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Aufgaben zu Extremwerten

  1. 1

    Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,5x2−2\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2-2 hat vom Punkt T(0  ∣  3,5)\mathrm T\left(0\;\left|\;3{,}5\right.\right) minimalen Abstand?

    Wie groß ist dieser minimale Abstand?

  2. 2

    Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung g(x)=x+1\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1 hat vom Punkt T(3  ∣  −1)\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right) minimalen Abstand?

    Wie groß ist dieser minimale Abstand?

    Fertige zunÀchst eine Skizze an!

  3. 3
    UmsÀtze

    Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhÀngig vom Preis pp. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.

    Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)

    Der Umsatz (Verkaufserlös) U(p)U(p) ist als Produkt aus Absatz und Preis eine WertgrĂ¶ĂŸe.

    Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel nn StĂŒck zu einem StĂŒckpreis von p €p\,€.

    Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:

    PAF    n(p)=1200−3⋅pPAF\;\;n(p)=1200-3\cdot p

    Bestimme den monatlichen Umsatz in AbhĂ€ngigkeit vom StĂŒckpreis p.

    FĂŒr welchen Preis p ist der Umsatz maximal?

  4. 4
    Rechteck einbeschreiben

    Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem FlĂ€cheninhalt einbeschrieben werden.

    Berechne den grĂ¶ĂŸtmöglichen FlĂ€cheninhalt.

  5. 5
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    Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

    Herr Meier hat die dreieckige FlĂ€che gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges BaugrundstĂŒck festlegen.

    Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes BaugrundstĂŒck haben will?

  6. 6

    Ein Punkt P(xP∣yP)P(x_P|y_P) gleite auf der Strecke [AB][AB] mit A(0∣6)A(0|6) und B(4∣0)B(4|0).

    Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

    FĂŒr welchen Punkt PP hat das Dreieck den grĂ¶ĂŸtmöglichen FlĂ€cheninhalt? Wie groß ist dieser?

    Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

  7. 7

    Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel fĂŒr seine Pferde anlegen.

    Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezÀunt werden.

    Der zur VerfĂŒgung stehende Zaun ist 120m lang.

    Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große WeideflĂ€che hat?

    Wie groß ist die WeideflĂ€che dieser Koppel?

  8. 8

    Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den SeitenlĂ€ngen a LEa\,LE und b LEb\,LE, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite bb aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.

    Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprĂŒnglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.

    Welche SeitenlÀngen und welche FlÀche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?

  9. 9

    Aus einem 36 m36\,\mathrm{m} langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen SĂ€ule hergestellt werden.

    Wie lang sind die Kanten zu wÀhlen, damit die SÀule maximales Volumen hat?

    ist die KantenlÀnge.
  10. 10

    Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

    Wie lang sind die Kanten zu wÀhlen?

  11. 11

    Aus einem kreisrunden PapierstĂŒck mit dem Radius R soll eine kegelförmige PopkorntĂŒte hergestellt werden.

    Wie muss das Papier zugeschnitten und zusammengeklebt werden, wenn die fertige TĂŒte mit möglichst viel Popcorn gefĂŒllt werden soll?

  12. 12
    Dreieck mit Rechteck

    Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflĂ€chiges Rechteck geschnitten werden.

               

    Finde die Breite a, fĂŒr die der FlĂ€cheninhalt des Rechtecks maximal ist.


  13. 13

    Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.

    Aus technischen GrĂŒnden ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.

    Bild

    Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen GelĂ€ndeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion f(x)=2xf(x)=2^xund die Straße dem Graphen der Funktion s(x)=xs(x)=x folgen.

    Bild
  14. 14

    Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

    f(x)=4−x2\mathrm{f}(\mathrm{x})=4-\mathrm{x}^2   und  g(x)=(x−2)2−6\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6

    1. Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem

    2. Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln

    3. Zeichnet man im Bereich −1<x<3-1<x<3 senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche LĂ€ngen.

      Bestimme die Strecke mit der grĂ¶ĂŸten LĂ€nge!  Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!

  15. 15
    Bild

    Das Bild zeigt eine Gerade gg und eine Parabel pp.

    1. Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.   

    2. Gib die Koordinaten eines Punktes PP auf der Parabel nur in AbhĂ€ngigkeit von xp{\mathrm x}_\mathrm p an. Zeichnet man fĂŒr 0<xp<60 < x_p < 6 zwischen dem Punkt PP und der Geraden gg zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die lĂ€ngste.

  16. 16
    Bild

    Eine WĂŒstenrallye gewinnt

    1. bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,

    2. bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.

    Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:

    Der Startort liegt mitten in der WĂŒste und ist 50 km50\,\text{km} vom Zielort entfernt.

    Der direkte Weg zum Ziel fĂŒhrt durch den WĂŒstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h60\,\text{km/h}bei einem Durchschnittsverbrauch von 20 Liter/100km20\,\text{Liter/100km} erreichen.

    In 30 km30\,\text{km} Entfernung vom Standort fĂŒhrt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h100\,\text{km/h}% bei einem Durchschnittsverbrauch von nur 4 Liter/100km4\,\text{Liter/100km} fahren.

    1. Welche Route wird das Team bei der traditionellen Rallye wÀhlen?

    2. Welche Route wird das Team bei einer alternativen wĂ€hlen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?


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