Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.
Zusatz:
Auch für den Punkt P(0∣−2) ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu T.
Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.
Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis p. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.
Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)
Der Umsatz (Verkaufserlös) U(p) ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.
Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel n Stück zu einem Stückpreis von p€.
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:
PAFn(p)=1200−3⋅p
Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.
Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Gesucht: U(p) und optimaler Preis
Stelle die Zielfunktion U auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.
U(p)=n(p)⋅p
Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion PAF gegeben ist.
PAF:
n(p)=1200−3⋅pDPAF=[0;400]
Bestimme die Extremalfunktion U(p), also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in U die Nebenbedingung einsetzt.
Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe
Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte P und Q jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.
Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.
Zielfunktion
A(a;b)=a⋅b mit a=xP−xQ(daxQ<0) und b=yP also:
A(xP;yP;xQ)=(xP−xQ)⋅yP
1. Nebenbedingung
P(xP∣yP) liegt auf der Geraden p.
Stelle die Gleichung der Geraden p mit Hilfe der Punkte B(6∣0) und C(0∣4) auf.
mP=0−64−0=−32
t=4
⇒(1)p:yP=−32⋅xP+4
Gib nun die 2. Nebenbedingung an.
2. Nebenbedingung
Q(xQ∣yP) liegt auf der Geraden q.
Stelle die Gleichung der Geradenq mit Hilfe der Punkte A(−2∣0) und C(0∣4) auf.
mQ=0+24−0=+2
t=4
⇒(2)q:yP=2⋅xQ+4
Löse nach xQ auf.
yp
=
2⋅xQ+4
−4
yp−4
=
2⋅xQ
:2
0,5yP−2
=
xQ
↓
Setze für yP den Term aus (1) ein.
0,5(−32xP+4)−2
=
xQ
↓
Multipliziere die Klammer aus
−31xP
=
xQ
Setze yP=−32⋅xP+4 und xQ=−31⋅xP in die Zielfunktion A(xP;yP;xQ)=(xP−xQ)⋅yP ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen xP zu erhalten.
Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.
Amax=8LE2
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.
Alternative Lösung 2
Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck ABC neben der Grundlinie AB=8LE die Höhe auf diese Seite mit h=y(C)=4LE gegeben ist.
Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen aLE und bLE. Also:
A(a;b)=a⋅b
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Benutze den Strahlensatz und erhalte:
8a
=
44−b
⋅4
0,5a
=
4−b
+b−0,5a
b
=
0,5a+4
Setze b in A(a;b) ein.
A(a)=a⋅(−21a+4)
A(a)=−21a2+4a
Die Zielfunktion A(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.
Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von A(a) oder mit einer quadratischen Ergänzung.
Ableitung von A(a)
A′(a)=−a+4
A′(a)=0⇒a=4
⇒Amax=8
quadratische Ergänzung
A(a)=−21(a2−8a+42)+8
=−21(a−4)2+8
⇒S(4∣8)
Vertiefung der Aufgabe
In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck ABC so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite [AB] liegt.
Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.
Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?
Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte P1, P2 oder P3 verschiebst.
Bestimme den Extremwert, indem du A(x) zweimal ableitest, die Nullstelle der ersten Ableitung ermittelst und dann über das negative Vorzeichen der zweiten Ableitung nachweist, dass es sich dabei um das gesuchte Maximum handelt.
A′(x)=−2bax+a
Nullstelle: x=2b
A′′(2b)=−2ba<0
(Anmerkung: Hier ließe sich auch direkter argumentieren, dass x=2b Maximalstelle ist, da der Graph von A eine nach unten geöffnete Parabel ist.)
Gehe von irgendeinem Geradenpunkt 1LE nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.
⇒m=−1,5
Setze die Werte m und t in die Funktionsgleichung ein.
⇒g(x)=−1,5x+6
Gib noch den Definitionsbereich Dg an, mit dem die Gerade g auf die Strecke [AB] begrenzt wird.
Dg=[0;4]
Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt P(xP∣yP) an.
Nebenbedingung
yP=−1,5⋅xP+6
Zielfunktion
A(xP;yP)=xP⋅yP
Setze yP der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
A(xP)=−1,5⋅xP2+6⋅xP
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
Bestimme die Zielfunktion, nämlich die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b
2⋅b+l=120
Stelle die Nebenbedingung auf. Da man für eine Seite (z. B. l) keinen Zaun benötigt, verändert sich die Nebenbedingung im Vergleich zur normalen Umfangsformel U=2(l+b) etwas.
A(b)=(120−2b)⋅b=120b−2b2
mit b>0
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass b sinnvollerweise nur positive Werte annehmen kann.
A′(b)=120−4b
A′′(b)=−4
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen aLE und bLE, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite b aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.
Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.
Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.
Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: a>b.
Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von b/2LE.
Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen xLE und yLE und entsteht von einem Punkt P aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt A(x;y) eines Rechtecks mit den Seiten xLE und yLE:
A(x;y)=x⋅y,
wobei
2b≤x≤b und a−2b≤y≤a
Grafische Veranschaulichung
Die Nebenbedingungen für P ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter t so angegeben werden:
x=2b+tund
y=a−twobeigilt
0≤t≤2b
Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen t zu erhalten.
Zielfunktion
A(t)
=
(2b+t)⋅(a−t)
↓
Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung A′(t) und die 2. Ableitung A′′(t).
