Aufgaben zu Extremwerten

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung $\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2-2$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(0\;\left|\;3{,}5\right.\right)$ minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion:
Abstand der beiden Punkte $T$ und $P$ .
Nebenbedingung:
Der Punkt $P$ liegt auf der Parabel.
Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.
Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.
$\overline{TP}^2=x_P^2+(3{,}5-y_P)^2$
$\overline{TP}=\sqrt{x_P^2+(3{,}5-y_P)^2}$
Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man $\overline{TP}^2$ als Zielfunktion.
Dies erleichtert die Rechnung.
Zielfunktion:
$\overline{TP}^2=x_P^2+(3{,}5-y_P)^2$
Nebenbedingung:
$y_P=0{,}5x_P^2-2$
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
$\overline{TP}^2(x_P)=x_P^2+(3{,}5-0{,}5x_P^2\color{red}{+}2)^2$
Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.
$\overline{TP}^2(x_P)=0{,}25x_P^4-4{,}5x_P^2+30{,}25$
Bilde die Ableitung
$\overline{TP}^2(x_P)'=x_P^3-9x_P$
Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}x_P^3-9x_P&=&0\\x_P(x_P^2-9)&=&0\\x_{P1}&=&0\\x_{P2}&=&+3\\x_{P3}&=&-3\end{array}$
Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcc}\overline{TP}^2(x_P)''&=&3 x_P^2- 9\\\overline{TP}^2(0)''&=&-9\\\overline{TP}^2(\pm3)''&=&+18\end{array}$
$x_{P} = 0$ ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.
$x_{p} = - 3$ und $x_{P} = + 3$ liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.
Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.
Einsetzen der drei $x_{P}$ -Werte in die Nebenbedingung:
$y (0) = - 2$ $\quad\Rightarrow$ $P_{0} (0 ∣ - 2)$ $\text {und}$ $\quad\overline{TP_0}=\sqrt{30{,}25}=5{,}5$
$y(\pm{3})=0{,}5\cdot9-2=2{,}5$ $\;\Rightarrow$ $\;P_{2|3}(\pm{3}|2{,}5)$ und $\overline{TP_{2/3}}=\sqrt{0{,}25\cdot81-4{,}5\cdot9+30{,}25}=\sqrt{10}\approx3{,}16$
Ergebnis:
Die beiden Punkte $P_1(-3|2{,}5)$ und $P_2(+3|2{,}5)$ haben von der Parabel mit rund $3{,}16\,\text{LE}$ den geringsten Abstand.
Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt $P$ verschiebst.
Alternative Lösung
Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.
Für die drei Extremumspunkte $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ gilt:
Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt $T$ steht senkrecht auf der Parabeltangente.
Parabel: $\quad\quad\quad\quad p(x)=0{,}5x^2-2$
Tangentensteigung: $\;p'(x)=x$
Gib die Steigung $m$ von $[T P]$ an.
$\displaystyle m_{[TP]}=\frac{y-3{,}5}{x}=\frac{0{,}5x^2-5{,}5}{x}\quad x\neq0$
Lotbedingung ansetzen!
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ccc} m_{[TP]}\cdot p'(x)&=&-1\;\;\;\;x\neq0\\ \\ \dfrac{0{,}5x^2-5{,}5}{x}\cdot{x}&=&-1\\ \\0{,}5x^2-5{,}5&=&-1\\x^2&=&9\\x_{2/3}&=&\pm3\end{array}$
Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.
Zusatz:
Auch für den Punkt $P (0 ∣ - 2)$ ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu $T$ .
Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.

Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung $\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right)$ minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Fertige zunächst eine Skizze an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe lösen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Darstellung und Analyse des Funktionsgraphen

Zielfunktion

Abstand der Punkte $P$ und $T$ .

Nebenbedingung

Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden

$y = x + 1$

Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.

$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P;y_P)$	$=$	$\displaystyle (3-x_P)^2+(y_P+1)^2$
	↓	Setze die Geradengleichung für y ein.
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle (3-x_p)^2+(x_p+2)^2$
	↓	Quadriere aus
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle 9-6x_p+x_p^2+x_p^2+4x_p+4$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle 2(x_p)^2-2x_p+13$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle \overline{TP}(x_P)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2(x_P)^2-2x_P+13}$

Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:

Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:

$0 < \overline{TP_1} < \overline{TP_2} \;\Leftrightarrow \;\overline{TP_1}^2 < \overline{TP_2}^2$ .

