Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

Der Graph der Funktion f mit $f\left(x\right)=x^2+tx+1$ verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der y-Achse.

Zeige, dass es keinen Wert von $a$ gibt, sodass der Graph von $f (x) = a x^{2} + 1$ die Normalparabel berührt.

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung $f (x)$ hat ihren Scheitel in $S (0 ∣ 6)$ und schneidet die x-Achse im Punkt $P_x(2\sqrt3|0)$

Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen.

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Ermitteln Sie die Koeffizienten $a_{2}$ und $a_{1}$ so, dass die Funktion $f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ an den Stellen $x = - 1$ und $x = 0, 5$ die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion $g (x) = 2 x - 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x = - 1$ und $x = 0, 5$ , den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x = - 1$ und $x = 0, 5$ in $g (x)$ einsetzt.

$g (x) = 2 x - 1$

$g(-1)=2\cdot\left(-1\right)-1=-3$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)$

$g(0{,}5)=2\cdot0{,}5-1=0$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$

Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$

$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$

Setze $\mathrm{P}_1\left(-1|-3\right)$ in $f (x)$ ein.

$\displaystyle f\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(-1\right)^2+a_1\cdot\left(-1\right)+3$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle a_2-a_1+3$	$=$	$\displaystyle -3$

$a_{1}$ und $a_{2}$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f (- 1) = - 3$ ist und $P_{1}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Setze ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$ in $f (x)$ ein.

$\displaystyle f\left(0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(0{,}5\right)^2+a_1\cdot0{,}5+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0{,}25a_2+0{,}5a_1+3$	$=$	$\displaystyle 0$

$a_{1} $ und $a_{2} $ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f (0, 5) = 0$ ist und $P_{2}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $a_{1}$ und $a_{2}$ ) und kannst dieses lösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II)&0{,}25a_2+0{,}5a_1+3&=&0\end{array}$

Nimm die $I I)$ Gleichung $\cdot 4$ , um sie zu vereinfachen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II')&a_2+2a_1+12&=&0\end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}I)-II'):&\left(a_2-a_1+3\right)-\left(a_2+2a_1+12\right)&=&-3-0\\&a_2-a_1+3-a_2-2a_1-12&=&-3\\&-3a_1-9&=&-3&|+9\\&-3a_1&=&6&|:(-3)\\&a_1&=&-2\end{array}$

Jetzt kannst du $a_{1}$ in Gleichung $I)$ , $I I)$ oder $I I^{'})$ einsetzen und nach $a_{2}$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I)& a_2-(-2)+3&=&-3\\&a_2+2+3&=&-3\\&a_2+5&=&-3&|-5\\&a_2&=&-8\end{array}$

Du hast also jetzt $a_{1}$ und $a_{2}$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f(x)=-8\mathrm x^2-2\mathrm x+3$

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5

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.

Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Beschreibe schrittweise, wie $f (x)$ aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.
Zeichne den Graphen von $f (x)$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen:

$x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

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$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle \mathrm{D}$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3{,}414$

${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

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$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x-3\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-7\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4{,}64$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+3=3$

$f\left(0\right)=3$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

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$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+9\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1{,}35$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0-9=-9$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

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$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-4x+5$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\frac12\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6{,}45$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1{,}55$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+5=5$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 3 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

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$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)$ ; ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+6=6$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 8 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

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$f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2$

$f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
	↓	$-\frac23$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(x^2-\frac{9}{8}x-\frac{18}{2}\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x^2-\frac98x-\textstyle9\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x^2-\frac98x+\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-9-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac98\cdot\frac12\right)^2-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-\textstyle9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\left(\frac9{16}\right)^2-\textstyle9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\cdot\left(-\frac23\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(\frac9{16}\;\vert\;\frac{795}{128}\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac23\right)}\cdot6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac{12}3\right)}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-4\right)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{265}{16}$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}+\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx-2{,}49$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2{,}49\vert0\right)$

$x_2=\frac{-{\displaystyle\frac34}-\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx3{,}61$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3{,}61\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6$

x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0+6=6$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac23$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um $\frac9{16}$ LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um $\frac{795}{128}$ LE nach oben.

