrm x^3-\frac3{\mathrm a}\mathrm x^2-9\mathrm x+5\left(\mathrm a+1\right)%% mit dem negativen Parameter %%\mathrm a%%.

  1. Untersuche die Lage des Maximums.

  2. Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

Teilaufgabe a

Maximum einer Funktion bestimmen

Bilde die 1. Ableitung

%%\mathrm f_\mathrm a^`(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\cdot3\mathrm x^2-\frac3{\mathrm a}\cdot2\mathrm x-9%%

        %%=\frac3{\mathrm a^2}\mathrm x^2-\frac6{\mathrm a}\mathrm x-9%%

Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.

%%\mathrm f_\mathrm a^`(\mathrm x)=0%%

%%\frac3{\mathrm a^2}\mathrm x^2-\frac6{\mathrm a}\mathrm x-9=0%%

%%{\mathrm x}_{1,2}=\frac{{\displaystyle\frac6{\mathrm a}}\pm\sqrt{{\displaystyle\frac{36}{\mathrm a^2}}-4\cdot{\displaystyle\frac3{\mathrm a^2}}\cdot\left(-9\right)}}{2\cdot\displaystyle\frac3{\mathrm a^2}}%%

 

         %%=\left(\frac6{\mathrm a}\pm\frac{12}{\mathrm a}\right)\cdot\frac{\mathrm a^2}6%%

Berechne die beiden Lösungen

  %%\Rightarrow\;\;{\mathrm x}_1=3\mathrm a\;\;,\;\;{\mathrm x}_2=-\mathrm a%%

Bestimme die Vorzeichen der 1.Ableitung zwischen den Extremstellen.

Beachte dabei, dass 3a "links" von -a liegt, da a nach Voraussetzung a negativ ist.

Zudem ist die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit die Vorzeichenfolge %%+-+%% hat.

%%\begin{array}{l}\Rightarrow\;\;\underline{\mathrm f`>0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm f`0\;}\\\;\;\;\;\;\;\mathrm{steigt}\;\;\;^{3\mathrm a}\;\;\;\;\;\;\mathrm{fällt}\;\;\;^{\;-\mathrm a}\;\;\;\mathrm{steigt}\end{array}%%

                                

Gib also die Maximalstelle an.

Maximalstelle;    %%\mathrm x=3\mathrm a%%

Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du x in %%{\mathrm f}_\mathrm a%% einsetzt

%%\begin{array}{l}{\mathrm f}_\mathrm a\left(3\mathrm a\right)=\frac1{\mathrm a^2}\cdot\left(3\mathrm a\right)^3-\frac3{\mathrm a}\cdot\left(3\mathrm a\right)^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-9\cdot3a+5\left(a+1\right)\end{array}%%

Multipliziere aus

            %%=27\mathrm a-27\mathrm a-27\mathrm a+5\mathrm a+5%%

Fasse die Terme mit a zusammen

             %%=-22\mathrm a+5%%

Gib das Maximum explizit an.

 Maximum: %%\left(3\mathrm a\;\left|\;-22\mathrm a+5\right.\right)%%

             

Teilaufgabe b

Gerade bestimmen

Löse die Gleichung für den x-Wert der Maxima nach a auf

%%\mathrm x=3\mathrm a%%

%%\left|:3\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm a=\frac{\mathrm x}3%%

Setze diese Formel in die Formel des y-Wertes der Maxima ein

%%y=-22\cdot\frac x3+5%%

Vereinfache den Term

  %%=-\dfrac{22}{3}\mathrm x+5%%

%%\Rightarrow%%   Die Maxima liegen alle auf einer Geraden

        Sie hat die Gleichung %%\mathrm y=-\dfrac{22}{3}\mathrm x+5%%

Gegeben ist die Funktionenschar %%{\mathrm f}_\mathrm k%% mit  %%\displaystyle{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}%% .

Das Schaubild zeigt den Graphen für %%\mathrm k=3%%.

Plot der Funktion für k=3 aus der Kurvenschar

Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter %%k%%.