DA(t)=[0;b/2]
=
[0;2b]
A´(t)
=
−2t+a−2b
↓
Setze A′(t) gleich Null und löse die Gleichung.
A´´(t)
=
−2
A´´(t)
<
0
−2t+a−2b
=
0
t
=
2a−4b
Zwischenstand der Lösung:
Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke [S1;S2] liegen muss.
Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion A(t) auf das Intervall [0;2b] begrenzt.
A(t) ist wegen A′′(t)<0 eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert tmax=2a−4b liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall [0;2b] liegt.
Da a>b ist jedenfalls tmax>0.
tmax ist aber nicht für jedes Zahlenpaar a und b kleiner als 2b, da gilt:
2a−4b
≤
2b
2a
≤
43b
a
≤
23b
Fallunterscheidung:
Fall 1: b<a≤23b ("a nicht zu groß")⇒tmax∈[0;2b]
Fall 2:a>2b("a beliebig groß")⇒tmax∈/[0;2b]
Setze tmax in A(t) ein.
Fall 1:
b<a≤23b
tmax liefert lokales Maximum
A(tmax)
=
(2b+2a−4b)⋅(a−2a+4b)
=
(4b+2a)⋅(2a+4b)
=
(2a+4b)2
Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:
x=2b+tmax=2b+2a−4b=2a+4b
y=a−tmax=a−2a+4b=2a+4b
Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.
Für den Punkt P auf [S1;S2] , von dem aus geschnitten wird gilt:
S1P=t2+t2=2(2a−4b)
Zahlenbeispiel
Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten a=5LE und b=4LE nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt P längst der Bruchkante [S1S2].
Man erhält für den maximalen Flächeninhalt 12,25FE, für die (quadratische) Rechtecksseite 3,5LE und für den Abstand des Punktes P von S1 den Wert 1,5⋅2LE≈2,1LE
Fall 2
a>23b⇒tmax>2b⇒tmax∈/[0;2b]
Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel A(t) rechts vom Intervall [0;2b] und A(t) nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.
Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt P mit dem rechtem Randpunkt S2 zusammenfällt. Also für t=2b.
Demnach gilt hier:
Amax=A(2b)=b⋅(a−2b).
Die Seitenlängen für Amax sind:
x=2b+2b=b und y=a−2b.
Für den erzeugenden Punkt P gilt: P=S2.
Zahlenbeispiel
Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten a=6LE und b=3LE nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt P längs der Bruchkante [S1S2].
Man erhält für den maximalen Flächeninhalt 13,5FE, bei den Seitenlängen von a=4,5LE und b=3LE.
Zusammenfassung
Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.
Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (a≤23b), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.
Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (a>23b) ergibt sich ein Randmaximum.
Alternative Lösung
Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes P auf der Bruchkante [S1S2] seinen horizontalen Abstand t vom Punkt S1 als Parameter verwendet.
Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten x und y als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen x und y aus dem Strahlensatz.
Die Zielfunktion lautet:
A(x;y)=x⋅y mit x∈[b/2;b]
Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwendung des Strahlensatzes in der nebenstehenden Skizze:
2bx
=
2ba−y+2b
⋅2b
⇒
x
=
a−y+2b
y
=
−x+a+2b
Grafische Veranschaulichung
Setze das Ergebnis der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
A(x)
=
x⋅(−x+a+2b)
↓
Setze A′(x) gleich Null, um ein mögliches Maximum xm zu erhalten.
A(x)
=
−x2+(a+2b)⋅x
↓
mit x∈[b/2;b]
A‘(x)
=
−2x+(a+2b)
−2xm+(a+2b)
=
0
xm
=
2a+4b
Zwischenstand der alternativen Lösung
Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen xLE und yLE.
Dabei muss x eine Zahl aus dem Intervall [b/2;b] sein, damit der erzeugende Punkt P auf der Strecke [S1S2] liegt.
Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit A(x)=−x2+(a+2b)x eine nach unten geöffnete Parabel und xm=2a+4b liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn xm im Intervall [b/2;b] liegt.
Da gilt: a>b, ist jedenfalls
xm=2a+4b>3b+4b>2b.
xm ist aber nicht für jedes Zahlenpaar a und b kleiner als b, da gilt:
2a+4b
≤
b
⋅4
2a+b
≤
4b
a
=
23b
Fallunterscheidung
Fall 1:b<a≤23b"a ist nicht zu groß"⇒xm∈[2b;b]
Fall 2: a>23b"a beliebig groß"⇒xm∈/[2b;b]
Fall 1: b<a≤23b
xm liefert lokales Maximum mit
ym=−2a−4b+a+2b
ym=2a+4b
Setze xm in die Nebenbedingung ein, um ym zu bekommen. Setze beide Werte in A(xm;ym) ein , um die maximale Fläche zu berechnen.
Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge 2a+4b.
Für die Fläche gilt:Amax=(2a+4b)2
Fall 2:
a>23b⇒xm>b⇒xm∈/[2b;b]
Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel A(x) rechts vom Intervall [2b;b] und A(x) nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.
Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt P mit dem rechten Randpunkt S2 zusammenfällt. Also für xm=b.
Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks x=b und y=a−2b.
Die maximale Fläche ist:
Amax=b⋅(a−2b)
Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.