Da die Ableitung für $\overline{TP}^2$ bequemer zu berechnen ist, als für $\overline{TP}$ (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.

$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P)$	$=$	$\displaystyle 2(x_P)^2-2x_P+13$
	↓	Bilde die Ableitung
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P)'$	$=$	$\displaystyle 4x_P-2$
	↓	Setze die Ableitung gleich Null
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x_P-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 4x_P$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle x_p$

Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass $x_P=0{,}5$ ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.

$\overline{TP}^2(x_P)''=+4>0$

$\Rightarrow x_P=0{,}5$

$\text{liefert Minimum}.$

Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung $y_{P}$ :

$y_P=0{,}5+1=1{,}5$

$\Rightarrow$ $P (0, 5 ∣ 1, 5)$ ist der gesuchte Punkt.

Berechne abschließend $\overline{TP}$ , nicht nur $\overline{TP}^2$ !!

Ergebnis:

Der minimale Abstand des Punktes $T (3 ∣ - 1)$ von der Geraden $y = x + 1$ beträgt:

$\overline{TP}\,\text{LE}=\sqrt{2\cdot 0{,}25-2\cdot 0{,}5+13}\,\text{LE}=\sqrt{12{,}5}\,\text{LE}\approx 3{,}54\,\text{LE}.$

Alternative Lösung

Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:

Der gesuchte Punkt der Geraden $g$ mit kleinstem Abstand zum Punkt $T$ ist der Lotfußpunkt $F$ vom Punkt $T$ auf die Gerade $g$ .

Er kann

a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder

b) als Schnittpunkt zweier Geraden

berechnet werden.

Fällung des Lots auf den Funktionsgraphen

a) Der Lotfußpunkt $F$ als Gleitpunkt auf $g$ .

Wenn die Strecke $[A F]$ auf der Geraden $g$ senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen $m_{[TF]}$ und $m_{g}$ gelten:

$\color{red}{m_{[TF]}\cdot m_g=-1}$ .

Also:

$\displaystyle \underbrace{\dfrac{y_F+1}{x_F-3}}_{\color{red}{=\;m_{[TF]}}}\cdot \underbrace{1}_{\color{red}{=\,m_g}}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze die Geradengleichung für y ein
$\displaystyle \dfrac{x_F+2}{x_F-3}$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot (x_F - 3)$
$\displaystyle x_F + 2$	$=$	$\displaystyle -x_F + 3$	$\displaystyle + x_F -2$
$\displaystyle 2x_F$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_F$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

b) Der Lotfußpunkt $F$ liegt auf der Geraden $g$ , seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in $g$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle x+ 1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 + 1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt $F$ verschiebst.

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis $p$ . Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.
Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)
Der Umsatz (Verkaufserlös) $U (p)$ ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.
Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel $n$ Stück zu einem Stückpreis von $p €$ .
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:
$PAF\;\;n(p)=1200-3\cdot p$
Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.
Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Gesucht: $U (p)$ und optimaler Preis
Stelle die Zielfunktion $U$ auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.
$U(p)=n(p)\cdot p$
Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion $P A F$ gegeben ist.
$P A F$ :
$n(p)=1200-3\cdot p\quad D_{PAF}=[0;400]$
Bestimme die Extremalfunktion $U (p)$ , also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in $U$ die Nebenbedingung einsetzt.
$U(p)=\left(1200\;-\;3\cdot p\right)\cdot p=1200p-3p^2$
Berechne die erste und zweite Ableitung.
Setze die erste Ableitung gleich Null und erkenne anhand der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Maximum handelt.
Berechne $U_{max}$ .
$U_{max}=U(200)=(1200-3\cdot 200)\cdot 200=120\,000\,$
Ergebnis:
Der maximale monatliche Umsatz der Firma beim Verkauf des Artikels beträgt $120\,000\,€$ bei einem Stückpreis von $200\,€$ .

Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.

Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe

Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte $P$ und $Q$ jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.

Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.

Zielfunktion

$A(a;b)=a\cdot b$ mit $a=x_P\color{red}{-}x_Q\;(\text{da}\,x_Q<0)$ und $b = y_{P}$ also:

$A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P$

1. Nebenbedingung

$P (x_{P} ∣ y_{P})$ liegt auf der Geraden $p$ .