Überzeuge dich davon, dass sich für %%\mathrm k=3%% die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

Wendepunkt berechnen

%%{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}%%

Bestimme die Article 1. Ableitung (64) not found

%%\mathrm f_\mathrm k^`(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2\cdot\mathrm k-\left(\mathrm{kx}-2\right)\cdot2\mathrm x}{\mathrm x^4}%%

Kürze ein x und Fasse dann Terme im Zähler zusammen

        %%=\frac{\mathrm{xk}-2\left(\mathrm{kx}-2\right)}{\mathrm x^3}=\frac{4-\mathrm{kx}}{\mathrm x^3}%%

Bestimme die Article 2.Ableitung (64) not found

%%\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^3\cdot\left(-\mathrm k\right)-\left(4-\mathrm{kx}\right)\cdot3\mathrm x^2}{\mathrm x^6}%%

Kürze %%\mathrm x^2%% , multipliziere aus und fasse Terme zusammen

         %%=\frac{2\mathrm{kx}-12}{\mathrm x^4}%%

Setze die 2.Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.

%%\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)=0%%

%%\frac{2\mathrm{kx}-12}{\mathrm x^4}=0%%

%%\left|\cdot\mathrm x^4\right.%%

   %%2\mathrm{kx}-12=0%%

%%\left|+12\right.%%

            %%2\mathrm{kx}=12%%

%%\left|:2\mathrm k\right.%%

                %%\mathrm x=\frac6{\mathrm k}%%

Mache jetzt eine Fallunterscheidung für k.

1.Fall:  %%\mathrm k=0%%

0 dürfete in die gerade berechnete Formel für die Wendestellen nicht eingesetzt werden

  %%\Rightarrow%%   Kein Wendepunkt

2.Fall:   %%\mathrm k>0%%

  %%\Rightarrow%%   Wendepunkt bei %%\mathrm x=\frac6{\mathrm k}%%

 Bestimme, wo die 2.Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist.

%%\mathrm x

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion.

%%\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)\;%% rechtsgekrümmt in %%\rbrack-\infty;\;\frac6{\mathrm k}\lbrack%%

%%\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)>0%%

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion.

%%\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)%% linksgekrümmt  in %%\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack%%

3.Fall:  %%\mathrm k

  %%\Rightarrow%% Wendepunkt bei %%\mathrm x=\frac6{\mathrm k}%%

%%\mathrm x0%%

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion

%%\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)\;%% linksgekrümmt in %%\rbrack-\infty;\;\frac6{\mathrm k}\lbrack%%

%%\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion

%%\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)%% rechtsgekrümmt  in %%\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack%%

Überprüfe, ob der Wendepunkt für %%\mathrm k=3%% übereinstimmt.

%%\mathrm k=3\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm x=\frac63=2\;%%

Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt

%%{\mathrm f}_3(2)=\frac{3\cdot2-2}{2^2}=\frac44=1%%

Gib den Wendpunkt an und überprüfe ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt

Für %%\mathrm k=3%% ist der Wendepunkt %%\left(2\;\left|\;1\right.\right)%%

%%\Rightarrow%% Stimmt mit Bild überein

%%f_a(x)=-\frac4{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})%%  

  1. Bestimme den Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen %%G_{f_a}%% und der x-Achse.

  2. Für welche a ist der Inhalt der Fläche A(a) gleich 8?

  3. Bestimme a so, dass A(a) möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

  4. %%F_4(x)=\int_4^xf_4(t)\mathrm{dt}%% Bestimme den Term %%F_4(x)%% und alle Nullstellen von  %%F_4%% .

  5. Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von %%G_{F_4}%% .

  6. Skizziere %%G_{f_4}%% und %%G_{F_4}%% im selben Koordinatensystem.

%%f_a(x)=-\frac4{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})%%    %%Syntax error from line 1 column 115 to line 1 column 131.%%

 

Teilaufgabe a

Nullstellen bestimmen

%%f_a(x)=-\frac4{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%-\frac4{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})=0%%

%%\left|{:\left(-\frac4{a^2}\left(8-a\right)\right)}\right.%% Es wird durch alles, dass kein x enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.

                      %%x^2-\mathrm{ax}=0%%

x wird ausgeklammert .

                    %%x\left(x-a\right)=0%%

Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.

%%x_1=\left(0\vert0\right),\;x_2=\left(a\vert0\right)%%

 

 

 

Integral aufstellen

Da einer der Schnittpunkte immer bei 0 liegt, braucht man keine Fallunterscheidung für a0 durchführen. Die Flächen mit negativen a sind Achsenysmetrisch bezüglich der y-Achse zu den entsprechenden Flächen mit gleichem positiven a. Im folgenden wird deswegen mit dem Betrag von a gerechnet.

%%A\left(a\right)=\int_0^{\left|a\right|}\left(-\frac4{\left|a\right|^2}\left(8-a\right)\left(x^2-\left|a\right|x\right)\right)\mathrm{dx}%%

Die Klammern werden ausmultipliziert .

