Übungsaufgaben 2. SA 11 Stochastik

1
Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mithilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
1. Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?
  Manfred hat in der letzten Mathestunde Quatsch gemacht.
  Manfred hat die relativen Häufigkeiten dargestellt.
  Manfred hat die absoluten Häufigkeiten dargestellt.
2. Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?
  Mal
3. Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?
  Christian hat wirklich den besten Würfel.
  Peter behauptet das, weil bei Christian die relative Häufigkeit mit $\frac15$ am größten ist.
  Christian hat nicht unbedingt einen besseren Würfel.
  Christian hat am meisten die 6 geworfen, weil er sich am meisten angestrengt hat.
2
Ein Viertel aller Schüler einer Klasse hat einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler hat beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
- $0$ Schüler hat keine Haustiere.
- Die Hälfte $\left(\dfrac12\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
- Ein Viertel $\left(\dfrac14\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
3
In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?
- Sport ist bei den Jungs beliebter.
- Sport ist bei den Mädchen beliebter.
4
Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse
$\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$
Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_1$
bis $E_3$ gegeben.
$E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}$ ; $P\left(E_1\right)=0{,}2$
$E_2:=\{\omega_3\}$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}5$
$E_3:=\left\{\omega _4\right\}$ ; $P\left(E_3\right)=0{,}5$
1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.
2. Ändere $P\left(E_3\right)$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.
3. Berechne $P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)$ unter der Voraussetzung, dass $\operatorname{\omega}_1$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $\operatorname{\omega}_2$ .
5
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?
Begründe deine Entscheidung.
- Werfen einer Münze
- Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.
6
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
- Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
- Ziehen einer Karte aus einem gewöhnlichen Set Spielkarten mit 52 Karten
- Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen
- Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit unterschiedlichen 10 Kugeln
7
Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:
Zufallsexperiment 1
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 2
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 3
Drehen des folgenden Glücksrades:
Wähle alle Zufallsexperimente, die nicht zu einem Laplace-Experiment gehören.
- Zufallsexperiment 3
- Zufallsexperiment 1
- Zufallsexperiment 2
8
Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.
9
Gib für folgende Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt:
1. Ein aus dem abgebildeten Netz gebastelter „Würfel“ wird geworfen und die oben liegende Farbe wird notiert.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment.
2. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Zahl wird betrachtet.
  Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Farbe wird betrachtet.
  1 ist ein Laplace-Experiment.
  1 ist kein Laplace-Experiment.
  2 ist ein Laplace-Experiment.
  2 ist kein Laplace-Experiment.
3. Aus einer Tüte mit 13 roten, 9 grünen, 12 gelben und 21 weißen Gummibärchen wird zufällig ein Gummibärchen ausgewählt.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment
10
Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib $P(B)$ an.
- $P(B)=\frac12$
- $P(B)=\frac23$
- $P(B)=\frac13$
- $P(B)=\frac63$
11
Aus einem Bridge-Spiel (52 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
1. A: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte"
2. B: ="Die gezogene Karte ist eine Dame"
3. C: ="Die gezogene Karte ist Pik-Dame"
4. D: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte oder eine Dame"
5. F: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte, aber keine Dame"
6. G: ="Die gezogene Karte ist eine Dame, aber keine Pikkarte"
7. H: ="Die gezogene Karte ist weder Pik noch Dame".
12
Eine natürliche Zahl x mit $20<x\le30$ wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. eine Primzahl gezogen wird
  %
2. eine gerade Zahl gezogen wird
  %
3. eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird
  %
4. eine durch 4 und gleichzeitig durch 6 teilbare Zahl gezogen wird?
  %
13
Die Oberfläche eines Würfels wird blau eingefärbt.
Dann wird der Würfel durch 6 parallel zur Würfeloberfläche verlaufende Schnitte in 27 kongruente Teilwürfel zerlegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein willkürlich herausgegriffener Teilwürfel
1. keine blaue Fläche hat. Gib die Antwort als Dezmalzahl ein.
  %
2. genau zwei blaue Flächen hat? Gib die Antwort als Dezimalzahl ein
  %
14
In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.
1. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?
  %
2. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?
  %
15
30 Würfe mit einem Würfel ergaben folgendes Ergebnis:
Augen
1
2
3
4
5
6
Anzahl
4
6
2
6
5
7
Überprüfe mit diesen Zahlen die 3. Eigenschaft von relativer Häufigkeit
$h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)$
durch Rechnen.
Benutze dazu diese Ereignisse:
- $A$ : Die Menge der Würfe mit maximal 3 Augen.
- $B$ : Die Menge der Würfe mit gerader Augenzahl.
16
Gegeben: $P\left(E_1\right)=0{,}4$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}7$ ; $P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3$
Berechne:
1. $P\left({\overline E}_1\right)$
2. $P\left(E_1\cup E_2\right)$
3. $P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$
4. $P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)$
5. $P(\overline{E_2})$
17
Gegeben ist: $P(A)=\frac15$ ; $P(\overline B)=\frac13$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac16$
Berechne:
1. $P\left(A\cup B\right)$
2. $P\left(\overline A\cap\overline B\right)$
3. $P\left(\overline A\cup B\right)$
18
Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:
$A:={}$ „Die Augensumme ist gerade“
$B:={}$ „Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: $P(A)=P(B)=0{,}5$ ; $P(A\cap B)=0{,}25$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit von:
1. $E_1:$ „ $A$ und-oder $B$ treten ein“
2. $E_2:$ „entweder $A$ oder $B$ tritt ein“
19
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Glocken-Apotheke bietet ihren erkälteten Kunden Hustensaft (H), Kopfschmerztabletten (K) und Nasenspray (N) an, wobei jeder entsprechende Kunde mindestens eines dieser Produkte erwirbt. Im Folgenden werden nur diese drei Medikamente betrachtet.
Aus Erfahrung weiß der Apotheker, dass unabhängig voneinander 25% der Kunden einen Hustensaft erwerben und jeder fünfte Kunde Kopfschmerztabletten kauft. Kunden kaufen zu 60% auch ein Nasenspray, wenn sie mindestens eines der anderen Medikamente erwerben. Der Einkauf eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 7 Elementarereignisse. (5 BE)
  [Teilergebnis: $P({H\overline{K}N})=0{,}12$ ]
2. Gegeben seien folgende Ereignisse:
  $E_1$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“
  $E_2$ : „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“
  $E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}$
  Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. Beschreiben Sie $E_3$ möglichst einfach in Worten und berechnen Sie $P(E_3)$ . (5 BE)
20
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Apotheker bietet seinen Kunden nur Hustensaft der Marken A und B an. Von 500 Hustensaftkäufern entscheiden sich 400 für den Hustensaft A. Bei 280 der Kunden, die Hustensaft A kaufen, tritt eine Verbesserung der Symptome ein. Von den Käufern der Hustensaftmarke B geben 30 an, dass keine Verbesserung der Symptome auftritt.
1. Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, überprüfen Sie, ob die Ereignisse
  A: „Ein Kunde kauft Hustensaft der Marke A.“ und
  V: „Es tritt eine Verbesserung der Symptome auf.“
  stochastisch unabhängig sind und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)
2. Berechnen Sie $P(\overline{A}\cup V)$ . (2 BE)
21
1.0 Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Die Fluggesellschaft TransAir bietet ihren Fluggästen neben den Standardmenüs $(S)$ auch vegetarische Menüs $(\overline{S)}$ an. Es werden nun die Fluggäste betrachtet, die tatsächlich essen und trinken. Diese Passagiere entscheiden sich zu 80% für den Menütyp $S$ und von diesen wählen 75% Fleisch $(F)$ , der Rest Fisch $(\overline F)$ . Von denen, die den Menütyp $S$ bevorzugen, entscheidet sich ein Fünftel für vegane Kost $(V)$ , der Rest für nicht vegane Kost $(\overline{V)}$ . Alle Fluggäste haben ferner die Wahlmöglichkeit zwischen einem alkoholischen Getränk $(A)$ und einem alkoholfreien Getränk $(\overline{A)}$ . Wählt ein Fluggast ein Standardmenü, so entscheidet er sich zu 50% für ein alkoholisches Getränk, ansonsten nur zu 25%. Die Entscheidung eines zufällig ausgewählten Passagiers für Menütyp, Speise und Getränk wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1.1 Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
1.2.0 Gegeben seien folgende Ereignisse:

$E_1$ : „Ein Fluggast entscheidet sich für ein alkoholfreies Getränk.“

$E_2=\{SFA;SF\overline A;\overline SVA;\overline SV\overline{A\}}$
1.2.1 Geben Sie $E_!$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_2$ möglichst einfach in Worte. Prüfen Sie ferner $E_1$ und $E_2$ auf stochastische Unabhängigkeit.
1.2.2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(E_1\cup E_2)$ .
1.2.3 Analysieren Sie den Fehler in der Rechnung $P(E_2)=\frac48=0{,}5$ .
22
Herr Huber hat eine Alarmanlage in seinem Auto installiert. Es werden die Ereignisse A: „Alarmanlage springt an“ und K: „Jemand versucht, das Auto aufzubrechen“ betrachtet. Beschreiben Sie folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Worten: $P_K\left(\overline{A}\right),\;P_{\overline K}\left(A\right),\;P_K\left(A\right),\;P_A\left(K\right)$ .
Welche dieser bedingten Wahrscheinlichkeiten sollten hoch bzw. niedrig sein?

Augen	1	2	3	4	5	6
Anzahl	4	6	2	6	5	7

In einer Gruppe von 900 Personen haben sich 600 prophylaktisch gegen Grippe impfen lassen. Nach einer bestimmten Zeit wurde jedes Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte. Die Ergebnisse werden in einer 4-Feldtafel dargestellt.

Gruppe	$B\text{(erkrankt)}$	$\overline {B}\text{(gesund)}$	Summe
$A\text{(geimpft)}$	$60$	$540$	$600$
$\overline{A}\text{(ungeimpft)}$	$120$	$180$	$300$
Summe	$180$	$720$	$900$

Das Ereignis A sei "Person ist geimpft" und das Ereignis B: "Person erkrankt".