Zeichnung

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6

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ mit $f(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R}$ und $g(x)=0{,}5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}$

Zeichne die Graphen von $f (x)$ und $g (x)$ in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich $f (x)$ und $g (x)$ auf der x-Achse schneiden.

$S\left(-1{,}5|2{,}25\right)$ ist der Scheitel von $f (x)$ .

Gib den Scheitel von $g (x)$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\g\left(x\right)=0{,}5x\left(x+3\right)\end{array}$

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. $\rightarrow$ Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(0\vert0\right)$

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$
	↓	$f (x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -3x$	$\displaystyle :x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	$g (x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+3\right)$
	↓	Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x+3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

Scheitel bestimmen

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. $\rightarrow$ Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umformen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\cdot0{,}5$	$\displaystyle 0{,}5=\frac{1}{2}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}$

$\rightarrow$ $\mathrm S\left(-\frac32\vert-\frac98\right)$

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

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Die Gerade $x = u$ schneidet den Graphen von $f (x)$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g (x)$ im Punkt $Q$ . Gib $P$ und $Q$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Funktionen
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $f (x)$ :
$\mathrm f(\mathrm u)=-\mathrm u^2-3\mathrm u$
Ablesen der Koordinaten.
$\rightarrow$ $\mathrm P\left(\mathrm u\vert-\mathrm u^2-3\mathrm u\right)$
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $g (x)$ :
$g(\mathrm u)=0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)$
$\rightarrow$ $\mathrm Q\left(\mathrm u\vert0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)\right)$
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Rechtecke
Für $u\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für $u = - 1$ und den Umfang $U$ in Abhängigkeit von $u$ .
Im Bild ist $u = - 2, 5$ :

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke
Es gilt: $\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0{,}5u(u+3)\vert=\vert-1{,}5u^2-4{,}5u\vert$
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x = - 1, 5$ , gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$ :
$x_{R} = x_{S} = - u - 3$
Damit folgt: $\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert$ und für $u = - 1$ ergibt sich: ${\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1$
Da für $x\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ die Funktion $f (x)$ oberhalb von $g (x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $\overline{PQ}=-1{,}5u^2-4{,}5u$ .
Für $u = - 1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1{,}5+4{,}5=3$
Der Umfang beträgt allgemein: $U=2(\vert2u+3\vert-1{,}5u^2-4{,}5u)$
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Verschiebe die Parabel $g (x)$ in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von $f (x)$ berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Damit sich die Graphen der Funktion $f (x)$ und der verschobenen Funktion $g (x) + c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f (x) = g (x) + c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f (x) - (g (x) + c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.
$f (x) = g (x) + c$
$\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0{,}5x(x+3)+c$
$\Leftrightarrow\;-1{,}5x^2-4{,}5x-c=0$
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D = 0$ gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{-(-4{,}5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1{,}5)}=-1{,}5$ .
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt: $B = S = (- 1, 5 ∣ 2, 25)$ .
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Bestimme $a$ so, dass $f (a) - f (a + 1) = 4$ ist.

7

Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion $f (x) = x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ erfüllt sein, damit $f (x)$ keine Nullstellen besitzt?

8

Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel $y = x^{2} + 2 x$ keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.

9

Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen $y_{a} = x + 1$ und $y_b=\frac{1}{2x}$ .

Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

10

Beschreibe, worin sich die Parabeln $y = 3 x^{2} - 18 x + 27$ und $y=\frac13x^2-2x+3$ unterscheiden, indem du sie in Scheitelpunktsform umwandelst.

11

Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme $\frac{a-2}{8-8a+2a^2}$ und $\frac1{2a-4}$ äquivalent sind.