%%A\left(a\right)=\int_0^{\left|a\right|}\left(-\frac{32}{\left|a\right|^2}x^2+\frac{32}{\left|a\right|}x+\frac4{\left|a\right|}x^2-4\left|a\right|\right)\mathrm{dx}%%

Elemente nach Höhe der x- Potenzen sortieren.

%%A\left(a\right)=\int_0^{\left|a\right|}\left(-\frac{32}{\left|a\right|^2}x^2+\frac4{\left|a\right|}x^2+\frac{32}{\left|a\right|}x-4\left|a\right|\right)\mathrm{dx}%%

Alle Elemente in der Klammer Integrieren .

Es taucht kein c auf, da wegen des Integrierens der x-Achse -c entstehen würde, das mit dem c wegfällt.

%%A\left(a\right)=\left[-\frac{32}{3\left|a\right|^2}x^3+\frac4{3\left|a\right|}x^3+\frac{32}{2\left|a\right|}x^2-4\left|a\right|x\right]_0^{\left|a\right|}%%

In die Klammer wird für x der rechte Grenzwert (|a|) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Grenzwert (0) gerechnet.

  %%A\left(a\right)=\left[-\frac{32}{3\left|a\right|^2}\left|a\right|^3+\frac4{3\left|a\right|}\left|a\right|^3+\frac{32}{2\left|a\right|}\left|a\right|^2-4\left|a\right|\left|a\right|\right]%%  

       %%-\left[-\frac{32}{3\left|a\right|^2}0^3+\frac4{3\left|a\right|}0^3+\frac{32}{2\left|a\right|}0^2-4\left|a\right|0\right]%%

Die zweite Klammer fällt vollständig weg, da jedes Element in der Klammer mit 0 multipliziert wird.

In der ersten Klammer werden alle Elemente soweit möglich gekürzt.

%%A\left(a\right)=\left[-\frac{32}3\left|a\right|+\frac43\left|a\right|^2+16\left|a\right|-4\left|a\right|^2\right]%%

Gleiche Elemente zusammenfassen und nach Potenzen sortieren.

%%A\left(a\right)=-\frac83\left|a\right|^2+\frac{16}3\left|a\right|%%

 

 

Teilaufgabe b

Die zuvor ermittelte Funktion ( %%A\left(a\right)%% ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt um a zu bestimmen.

%%8=-\frac83\left|a\right|^2+\frac{16}3\left|a\right|%%

  %%\left|{-8}\right.%%

%%0=-\frac83\left|a\right|^2+\frac{16}3\left|a\right|-8%%

Die Mitternachtsformel anwenden.

%%a_{1,2}=\frac{-\frac{16}3\pm\sqrt{\left(\frac{16}3\right)^2-4\left(-\frac83\right)\left(-8\right)}}{2\left(-\frac83\right)}=%%

Unter der Wurzel ausmultiplieren.

%%a_{1,2}=\frac{-\frac{16}3\pm\sqrt{\frac{256}9-\frac{256}3}}{2\left(-\frac83\right)}=%%

Es fällt auf, dass unter der Wurzel etwas Negatives steht.

Daraus folgt:

Die Gleichung lässt sich in %%ℝ%% nicht lösen.

  %%\Rightarrow%%   Es gibt kein a, für das die Fläche A = 8 ist.

 

Teilaufgabe c

Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .

Um dieses zu bestimmen, muss %%A\left(a\right)%% ( %%A=-\frac83\left|a\right|^2+\frac{16}3\left|a\right|%% ) abgeleitet werden.

%%\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{da}}=-\frac{16}3a+\frac{16}3%%

Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Article Ableitung (64) not found , demnach wird %%\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{da}}%% gleich 0 gesetzt.

       %%0=-\frac{16}3a+\frac{16}3%%

%%\left|{+\frac{16}3a}\right.%%

%%\frac{16}3a=\frac{16}3%%

%%\left|{:\frac{16}3}\right.%%

       %%a=1%%

Die Stelle, an der A(a) den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das bestimmte a in A(a) eingesetzt wird.

%%A\left(1\right)=-\frac83\cdot1^2+\frac{16}3\cdot1%%

 

         %%=\frac83=2,\overline6%%

 

 

Teilaufgabe d

%%f_4\left(t\right)%% aufstellen

4 für a in die Ausgangsgleichung %%f_a\left(x\right)%% einsetzen.

%%f_4(t)=-\frac4{4^2}(8-4)(t^2-4t)%%

 

%%f_4(t)=-\frac14\cdot4\cdot(t^2-4t)%%

%%\frac14\cdot4=1%% und fällt deswegen weg. Beim Ausmultiplizieren , Vorzeichen beachten!

