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13Nullstellen von Logarithmusfunktionen

ln Funktion

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

f:R+R,xlogb(x)f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x), wobei bR+b\in\mathbb{R}^+ und b1b\neq 1 gilt.

bb heißt Basis des Logarithmus.

Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x). Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:

0=logb(x0)0=\log_b(x_0)

Da die Logarithmusfunktion y=logb(x)y=\log_b(x) die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form y=bxy=b^x ist, gilt: x=byx=b^y.

Daraus folgt für die Nullstelle: x0=b0=1x_0=b^0=1

\Rightarrow Eine Logarithmusfunktion der Form f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) hat die Nullstelle bei x0=1x_0=1.

Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form f(x)=logb(g(x))f(x)=\log_b\left(g(x)\right) sein, bei der das Argument g(x)g(x) eine beliebige Funktion ist.

Allgemein gilt also:

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.

Beispiele

a)      f(x)=log3(x2x1)=0a)\;\;\;f(x)=\log_3{(x^2-x-1)}=0

Setze das Argument x2x1x^2-x-1 gleich Eins und löse die Gleichung.

x2x1\displaystyle x^2-x-1==1\displaystyle 11\displaystyle -1
x2x2\displaystyle x^2-x-2==0\displaystyle 0

Mitternachtsformel anwenden.

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==1±(1)241(2)21\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}
==1±92=1±32\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}

x1=1+32=42=2x_1=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac42=2

x2=132=22=1x_2=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1

Die Funktion f(x)f(x) hat zwei Nullstellen bei x1=2x_1=2, x2=1x_2=-1.

b)      f(x)=ln(cos(x)+0,5)b)\;\;\;f(x)=\mathrm{ln}(\mathrm {cos}(x)+0{,}5)

Setze das Argument cos(x)+0,5\mathrm{cos}(x)+0{,}5 gleich Eins und löse die Gleichung.

cos(x)+0,5\displaystyle \mathrm {cos}(x)+0{,}5==1\displaystyle 10,5\displaystyle -0{,}5
cos(x)\displaystyle \mathrm{cos}(x)==0,5\displaystyle 0{,}5cos1\displaystyle \vert\mathrm{cos}^{-1}
x\displaystyle x==cos1(0,5)\displaystyle \mathrm{cos}^{-1}(0{,}5)

x=13πx=\frac13\pi

N={13π+2  πk    kZ}\Rightarrow N=\{\frac13\pi+2\;\pi k \;|\;k\in \mathbb Z\}


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