12

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 5$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 1$

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

$f(x)=x^2-3x+3{,}5$

$f (x) = x^{2} + x - 3$

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 5$

$f(x)=\frac{1}{2}x^2+x+2$

$f(x)=-\frac{3}{4}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$
	↓	Distributivgesetz anwenden und $-\frac{3}{4}$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x^2-\frac{8}{9}x+\frac{2}{9}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x^2-\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^2-\left(\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{9}\right)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\left(\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{9}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}+\frac{2}{9}\right)$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}+\frac{18}{81}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{81}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{81}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)$
	↓	Mit 3 und 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{1}{27}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{1}{54}$

Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(\frac49\left|-\frac1{54}\right.\right)$

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$f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

13

Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

$f (x) = x^{2} + 4 x - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x-5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-\left({\textstyle2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-9$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-2\left|-9\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f (x) = x^{2} + 4 x - 5$

Setze $f (x) = 0$ . Satz von Vieta anwenden.

$0=\left(\mathrm x-1\right)\left(x+5\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-5\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) = x^{2} + 4 x - 5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+4\cdot0-5$

$f (0) = - 5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-5\right)\;$

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$f (x) = - x^{2} - x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-x+6$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x-6\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|\frac{25}4\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f (x) = - x^{2} - x + 6$

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+x-6\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\mathrm x-2\right)\left(\mathrm x+3\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2\;\mathrm |\;0\right)\;\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-3\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) = - x^{2} - x + 6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f (0) = 0^{2} - 0 + 6$

$f (0) = 6$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;6\right)\;$

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$f (x) = - x^{2} - 4 x - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x-4$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2+4\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-{\textstyle2}\left|\textstyle0\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 4$

Setze $f (x) = 0$ . Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+4x+4\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\left(x+2\right)\left(x+2\right)\right)$

$\rightarrow\;$ $\mathrm x=-2$ $\rightarrow\;$ Doppelte Nullstelle

Schnittpunkt mit der x-Achse

$\mathrm x=-2$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_\mathrm x\left(-2\;\mathrm |\;0\right)\;$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 4$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-4\cdot0-4$

$f (0) = - 4$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-4\right)\;$

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$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-6$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-6\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{8}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{49}8\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Setze $f (x) = 0$ .

$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	↓
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+4\right)\left(x-3\right)\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-4\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac120^2+\frac12\cdot0-6$

$f (0) = - 6$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |-\;6\right)\;$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5539_jpXD0wn36C.xml

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$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-4x+5$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-4\cdot\frac{2}{1}x+5\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x-4\right)^2-6\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-4\right)^2-6\cdot\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-4\right)^2-3$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(4\left|\textstyle-3\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Setze $f (x) = 0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=16-4\cdot\frac{1}{2}\cdot5=16-10=6$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6$

$x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6$ ; $x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac12\cdot0^2-4\cdot0+5$

$f (0) = 5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |5\right)\;$

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$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^2+x-1$
	↓	$\frac{1}{4}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac14\left(x^2+{\textstyle x}{\textstyle\cdot}\frac41-{\textstyle1}{\textstyle\cdot}\frac41\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac14\left(x^2+{\textstyle4}{\textstyle x}-\textstyle4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac14(x^2+4x+(\frac42)^2-(\frac42)^2-4)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle4}-\textstyle4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle8\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle8}{\textstyle\cdot}\frac14$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle2$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-2\left|\textstyle-2\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Setze $f (x) = 0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm D=1-4\cdot\frac14\cdot\left(-1\right)=1-{\textstyle1}\cdot\left(-1\right)=2$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{-1+\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle2\sqrt2=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8$

$x_1=\frac{-1+\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=\textstyle-\textstyle2\textstyle-2\textstyle\sqrt2=\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8$ ; $x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt8\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt8\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac140^2+0-1$