%%f_4(t)=-t^2+4t%%

 

 

 

%%F_4\left(t\right)%% aufstellen

 

%%F_4(x)=\int_4^xf_4(t)\mathrm{dt}%%

Die zuvor bestimmte Gleichung einsetzen.

%%F_4(x)=\int_4^x\left(-t^2+4t\right)\mathrm{dt}%%

%%F_4(x)=\left[-\frac13t^3+\frac42t^2\right]_4^x%%

In die Klammer wird für x der rechte Grenzwert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Grenzwert (4) gerechnet.

%%F_4(x)=\left[-\frac13x^3+\frac42x^2\right]-\left[-\frac134^3+\frac424^2\right]%%

Klammern auflösen.

%%F_4(x)=-\frac13x^3+\frac42x^2+\frac{64}3-32%%

 

%%F_4(x)=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

 

 

 

Nullstellen bestimmen

%%0=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch ausprobieren ermittelt man %%x_1=\left(-2\vert0\right)%%

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

Could not convert formula (timeout or invalid formula).

Die vereinfachte Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

%%0=-\frac13x^2+\frac83x-\frac{16}3%%

Die Mitternachtsformel lässt sich anwenden.

%%x_{2,3}=\frac{-\frac83\pm\sqrt{\left(\frac83\right)^2-4\cdot\left(-\frac13\right)\cdot\left(-\frac{16}3\right)}}{2\cdot\left(-\frac13\right)}%%

 

      %%=\frac{-\frac83\pm\sqrt{\frac{64}9-\frac{64}9}}{-\frac23}%%

Da unter der Wurzel 0 steht, fällt die Fallunterscheidung weg.

       %%=\frac{-\frac83}{-\frac23}=4%%

 

Die Funktion hat demnach eine Nullstelle %%x_1=\left(-2\vert0\right)%%

und eine doppelte Nullstelle %%x_{2,3}=\left(4\vert0\right)%%

 

 

Teilaufgabe e

Ableiten

Article 64 not found

%%F_4(x)=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

Funktion Article ableiten (64) not found .

%%F_4'(x)=-x^2+4x%%

Funktion Article ableiten (64) not found .

%%F_4''(x)=-2x+4%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%F_4'(x)=-x^2+4x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=-x^2+4x%%

-x ausklammern.

%%0=-x\left(x-4\right)%%

Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( %%-x\cdot\left(x-4\right)%% ) = 0 ist.

%%-x=0%%  für %%x=0%%

%%x-4=0%% für %%x=4%%

%%{\mathrm{NST}}_1=\left(0\vert0\right),\;{\mathrm{NST}}_2=\left(4\vert0\right)%%

 

 

 

Extremum x=0

 

%%F_4(x)=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

Gefundenes x einsetzen.

%%F_4(0)=-\frac13\cdot0^3+2\cdot0^2-\frac{32}3=-\frac{32}3%%

 

%%F_4''(x)=-2x+4%%

Gefundenes x einsetzen.

%%F_4''(0)=-2\cdot0+4=4%%

Da %%F_4''(0)>0%% hat %%F_4(x)%% an der Stelle %%\left(0\vert-\frac{32}3\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(0\vert-\frac{32}3\right)%%

 

 

 

Extremum x=4

 

%%F_4(x)=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

Gefundenes x einsetzen.

%%F_4(4)=-\frac13\cdot4^3+2\cdot4^2-\frac{32}3=0%%

 

%%F_4''(x)=-2x+4%%

Gefundenes x einsetzen.

%%F_4''(4)=-2\cdot4+4=-4%%

Da %%F_4''(4)

%%\mathrm{HP}=\left(4\vert0\right)%%

 

 

 

Wendepunkt bestimmen

%%F_4''(x)=-2x+4%%

Gefundenes x einsetzen.

%%0=-2x+4%%

%%\left|{+2x}\right.%%

%%2x=4%%

%%\left|{:2}\right.%%

%%x=2%%

 

%%F_4(x)=-\frac13x^3+2x^2-\frac{32}3%%

Gefundenes x einsetzen.

%%F_4(2)=-\frac13\cdot2^3+2\cdot2^2-\frac{32}3=-\frac{16}3%%

Damit ergeben sich die Koordinaten %%\left(2\vert-\frac{16}3\right)%% .