Stelle die Gleichung der Geraden $p$ mit Hilfe der Punkte $B\left(6|0\right)$ und $C\left(0|4\right)$ auf.

$\displaystyle m_P=\frac{4-0}{0-6}=-\frac23$

$t = 4$

$\Rightarrow\,(1)\;p:\,y_P=-\dfrac23\cdot x_P+4$

Gib nun die 2. Nebenbedingung an.

2. Nebenbedingung

$Q(x_Q|\color{red}{y_P})$ liegt auf der Geraden $q$ .

Stelle die Gleichung der Geraden $q$ mit Hilfe der Punkte $A\left(-2|0\right)$ und $C\left(0|4\right)$ auf.

$\displaystyle m_Q=\frac{4-0}{0+2}=+2$

$t = 4$

$\Rightarrow\;(2)\;q:\,y_P=2\cdot x_Q+4$

Löse nach $x_{Q}$ auf.

$\displaystyle y_p$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x_Q+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle y_p - 4$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x_Q$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 0{,}5y_P - 2$	$=$	$\displaystyle x_Q$
	↓	Setze für $y_{P}$ den Term aus (1) ein.
$\displaystyle 0{,}5(-\dfrac23 x_P+4)-2$	$=$	$\displaystyle x_Q$
	↓	Multipliziere die Klammer aus
$\displaystyle -\dfrac13 x_P$	$=$	$\displaystyle x_Q$

Setze $y_P=-\dfrac23 \cdot x_P+4$ und $x_Q=-\dfrac13 \cdot x_P$ in die Zielfunktion $A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P$ ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen $x_{P}$ zu erhalten.

$\displaystyle A(x_P)$	$=$	$\displaystyle (x_P+\dfrac13 x_P)\cdot (-\dfrac23 x_P+4)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac43x_P\cdot (-\dfrac23x_P + 4)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle -\dfrac89x_P^2+\dfrac{16}{3}x_P$

$\mathbb{D}=]0;6[$

Bilde die Ableitung $A^{'} (x_{P})$ .

$\displaystyle A'(x_P)=-\frac{16}{9}x_P+\frac{16}{3}$

Setze $A^{'} (x_{P})$ gleich Null und löse die Gleichung.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{16}{9}x_P+\dfrac{16}{3}$	$\displaystyle + \dfrac{16}{9}x_P$
$\displaystyle \dfrac{16}{9}x_P$	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}$	$\displaystyle :\dfrac{16}{9}$
$\displaystyle x_P$	$=$	$\displaystyle 3$

Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für $x_{P} = 3$ tatsächlich ein Maximum ergibt.

$A''(x)=-\dfrac{16}{9}$

$A^{''} (x)$ ist eine konstante Funktion. Somit ist auch $A^{''} (3) < 0$ und $x_{P} = 3$ ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.

Setze $x_{P} = 3$ in die Fläche $A (x_{P})$ ein.

Flächeninhalt:

$\displaystyle A(x_P)=-\frac89\cdot x_P^2 +\frac{16}{3}\cdot x_P$

$\Rightarrow$

$\displaystyle A(3)=-\frac89 \cdot 9+\frac{16}{3} \cdot 3=8$

Setze $x_{P} = 3$ auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.

Nebenbedingung:

$\displaystyle y_P=-\frac23 \cdot x_P+4$

$\Rightarrow\quad y_P=-\dfrac23 \cdot 3+4=2$

Ergebnis:

Mit dem Eckpunkt $P (3 ∣ 2)$ ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt $8\,\text{LE}^2$ .

Alternative Lösung 1

Der Graph der Zielfunktion $\displaystyle A(x)=-\frac89 x^2+\frac{16}{3}x,\quad\mathbb{D}=]0;6[$

ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt. Diesen kann man - außer über die Ableitung von $A (x)$ - durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac89x^2+\dfrac{16}{3}x$
	↓	Klammere $\displaystyle -\frac89$ aus.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac89 (x^2-6x)$
	↓	quadratisch ergänzen
	$=$	$\displaystyle -\dfrac89 (x^2-6x \color{red}{+3^2})\color{red}{+8}$
	↓	2. binomische Formel benutzen.
$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac89 (x-3)^2+8$

Lies den Scheitelpunkt ab $\Rightarrow S(3|8)$

Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.

$A_{max}=8\;\text{LE}^2$

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.