$f (0) = - 1$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-1\right)\;$

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$f (x) = 4 x^{2} + x - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2+x-5$
	↓	4 ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x^2+\frac{x}{4}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\textstyle\frac54\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)$
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)$
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{16}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac18\left|\textstyle-\right.\frac{81}{16}\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f (x) = 4 x^{2} + x - 5$

Setze $f (x) = 0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm D=1-4\cdot4\cdot(-5)=1+80=81$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{-1+\sqrt{81}}{2\cdot4}=\frac{-1+9}8=\frac88=1$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{81}}{2\cdot4}=\frac{-1-9}8=\frac{-10}8=-\frac54$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_{1} = 1;$ $x_2=-\frac54$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\to P_x(-\frac54|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) = 4 x^{2} + x - 5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f (0) = 0^{2} + 0 - 5$

$f (0) = - 5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |-5\right)\;$

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$f (x) = - 4 x^{2} - x + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -4x^2-x+5$
	↓	-4 ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2-\frac{x}{-4}+\frac{5}{-4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2+\frac{x}{4}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2+\frac{x}{4}+\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\left(\frac{1}{8}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{1}{64}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{81}{64}\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{81}{64}\cdot\left(-4\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(x+\frac{1}{8}\right)^2+\frac{81}{16}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac18\left|\frac{81}{16}\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f (x) = - 4 x^{2} - x + 5$

Setze $f (x) = 0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot5=1-\left(-80\right)=1+80=81$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{1+9}{-8}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}$

$x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{1-9}{-8}=\frac{-8}{-8}=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=-\frac54\;\;;$ $x_{2} = 1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-\frac54\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) = - 4 x^{2} - x + 5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f (0) = 0^{2} - 0 + 5$

$f (0) = 5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |5\right)\;$

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$f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2$

14

Bestimme die Scheitelform der Parabeln und zeichne sie.

Die Normalparabel wird um 3 gestreckt, um 4 nach rechts und um 1,5 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform

$f(x)=3(x-4)^2-1{,}5$
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Die Normalparabel wird um $\frac12$ gestaucht, um $\frac54$ nach links und um 1 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
$f(x)=\frac12(x+\frac54)^2-1$
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Die Normalparabel wird um 1.75 gestreckt, um 2 nach links und um 5,25 nach oben verschoben. Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform

$f(x)=-1{,}75(x+2)^2+5{,}25$
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15

Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph einer Parabel abgebildet.

Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei $S (3 ∣ 4)$ .
Bestimme nun den Öffnungsfaktor $a$ . Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat $a$ ein negatives Vorzeichen.
Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:
$f (x) = a (x - x_{s})^{2} + y_{s}$
Setze den Scheitel ein:
$ f (x) = a (x - 3)^{2} + 4$
Der Punkt $(1 ∣ 0)$ liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um $a$ zu bestimmen:
$0 = a (1 - 3)^{2} + 4$
$\Rightarrow a=-1$
Gib die vollständige Parabelgleichung an:
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
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Stelle dir vor, dass sich die Parabel in einem beliebig großen Koordinatensystem beliebig fortsetzt. Was ist dann die Definitionsmenge obiger Funktion?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:
$D_f=\mathbb{R}$
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Angenommen, wir hätten zum Zeichnen des Graphen eine (beliebig große) Wertetabelle berechnet: Welches wird mit Sicherheit der größte y – Wert in dieser Tabelle sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .
$y_{\max}=4$
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Markiere im Graphen die Nullstellen und gib diese an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Berechne die Nullstellen von $f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ .
Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.
$x_1=1\ und\ x_2=5$
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Gib nun die Wertemenge der Funktion an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass $y_{max}=4$ ist.
Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als $y = 4$ sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.
Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:
$W =] - \infty; 4] W=]−∞;4]$
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Setze die beiden in c) ermittelten Nullstellen in die Funktionsgleichung ein und bestätige durch Rechnung, dass es tatsächlich Nullstellen sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Berechne die Nullstellen der Funktion.
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Setze $x = 1$ in die Funktionsgleichung ein:
$f_{1} (1) = - (1 - 3)^{2} + 4 = - 2^{2} + 4 = - 4 + 4 = 0$
$\;\;\Rightarrow\;\;x=1$ ist eine Nullstelle.
Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.
$f (5) = - (5 - 3)^{2} + 4 = - 4 + 4 = 0$
$\;\;\Rightarrow\;\;x=5$ ist eine Nullstelle.
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16

Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen $x_1\approx-0{,}7$ und $x_2\approx2{,}7$ gekommen.

Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Setze die Funktion gleich $0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.
$x^{2} - 2 x - 2 = 0$
Nun kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Berechne hierfür die Diskriminante D.
$\mathrm{D}=\left(-2\right)^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=12$
⇒ Die Diskriminante ist positiv, also hat die Gleichung $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ zwei Lösungen.
Bestimme nun die Lösungen:
$x_1=\frac{2+\sqrt{12}}{2}\ =1+\sqrt{3}\approx 2{,}7$
$x_2=\frac{2-\sqrt{12}}{2}=1-\sqrt{3}\approx 0{,}7$
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Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen

Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel $f (x) = x^{2}$ mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:

$\displaystyle x^2-2x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2-\left(2x+2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\left(2x+2\right)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2x+2$

Christian zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm $f (x) = x^{2}$ und eine Geraden mit dem Funktionsterm $g (x) = 2 x + 2$ . Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Vorgehen von Manfred:

Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:

$\displaystyle x^2-2x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$\displaystyle x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x-1\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle \left(x-1\right)^2-1$	$=$	$\displaystyle 2$

Manfred zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm $f(x)=\left(x-1\right)^2-1$ und eine konstante Funktion mit dem Funktionsterm $g (x) = 2$ . Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Vorgehen von Peter:

Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.

$\displaystyle x^2-2x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$\displaystyle x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x-1\right)^2-1-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x-1\right)^2-3$	$=$	$\displaystyle 0$

Peter zeichnet die Parabel mit dem Funktionsterm in Scheitelpunktsform $f (x) = (x - 1)^{2} - 3$ .

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Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen

Bestimme nun graphisch die Lösung der Gleichung $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ mit den verschiedenen Verfahren von Christian, Manfred und Peter.

Christians Methode:

Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel $f (x) = x^{2}$ mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:

$\displaystyle x^2+3x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3x-2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -3x-2$

Christian setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

Er erhält so die Lösungen $x_1\approx -2$ und $x_2 \approx -1$ .

Manfreds Methode:

Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:

$\displaystyle x^2+3x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$\displaystyle x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$	$=$	$\displaystyle -2$

Manfred liest so die Lösungen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = - 2$ ab.

Peters Lösung:

Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.

$\displaystyle x^2+3x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$\displaystyle x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Hauptnenner bilden.
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+\frac{8}{4}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle 0$

Peter liest die Nullstellen $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = - 1$ ab.

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Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung $2 x^{2} - x - 6 = 0$ zu lösen.

Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.

17

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1$ .

Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelform.

Berechne die Achsenschnittpunkte.

Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt, durch den Punkt $P (- 3 ∣ - 1)$ verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung $g (x)$ der verschobenen Parabel?

Wo schneiden sich beide Parabeln?

Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
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18

Ein biologischer Versuch zeigt folgende Messwerte bei der Untersuchung einer Zellkultur:

Benötigte Zeit in h	0	2	4	6	8
Anzahl der Zellteilungen	0	2	8	18	32

Das Wachstum der Zellkultur kann durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.

