Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen

Übersicht

Eine "komplizierte" Aufgabe (1/2)

Eine "komplizierte" Aufgabe (2/2)

Bruchterme

Umformungen (1/2)

Umformungen (2/2)

Übungsaufgaben

Überleitung

Brüche ohne Variable im Nenner

Beispiele 

Brüche ohne Variable im Zähler

Beispiele

Brüche mit Variable im Zähler und Nenner

Beispiel (1/2)

Beispiel (2/2)

Übungsaufgabe

Kombinierte Aufgaben

Zusatzwissen: Bilden von Stammfunktionen

Zusammenfassung

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Was heißt eigentlich “Serlo”?

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Unsere Vision

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{u(x)}}{\color{#009999}{v(x)}}=\dfrac{\color{#ff6600}{4x^2+3}}{\color{#009999}{2x}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle (\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (\color{#009999}{2x})^{-1}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{u'(x)}\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-1}+\color{#ff6600}{u(x)}\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-2}\cdot \color{#009999}{v'(x)}$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{8x}\cdot (\color{#009999}{2x})^{-1}+(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{2x})^{-2}\cdot \color{#009999}{2}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{2}}{(\color{#009999}{2x})^2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{2}}{\color{#009999}{4x^2 }}$
	↓	Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 2.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)}{\color{#009999}{ 2x^2 }}$
	↓	Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2}{2x^2}+\dfrac{(4x^2+3)\cdot (-1)}{2x^2}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2+(4x^2+3)\cdot (-1)}{2x^2}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2-4x^2-3}{2x^2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4x^2-3}{2x^2}$

16Beispiel (1/2)

Lösungsvariante 1: mit Produkt- und Kettenregel