[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yvjtyqar]

Alternative Lösung 2

Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.

Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck $A B C$ neben der Grundlinie $\overline{AB}=8\,\text{LE}$ die Höhe auf diese Seite mit $h=y(C)=4\,\text{LE}$ gegeben ist.

Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$ . Also:

$A(a;b)=a\cdot b$

Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz.

Benutze den Strahlensatz und erhalte:

$\displaystyle \dfrac{a}{8}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4-b}{4}$	$\displaystyle \cdot 4$
$\displaystyle 0{,}5a$	$=$	$\displaystyle 4-b$	$\displaystyle + b - 0{,}5a$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}5a + 4$

Setze $b$ in $A (a; b)$ ein.

$A(a)=a\cdot (-\dfrac 12 a+4)$

$A(a)=-\dfrac 12 a^2+4a$

Die Zielfunktion $A (a)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.

Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von $A (a)$ oder mit einer quadratischen Ergänzung.

Ableitung von $A (a)$

$A^{'} (a) = - a + 4$

$A'(a)=0\,\Rightarrow\,a=4$

$\Rightarrow\,A_{max}=8$

quadratische Ergänzung

$A(a)=-\frac{1}{2}(a^2-8a\color{red}{+4^2})\color{red}{+8}$

$=-\frac 12(a-4)^2+8$

$\Rightarrow\,S(4|8)$

Vertiefung der Aufgabe

In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck $A B C$ so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite $[A B]$ liegt.

Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.

Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?

Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte $P_{1}$ , $P_{2}$ oder $P_{3}$ verschiebst.

[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/XVmPdA8N]

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Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

Herr Meier hat die dreieckige Fläche gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges Baugrundstück festlegen.

Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes Baugrundstück haben will?

Ein Punkt $P (x_{P} ∣ y_{P})$ gleite auf der Strecke $[A B]$ mit $A (0 ∣ 6)$ und $B (4 ∣ 0)$ .

Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

Für welchen Punkt $P$ hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?

Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/guvv2try]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $P$ gilt:

Grundlinie = $2\cdot x_P$

Höhe = $y_{P}$

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

$A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P$

Skizze der Situation im Koordinatensystem

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

$\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P$

Nebenbedingung

Der Punkt $P (x_{P} ∣ y_{P})$ liegt auf der Strecke $[A B]$ .

Ermittle die Geradengleichung $A B$ .

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

$\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{mx}+\mathrm t$

Bestimme den y-Achsenabschnitt $t$ , indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

$\Rightarrow\;\;\mathrm t=6$

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1\,LE$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

$\Rightarrow\;\;\mathrm m=-1{,}5$

Setze die Werte $m$ und $t$ in die Funktionsgleichung ein.

$\Rightarrow\;\;\mathrm g(\mathrm x)=-1{,}5\mathrm x+6$

Gib noch den Definitionsbereich $D_{g}$ an, mit dem die Gerade $g$ auf die Strecke $[A B]$ begrenzt wird.

$D_{g} = [0; 4]$

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P (x_{P} ∣ y_{P})$ an.

Nebenbedingung

$y_P=-1{,}5\cdot x_P+6$

Zielfunktion

$A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P$

Setze $y_{P}$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A(x_P)=-1{,}5\cdot x_P^2+6\cdot x_P$

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1{,}5(x_P^2\color{red}{-4}x_P)\\&=&-1{,}5(x_P^2-4x_P\color{red}{+2^2})\color{red}{+6}\\&=&-1{,}5(x_P-2)^2+6\end{array}$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2\;\left|\;6\right.\right)$

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

$\Rightarrow\;$ Bei ${\mathrm x}_\mathrm p=2$ ist der Flächeninhalt $6\,\text{LE}$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $P$ .

${\mathrm y}_\mathrm p=-1{,}5\cdot2+6=3$

Gib den gesuchten Punkt $P$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt $\mathrm P\left(\left.2\;\right|\;3\right)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6\;\mathrm{FE}$ .

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1{,}5x_P^2+6x_P\\A'(x_P)&=&-3x_P+6\end{array}$

Setze $A^{'} (x_{P})$ gleich Null und löse nach $x_{P}$ auf.