%%\mathrm{WP}=\left(2\vert-\frac{16}3\right)%%

 

 

Teilaufgabe f

 Geogebra File: /uploads/legacy/817.xml

 

Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter %%\mathrm a\in\mathbb{R}%% durch %%f_a(x)=\frac{-2x^2+50}{x^2+a}%%

  1. Untersuche %%{\mathrm f}_\mathrm a%% auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt %%{\mathrm Y}_\mathrm a%% mit der y-Achse an

  2. Berechne %%\lim_{\mathrm x\rightarrow\sqrt{-\mathrm a}\pm0}\mathrm f(\mathrm x)%% , sofern %%\mathrm a\leq0%%.

  3. Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für  %%\mathrm a=-25,\;\mathrm a=-16%%   und  %%\mathrm a=25%% an.

Teilaufgabe a

Definitionsbereich bestimmen

Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.

%%\mathrm x^2+\mathrm a=0%%

%%\left|-\mathrm a\right.%%

%%\mathrm x^2=-\mathrm a%%

Mache eine Fallunterscheidung für a.

%%\mathrm a>0%% :  Gleichung nie erfüllt

Bestimme den Definitionsbereich.

          %%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}%%

%%\mathrm a\leq0%%%%\mathrm x=\pm\sqrt{-\mathrm a}%%

Bestimme den Definitionsbereich.

         %%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{\pm\sqrt{-\mathrm a}\right\}%%

Nullstellen bestimmen

Setze den Zähler gleich Null

%%-2\mathrm x^2+50=0%%

%%\left|-50\right.%%

        %%-2\mathrm x^2=-50%%

%%\left|:\left(-2\right)\right.%%

             %%\mathrm x^2=25%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

              %%\mathrm x=\pm5%%

Gib die beiden Nullstellen an

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm x}_1=-5\;\;,\;\;{\mathrm x}_2=5%%

Y-Achsenabschnitt bestimmen

Setze 0 in die Funktion ein

%%{\mathrm f}_\mathrm a(0)=\frac{-2\cdot\left(0\right)^2+50}{\left(0\right)^2+\mathrm a}=\frac{50}{\mathrm a}%%

Gib den Schnittpunkt an.

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm Y}_\mathrm a\left(\left.0\;\right|\;\frac{50}{\mathrm a}\right)%%

                        

Teilaufgabe b

Grenzwert berechnen

%%{\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac{-2\mathrm x^2+50}{\mathrm x^2+\mathrm a}%%

Faktorisiere die Funktion für %%\mathrm a\leq0%%.

       %%=\frac{-2\left(\mathrm x+5\right)\left(\mathrm x-5\right)}{\left(\mathrm x+\sqrt{-\mathrm a}\right)\left(\mathrm x-\sqrt{-\mathrm a}\right)}%%

Berechne nun den Grenzwert

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\sqrt{-\mathrm a}\pm0}{\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=%%

  %%=\lim_{\mathrm x\rightarrow\sqrt{-\mathrm a}\pm0}\frac{-2\left(\mathrm x+5\right)\left(\mathrm x-5\right)}{\left(\mathrm x+\sqrt{-\mathrm a}\right)\left(\mathrm x-\sqrt{-\mathrm a}\right)}%%

Setze die Grenze ein.

%%=\frac{-2\left(\sqrt{-\mathrm a}+5\right)\left(\sqrt{-\mathrm a}-5\right)}{\left(\sqrt{-\mathrm a}+\sqrt{-\mathrm a}\right)\underbrace{\left(\sqrt{-\mathrm a}-\sqrt{-\mathrm a}\right)}_{{}_{-0\;\Rightarrow0}}}%%

 Bestimme nun den Grenzwert.

%%\overset{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}{\rightarrow\pm\infty}%%

                                      

Teilaufgabe c

Funktionsterme bestimmen

%%{\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac{-2\mathrm x^2+50}{\mathrm x^2+\mathrm a}%%

Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme

%%{\mathrm f}_{-25}(\mathrm x)=\frac{-2\mathrm x^2+50}{\mathrm x^2-25}%%

           %%=\frac{-2\left(\mathrm x^2-25\right)}{\left(\mathrm x^2-25\right)}=-2%%

Beachte hier aber die Definitionslücken beim einzeichnen!

%%{\mathrm f}_{-16}(\mathrm x)=\frac{-2\mathrm x^2+50}{\mathrm x^2-16}%%

%%{\mathrm f}_{25}(\mathrm x)=\frac{-2\mathrm x^2+50}{\mathrm x^2+25}%%

Skizze

Geogebra File: /uploads/legacy/7561_OBHoLO9aq7.xml

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