13Nullstellen von Logarithmusfunktionen
Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift
f:R+→R,x↦logb(x), wobei b∈R+ und b=1 gilt.
b heißt Basis des Logarithmus.
Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion f(x)=logb(x). Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:
0=logb(x0)
Daraus folgt für die Nullstelle: x0=b0=1
⇒ Eine Logarithmusfunktion der Form f(x)=logb(x) hat die Nullstelle bei x0=1.
Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form f(x)=logb(g(x)) sein, bei der das Argument g(x) eine beliebige Funktion ist.
Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.
Beispiele
a)f(x)=log3(x2−x−1)=0
Setze das Argument x2−x−1 gleich Eins und löse die Gleichung.
| x2−x−1 | = | 1 | −1 |
| x2−x−2 | = | 0 | |
| ↓ | Mitternachtsformel anwenden. |
| x1,2 | = | 2⋅11±(−1)2−4⋅1⋅(−2) | |
| = | 21±9=21±3 | |
x1=21+3=24=2
x2=21−3=2−2=−1
Die Funktion f(x) hat zwei Nullstellen bei x1=2, x2=−1.
b)f(x)=ln(cos(x)+0,5)
Setze das Argument cos(x)+0,5 gleich Eins und löse die Gleichung.
| cos(x)+0,5 | = | 1 | −0,5 |
| cos(x) | = | 0,5 | ∣cos−1 |
| x | = | cos−1(0,5) | |
⇒N={31π+2πk∣k∈Z}