Berechnen Sie:

$P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ , $P_A(B)$ , $P_B(A)$ sowie $P( \overline A$ $\cap B)$ und $P_{\overline{A}}(B)\$ .

Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Ergebnisse in Textform an.

24
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
In einem Großversuch wurde ein Medikament getestet. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle festgehalten. Dabei bedeuten:
- $M$ : Medikament genommen
- $\overline M$ : Placebo genommen
- $G$ : Gesund geworden
- $\overline G$ : nicht gesund geworden
$G$
$\overline G$
Summe
$M$
$6312$
$87$
$6399$
$\overline M$
$312$
$4390$
$4702$
Summe
$6624$
$4477$
$11101$
1. Stelle die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel dar und stelle die dazugehörigen Baumdiagramme auf.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Medikament eingenommen hat, zu genesen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Placebo eingenommen hat, nicht zu genesen?
25
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
An einem Berufskolleg werden alle 674 Schüler/innen befragt, ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der Befragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Schüler (männlich) gaben an zu rauchen. 250 Schülerinnen gaben an, nicht zu rauchen.
1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel dar. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):
  A: Die Person ist männlich.
  B: Die Person ist Raucher
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?
3. Der Schulleiter sieht eine Schülerin im Aufenthaltsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Schülerin Nichtraucherin?
4. Untersuchen Sie, ob das Ereignis "männlich" und das Ereignis "Raucher" voneinander abhängige Ereignisse sind.
26
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Mehr Abiturientinnen als Abiturienten:
52,4% der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und in Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1% deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8%).
1. Stellen Sie eine 4-Feldtafel auf, die diesen Sachzusammenhang beschreibt.
2. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Herkunft" (Ost, West) und dem 2. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich).
3. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich) und dem 2. Merkmal "Herkunft" (Ost, West).
4. Aus der Gesamtheit aller Abiturientinnen und Abiturienten des betrachteten Jahrgangs wurde eine Person zufällig ausgewählt.
  (1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Person aus Ostdeutschland?
  (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die ausgewählte Person eine Frau?
  (3) Falls diese Person aus Ostdeutschland kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Mann?
  (4) Falls diese Person eine Frau ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Westdeutschland?
27
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gegeben sind Ereignisse A, B mit $P\left(A\right)=0{,}72$ , $P\left(A\cap B\right)=0{,}18$ , $P\left(A\cup B\right)=0{,}832$ . Wie groß sind dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_B\left(A\right)$ und $P_{\overline{A}}\left(B\right)$ ?
28
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
(Aus dem Leistungskurs-Abitur Bayern 2008/IV) In einem Molkereibetrieb wird Fruchtjoghurt hergestellt und in Becher abgefüllt. In dem Betrieb werden täglich gleich viele Becher der Sorten Erdbeere, Kirsche, Heidelbeere und Ananas abgefüllt. Bei einer Tagesproduktion, bei der 4 % der Becher einen defekten Deckel aufweisen, fällt auf, dass unter den Erdbeerjoghurtbechern sogar jeder zehnte Deckel fehlerhaft ist.
1. Bestimmen Sie den Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten. Klären Sie, ob es durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt gelingen kann, den angestrebten Qualitätsstandard von insgesamt höchstens 1 % Ausschussanteil einzuhalten.
2. Alle Becher mit defektem Deckel dieser Tagesproduktion werden aussortiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Becher, der zufällig aus den verbleibenden Bechern ausgewählt wird, Erdbeerjoghurt?
29
An Freitagen fehlen David und Clara oft in der Schule, und zwar David mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und Clara mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,45. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide anwesend sind, beträgt nur 0,4. Sind die Abwesenheit von David und Clara unabhängige Ereignisse?
30
Bei einem Preisausschreiben gibt es 6 Gewinner, auf die 3 Laptops und 3 Fernseher verteilt werden sollen. Dies soll durch das Werfen einer Münze geschehen, wobei Kopf einem Fernseher und Zahl einem Laptop entspricht. Nacheinander wird für die Gewinner geworfen, bis keine Auswahlmöglichkeit mehr besteht, da nur noch entweder Laptops oder Fernseher verfügbar sind.
1. Hat nach diesem System jeder Gewinner die gleichen Chancen auf einen Laptop?
2. Ist es für je zwei der Gewinner gleichwahrscheinlich, einen Fernseher zu erhalten?
31
Herr Müller kommt im Durchschnitt an 8 von 100 Tagen zu spät zur Arbeit. Zu seiner Arbeitsstätte fährt er manchmal mit dem eigenen Auto, an 60% aller Arbeitstage nimmt er jedoch öffentliche Verkehrsmittel. Er hat beobachtet, dass er durchschnittlich in 5% aller Fälle mit dem Auto unterwegs ist und zu spät zur Arbeit kommt.
Sind das Zu-Spät-Kommen und die Nutzung des eigenen Autos voneinander stochastisch unabhängig?

	$G$	$\overline G$	Summe
$M$	$6312$	$87$	$6399$
$\overline M$	$312$	$4390$	$4702$
Summe	$6624$	$4477$	$11101$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
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