13Nullstellen von Logarithmusfunktionen

Betrachte eine beliebige Logarithmusfunktion $f(x)=\log_b(x)$. Setze zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion gleich Null:

Da die Logarithmusfunktion $y=\log_b(x)$ die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form $y=b^x$ ist, gilt: $x=b^y$.

Daraus folgt für die Nullstelle: $x_0=b^0=1$

$\Rightarrow$ Eine Logarithmusfunktion der Form $f(x)=\log_b(x)$ hat die Nullstelle bei $x_0=1$.

Die Logarithmusfunktion kann auch von der Form $f(x)=\log_b\left(g(x)\right)$ sein, bei der das Argument $g(x)$ eine beliebige Funktion ist.

Allgemein gilt also:

Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist.

Beispiele

Die Funktion $f(x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_1=2$, $x_2=-1$.

$\Rightarrow N=\{\frac13\pi+2\;\pi k \;|\;k\in \mathbb Z\}$