Berechne die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Die Zeit entspricht den x-Werten im Koordinatensystem, die Anzahl der Zellteilungen den y-Werten.
Allgemeine Gleichung: $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2$
Setze einen der x-Werte und den dazugehörigen y-Wert in die Gleichung ein. In diesem Beispiel: Punkt $\left(4\vert\;8\right)$
$8=\mathrm{a}\cdot4^2$
Löse nach a auf.
$\displaystyle 8$ $=$ $\displaystyle a\cdot4^2$
$\displaystyle 8$ $=$ $\displaystyle 16a$ $\displaystyle :16$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
Setze $a$ in die allgemeine Gleichung $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2$ ein.
$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{x}^2$
Zeichne den Funktionsgraphen.
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Nach welcher Zeit haben 200 Zellteilungen stattgefunden?

h

Wie lange dauert es, bis 1800 Teilungen erfolgt sind?

h

19

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt: $\mathrm{K}\left(\mathrm{v}\right)=0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55$ für $v > 40$ .

Dabei bedeutet $K (v)$ der Kraftstoffverbrauch in $Liter/100\ km$ und $v$ die Geschwindigkeit in $k m / h$ .

Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau $7\frac{Liter}{100km}$ auf?

km/h

Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

km/h

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion

Teilaufgabe 2

v für den geringsten Kraftstoffverbrauch

Da der Kraftstoffverbrauch in Koordinaten die y-Werte darstellt, muss man überlegen, was der kleinste y-Wert der Funktion ist. $\rightarrow$ Der Scheitelpunkt hat den geringsten Wert. Dazu berechne die Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

$\displaystyle \mathrm{K}\left(\mathrm{v}\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55$
	↓	Klammere 0,002 aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm{v}^2-\frac{0{,}18}{0{,}002}\mathrm{v}+\frac{8{,}55}{0{,}002}\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\textstyle4275\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\left(\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)$
	↓	Wandle in eine Binomische Formel um.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2-45^2+\textstyle4275\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\cdot0{,}002$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+4{,}5$

$\rightarrow$ $\mathrm S\left(45\vert\;4{,}5\right)$

$\Rightarrow$ Bei einer Geschwindigkeit von $45\ km/h$ ist der Kraftstoffverbrauch mit $4{,}5\ Liter$ auf $100\ km$ am geringsten.

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$\displaystyle f\left(a\right)-f\left(a+1\right)$	$=$	$\displaystyle -a^2-3a+(a+1)^2+3a+3$
	↓	Binomische Formel ausmultiplizieren:
	$=$	$\displaystyle -a^2+a^2+2a+1+3$
	$=$	$\displaystyle 2a+4$

$\displaystyle y_a$	$=$	$\displaystyle y_b$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2x}$	$\displaystyle \cdot2x$
$\displaystyle 2x\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 2x^2+2x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x^2+2x-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3x^2-18x+27$
	↓	Klammere aus.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\left[x^2-6x+9\right]$
	↓	Ergänze quadratisch.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x-3\right)^2$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-2x+3$
	↓	Klammere aus.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left[x^2-6x+9\right]$
	↓	Ergänze quadratisch.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(x-3\right)^2$

$\displaystyle \frac{a-2}{2(a-2)^2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\left(a-2\right)}$
	↓	Vereinfache den Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2a-4}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+tx+1$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle x^2+tx+(\frac{t}{2})^2-(\frac{t}{2})^2+1$
	↓	Binom bilden
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-(\frac{t}{2})^2$
	↓	Scheitelpunktsform bestimmen
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-\frac{t^2}{4}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	↓	Ergänze quadratisch
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Binomische Formel
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle -(x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle ax^2+1$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -x^2$
$\displaystyle ax^2+1-x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(a-1\right)x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm\sqrt{0^2-4\cdot\left(a-1\right)\cdot1}}{2\cdot\left(a-1\right)}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{-4a+4}}{2a-2}$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -4a+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4a$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \textcolor{660099}{0}$	$=$	$\displaystyle a\cdot(\textcolor{006400}{2\sqrt{3}})^2+6$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(4\cdot3\right)+6$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 12a+6$	$\displaystyle -12a$
$\displaystyle -12a$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :\left(-12\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{12}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49+\frac83$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}9$

