Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

Der Graph der Funktion f mit $f\left(x\right)=x^2+tx+1$ verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der y-Achse.

Zeige, dass es keinen Wert von $a$ gibt, sodass der Graph von $f(x)=ax^2+1$ die Normalparabel berührt.

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x)$ hat ihren Scheitel in $S(0|6)$ und schneidet die x-Achse im Punkt $P_x(2\sqrt3|0)$

Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen.

Ermitteln Sie die Koeffizienten $a_2$ und $a_1$ so, dass die Funktion $f(x)=a_2x^2+a_1x+3$ an den Stellen $x=-1$ und $x=0{,}5$ die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion $g(x)=2x-1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x=-1$ und $x=0{,}5$ , den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x=-1$ und $x=0{,}5$ in $g(x)$ einsetzt.

$g(x)=2x-1$

$g(-1)=2\cdot\left(-1\right)-1=-3$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)$

$g(0{,}5)=2\cdot0{,}5-1=0$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$

Die Punkte $P_1$ und $P_2$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_1$ und $P_2$ in den Funktionsterm von $f$

$f(x)=a_2x^2+a_1x+3$

Setze $\mathrm{P}_1\left(-1|-3\right)$ in $f(x)$ ein.

$\displaystyle f\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	$f(x)=a_2x^2+a_1x+3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(-1\right)^2+a_1\cdot\left(-1\right)+3$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle a_2-a_1+3$	$=$	$\displaystyle -3$

$a_1$ und $a_2$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f(-1)=-3$ ist und $P_1$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Setze ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$ in $f(x)$ ein.

$\displaystyle f\left(0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$f(x)=a_2x^2+a_1x+3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(0{,}5\right)^2+a_1\cdot0{,}5+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0{,}25a_2+0{,}5a_1+3$	$=$	$\displaystyle 0$

$a_1$ und $a_2$ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f(0{,}5)=0$ ist und $P_2$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $a_1$ und $a_2$ ) und kannst dieses lösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II)&0{,}25a_2+0{,}5a_1+3&=&0\end{array}$

Nimm die $II)$ Gleichung $\cdot 4$ , um sie zu vereinfachen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II')&a_2+2a_1+12&=&0\end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}I)-II'):&\left(a_2-a_1+3\right)-\left(a_2+2a_1+12\right)&=&-3-0\\&a_2-a_1+3-a_2-2a_1-12&=&-3\\&-3a_1-9&=&-3&|+9\\&-3a_1&=&6&|:(-3)\\&a_1&=&-2\end{array}$

Jetzt kannst du $a_1$ in Gleichung $I)$ , $II)$ oder $II')$ einsetzen und nach $a_2$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I)& a_2-(-2)+3&=&-3\\&a_2+2+3&=&-3\\&a_2+5&=&-3&|-5\\&a_2&=&-8\end{array}$

Du hast also jetzt $a_1$ und $a_2$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f(x)=-8\mathrm x^2-2\mathrm x+3$

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Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.

Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Beschreibe schrittweise, wie $f(x)$ aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.
Zeichne den Graphen von $f(x)$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen:

$x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

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$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle \mathrm{D}$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3{,}414$

${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

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$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x-3\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-7\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4{,}64$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+3=3$

$f\left(0\right)=3$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

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$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+9\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1{,}35$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0-9=-9$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

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$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-4x+5$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\frac12\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6{,}45$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1{,}55$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+5=5$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 3 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

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$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)$ ; ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+6=6$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 8 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

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$f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2$

$f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle ax^2+1$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -x^2$
$\displaystyle ax^2+1-x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(a-1\right)x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm\sqrt{0^2-4\cdot\left(a-1\right)\cdot1}}{2\cdot\left(a-1\right)}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{-4a+4}}{2a-2}$

$\displaystyle \textcolor{660099}{0}$	$=$	$\displaystyle a\cdot(\textcolor{006400}{2\sqrt{3}})^2+6$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(4\cdot3\right)+6$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 12a+6$	$\displaystyle -12a$
$\displaystyle -12a$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :\left(-12\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{12}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+tx+1$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle x^2+tx+(\frac{t}{2})^2-(\frac{t}{2})^2+1$
	↓	Binom bilden
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-(\frac{t}{2})^2$
	↓	Scheitelpunktsform bestimmen
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-\frac{t^2}{4}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	↓	Ergänze quadratisch
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Binomische Formel
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle -(x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -4a+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4a$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49+\frac83$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}9$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
	↓	$-\frac23$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(x^2-\frac{9}{8}x-\frac{18}{2}\right)$

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

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1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

Hast du eine Frage oder Feedback?

1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

2.Lösungsweg: Scheitelform

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Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Einsetzen der Punkte P1P_1P1​ und P2P_2P2​ in den Funktionsterm von fff

Gleichungssystem lösen

Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Verschiebung

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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Scheitelpunkt berechnen

Einsetzen der Punkte $P_1$ und $P_2$ in den Funktionsterm von $f$