$\displaystyle A'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -3x_P+6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3x_P$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 3x_P$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x_P$

Setze den Wert in $A (x_{P})$ und in die Nebenbedingung $y=-1{,}5\cdot x_P+6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen.
Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.
Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe zur Berechnung einer maximalen Weidefläche
Gegeben: kombinierte Länge von drei Seiten
Gesucht: ideale Seitenlänge für maximale Fläche
$A=l\cdot b$
Bestimme die Zielfunktion, nämlich die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$
$2\cdot b+l=120$
Stelle die Nebenbedingung auf. Da man für eine Seite (z. B. l) keinen Zaun benötigt, verändert sich die Nebenbedingung im Vergleich zur normalen Umfangsformel $U=2\left(l+b\right)$ etwas.
$A(b)=(120-2b)\cdot b=120b-2b^2$
mit $b > 0$
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass b sinnvollerweise nur positive Werte annehmen kann.
$A^{'} (b) = 120 - 4 b$
$A^{''} (b) = - 4$
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
$A^{'} = 120 - 4 b = 0$
$120 = 4 b$
$b = 30$
Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.
$l=120-2\cdot30=60$
$A=60\cdot30=1800$
Berechne nun noch $l$ durch Einsetzen der Breite $b$ in die Nebenbedingung und die Fläche der Weidekoppel.
Für die maximale Weidefläche muss der Bauer die Koppel also 60 m lang und 30 m breit wählen. Damit erreicht er eine Weidefläche von 1800 m².

Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$ , ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite $b$ aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.

Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.

Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.

Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: $a > b$ .

Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von $b/2\,LE$ .

Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$ und entsteht von einem Punkt $P$ aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.

Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt $A (x; y)$ eines Rechtecks mit den Seiten $x\,LE$ und $y\,LE$ :

$A(x;y)=x\cdot y$ ,

wobei

$\dfrac{b}{2}\le x\le b$ und $a-\dfrac{b}{2}\leq y \leq a$

Grafische Veranschaulichung

Die Nebenbedingungen für $P$ ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter $t$ so angegeben werden:

$x=\dfrac{b}{2}+t$ $\quad\text{und}$

$y = a - t$ $\quad\text{wobei}\;\text{gilt}$

$0 \leq t\leq \dfrac{b}{2}$

Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen $t$ zu erhalten.

Zielfunktion

$\displaystyle A\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{b}{2}+t\right)\cdot\left(a-t\right)$
	↓	Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung $A^{'} (t)$ und die 2. Ableitung $A^{''} (t)$ .
$\displaystyle \mathbb{D}_{A(t)}=[0;b/2]$	$=$	$\displaystyle \left[0;\dfrac{b}{2}\right]$
$\displaystyle A´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -2t+a-\dfrac{b}{2}$
	↓	Setze $A^{'} (t)$ gleich Null und löse die Gleichung.
$\displaystyle A´´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle A´´\left(t\right)$	$<$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -2t+a-\dfrac{b}{2}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}$

Zwischenstand der Lösung:

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke $[S_{1}; S_{2}]$ liegen muss.

Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion $A (t)$ auf das Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ begrenzt.

$A (t)$ ist wegen $A^{''} (t) < 0$ eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert $t_{max}=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ liegt.

Da $a > b$ ist jedenfalls $t_{max}>0$ .

$t_{max}$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $\dfrac{b}{2}$ , da gilt:

$\displaystyle \dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{b}{2}$
$\displaystyle \dfrac{a}{2}$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}b$
$\displaystyle a$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}b$

Fallunterscheidung:

Fall 1: $\quad b<a\leq \dfrac{3}{2}b\quad$ ("a nicht zu groß") $\Rightarrow\;t_{max}\in [0;\dfrac{b}{2}]$

Fall 2: $\,\quad a>\dfrac{b}{2}\quad \;\, \quad\quad$ ("a beliebig groß") $\Rightarrow\;t_{max}\notin[0;\dfrac{b}{2}]$

Setze $t_{max}$ in $A (t)$ ein.

Fall 1:

$\;b<a\leq \dfrac{3}{2}b$

$t_{max}$ liefert lokales Maximum

$\displaystyle A\left(t_{\max_{ }}\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}\right)\cdot\left(a-\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{b}{4}+\dfrac{a}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)^2$

Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:

$x=\dfrac{b}{2}+t_{max}=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}=\dfrac{a}{2}+ \dfrac{b}{4}$

$y=a-t_{max}=a-\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}= \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$

Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.