$\displaystyle 8-8a+2a^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere 2 aus.
$\displaystyle 2\cdot\left(4-4a+a^2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 4-4a+a^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die 2. binomische Formel.
$\displaystyle \left(a-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2a-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 2a$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-1+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2+4$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-4+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-4+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-3x+3{,}5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3{,}5$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3{,}5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+3{,}5$
	↓	$\frac{9}{4}=2{,}25$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-2{,}25+3{,}5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1{,}25$
	↓	$1{,}25=\frac{5}{4}$ Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+x-3$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-3$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-3$
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-3$
	↓	3 in einen unechten Bruch umwandeln
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-\frac{1}{12}$
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+2x+1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2x-1\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-1\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-1^2-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-1-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-2\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+2$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+5x-5$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-5x+5\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+5\right)$
	↓	5 in einen unechten Bruch umschreiben
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{20}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{5}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+2$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac12$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x:\frac{1}{2}+2:\frac{1}{2}\right)$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x\cdot\frac{2}{1}+2\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+2x+4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+4\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2-1^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2-1+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2+3\right)$
	↓	Distributivgesetz anweden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2+\frac{1}{2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2+\frac{3}{2}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac13$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}x:\frac{1}{3}+\frac{5}{3}:\frac{1}{3}\right)$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}x\cdot\frac{3}{1}+\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{1}\right)$
	↓	Jeweils mit 3 kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{1}x\cdot\frac{1}{1}+\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+5\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5\right)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-1^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-1+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2+4\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2+4\cdot\frac{1}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2+\frac{4}{3}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-4+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2+1$

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

Hast du eine Frage oder Feedback?

1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

Hast du eine Frage oder Feedback?

1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

2.Lösungsweg: Scheitelform

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Einsetzen der Punkte P1P_1P1​ und P2P_2P2​ in den Funktionsterm von fff

Gleichungssystem lösen

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Verschiebung

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Scheitel bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

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Rechtecke

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Hast du eine Frage oder Feedback?

Parabel ohne Schnittpunkt

Parabel mit einem Schnittpunkt

Parabel mit zwei Schnittpunkten

Schnittpunkte bestimmen

Erste Lösung x1x_1x1​

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$

Erste Lösung $x_{1}$

Zweite Lösung $x_{2}$

Definitionsmenge von $\frac{a-2}{8-8a+2a^2}$

Definitionsmenge von $\frac{1}{2a-4}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2$
	↓	$\frac13$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}x-2\cdot\frac{3}{1}\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x-6\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-7\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2-\frac{7}{3}$

$\displaystyle \mathrm{D}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}-4\cdot\frac{1}{3}\cdot(-2)$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{8}{3}$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{24}{9}$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{9}$

$\displaystyle 2x^2-x-6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x+6$
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x-3$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+2x+1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. $-\frac12$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x^2-4x-2\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)$
	↓	Schreibe in eine Binomische Formel um.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle2}^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle4}-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-6\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2-6\cdot\left(-\frac12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 2^2-4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2$
	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-2+\sqrt{D}}{2\cdot(-0{,}5)}=2-\sqrt{6}$
	↓	$P_{x_1}\left(2-\sqrt6\vert\;0\right)$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle =\frac{-2-\sqrt D}{2\cdot(-0{,}5)}=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt6$
	↓	$P_{x_1}\left(2+\sqrt6\vert\;0\right)$

$\displaystyle g\left(\mathrm{x}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1$
	↓	Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\frac12{\textstyle\left(x^2+2x+1\right)}+1\textstyle$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}+1$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$
	↓	Nach x auflösen.
$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle -x+\frac{1}{2}$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{6}$
	↓	Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.
$\displaystyle f\left(-\frac{1}{6}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$ 6
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{4}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$ 72
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{48}{72}$
	$=$	$\displaystyle \frac{47}{72}$

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle a\cdot4^2$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 16a$	$\displaystyle :16$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle 200$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 200\cdot2$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 400$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{400}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm20$

$\displaystyle 1800$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 1800\cdot2$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 3600$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{3600}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm60$