Aufgaben zu Extremwerten

Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung $\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2-2$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(0\;\left|\;3{,}5\right.\right)$ minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung $\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right)$ minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Fertige zunächst eine Skizze an!

Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis $p$. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.

Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)

Der Umsatz (Verkaufserlös) $U(p)$ ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.

Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel $n$ Stück zu einem Stückpreis von $p\,€$.

Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:

$PAF\;\;n(p)=1200-3\cdot p$

Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.

Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?

Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

Herr Meier hat die dreieckige Fläche gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges Baugrundstück festlegen.

Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes Baugrundstück haben will?

Ein Punkt $P(x_P|y_P)$ gleite auf der Strecke $[AB]$ mit $A(0|6)$ und $B(4|0)$.

Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

Für welchen Punkt $P$ hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?

Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen.

Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.

Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.

Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?

Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?

Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite $b$ aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.

Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.

Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?

Aus einem $36\,\mathrm{m}$ langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.

Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?

Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

Wie lang sind die Kanten zu wählen?

Aus einem kreisrunden Papierstück mit dem Radius R soll eine kegelförmige Popkorntüte hergestellt werden.

Wie muss das Papier zugeschnitten und zusammengeklebt werden, wenn die fertige Tüte mit möglichst viel Popcorn gefüllt werden soll?

Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden.

Finde die Breite a, für die der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=4-\mathrm{x}^2$   und  $\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6$

Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:

Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist $50\,\text{km}$ vom Zielort entfernt.

Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $60\,\text{km/h}$bei einem Durchschnittsverbrauch von $20\,\text{Liter/100km}$ erreichen.

In $30\,\text{km}$ Entfernung vom Standort führt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $100\,\text{km/h}$ bei einem Durchschnittsverbrauch von nur $4\,\text{Liter/100km}$ fahren.