Nullstellen von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

%%f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x)%%, wobei %%b\in\mathbb{R}^+%% und %%b\neq 1%% gilt.

%%b%% heißt Basis des Logarithmus.

ln Funktion


Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion %%f(x)=\log_b(x)%%. Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:

%%0=\log_b(x_0)%%

Da die Logarithmusfunktion %%y=\log_b(x)%% die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form %%y=b^x%% ist, gilt: %%x=b^y%%.

Daraus folgt für die Nullstelle: %%x_0=b^0=1%%

%%\Rightarrow%% Eine Logarithmusfunktion der Form %%f(x)=\log_b(x)%% hat die Nullstelle bei %%x_0=1%%.

Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form %%f(x)=\log_b\left(g(x)\right)%% sein, bei der das Argument %%g(x)%% eine beliebige Funktion ist.

Allgemein gilt also:

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.

Beispiele

%%a)\;\;\;f(x)=\log_3{(x^2-x-1)}=0%%

Setze das Argument %%x^2-x-1%% gleich Eins und löse die Gleichung.

%%x^2-x-1=1%%

%%\vert-1%%

%%x^2-x-2=0%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}%%

%%\displaystyle \phantom{x_{1,2}}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}%%

%%x_1=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac42=2%%

%%x_2=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1%%

Die Funktion %%f(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=2%%, %%x_2=-1%%.


%%b)\;\;\;f(x)=\mathrm{ln}(\mathrm {cos}(x)+0,5)%%

Setze das Argument %%\mathrm{cos}(x)+0,5%% gleich Eins und löse die Gleichung.

%%\mathrm {cos}(x)+0,5=1%%

%%\vert-0,5%%

%%\mathrm{cos}(x)=0,5%%

%%\vert\mathrm{cos}^{-1}%%

%%x=\mathrm{cos}^{-1}(0,5)%%

%%x=\frac13\pi%%

%%\Rightarrow N=\{\frac13\pi+2\;\pi k \;|\;k\in \mathbb Z\}%%

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