Für den Punkt $P$ auf $[S_{1}; S_{2}]$ , von dem aus geschnitten wird gilt:

$\displaystyle \overline{S_1P}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{4}\right)$

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a=5\,LE$ und $b=4\,LE$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längst der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ .

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $12{,}25\;FE$ , für die (quadratische) Rechtecksseite $3{,}5\,LE$ und für den Abstand des Punktes $P$ von $S_{1}$ den Wert $1{,}5\cdot \sqrt{2}\,LE\approx{2{,}1}\,LE$

[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CAejsbAf]

Fall 2

$a>\dfrac{3}{2}b\Rightarrow\;t_{max}>\dfrac{b}{2}\Rightarrow\;t_{max}\notin [0;\dfrac{b}{2}]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel $A (t)$ rechts vom Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ und $A (t)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechtem Randpunkt $S_{2}$ zusammenfällt. Also für $t=\dfrac{b}{2}$ .

Demnach gilt hier:

$A_{max}=A(\dfrac{b}{2})=b\cdot \left(a-\dfrac{b}{2}\right)$ .

Die Seitenlängen für $A_{max}$ sind:

$x=\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}=b\quad$ und $\quad y=a-\dfrac{b}{2}$ .

Für den erzeugenden Punkt $P$ gilt: $P = S_{2}$ .

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a=6\,LE$ und $b=3\,LE$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längs der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ .

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $13{,}5\,FE$ , bei den Seitenlängen von $a=4{,}5\,LE$ und $b=3\,LE$ .

Zusammenfassung

Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.

Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ( $a\leq \dfrac{3}{2}b$ ), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.

Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ( $a>\dfrac{3}{2}b$ ) ergibt sich ein Randmaximum.

Alternative Lösung

Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes $P$ auf der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ seinen horizontalen Abstand $t$ vom Punkt $S_{1}$ als Parameter verwendet.

Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten $x$ und $y$ als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen $x$ und $y$ aus dem Strahlensatz.

Die Zielfunktion lautet:

$A(x;y)=x\cdot y$ mit $x\in[b/2;b]$

Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwendung des Strahlensatzes in der nebenstehenden Skizze:

\displaystyle \dfrac{x}{\dfrac{b}{2}}

=

\displaystyle \dfrac{a-y+\dfrac{b}{2}}{\dfrac{b}{2}}

\displaystyle \cdot\dfrac{b}{2}

$\Rightarrow$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle a-y+\dfrac{b}{2}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -x+a+\dfrac{b}{2}$

Grafische Veranschaulichung

Setze das Ergebnis der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$\displaystyle A\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(-x+a+\dfrac{b}{2}\right)$
	↓	Setze $A^{'} (x)$ gleich Null, um ein mögliches Maximum $x_{m}$ zu erhalten.
$\displaystyle A\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)\cdot x$
	↓	mit $x\in[b/2;b]$
$\displaystyle A`\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -2x+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)$
$\displaystyle -2x_m+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_m$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$

Zwischenstand der alternativen Lösung

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$ .

Dabei muss $x$ eine Zahl aus dem Intervall $[b / 2; b]$ sein, damit der erzeugende Punkt $P$ auf der Strecke $[S_{1} S_{2}]$ liegt.

Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit $A(x)=-x^2+(a+\dfrac{b}{2})x$ eine nach unten geöffnete Parabel und $x_m=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn $x_{m}$ im Intervall $[b / 2; b]$ liegt.

Da gilt: $a > b$ , ist jedenfalls

$x_m=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}>\dfrac{b}{3}+\dfrac{b}{4}>\dfrac{b}{2}$ .

$x_{m}$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $b$ , da gilt:

$\displaystyle \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$	$\leq ≤$	$\displaystyle b$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle 2a+b$	$\leq ≤$	$\displaystyle 4b$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}b$

Fallunterscheidung

Fall 1: $\quad b<a\leq\frac{3}{2}b\quad\text{"a ist nicht zu groß"}\;\Rightarrow\;x_m\in\,[\frac{b}{2};b]$

Fall 2: $a>\frac{3}{2}b\quad\text{"a beliebig groß"}\;\Rightarrow\;x_m\notin [\frac{b}{2};b]$

Fall 1: $\quad b<a\leq\frac {3}{2}b$

$x_{m}$ liefert lokales Maximum mit

$y_m=-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}+a+\dfrac{b}{2}$

$y_m=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$

Setze $x_{m}$ in die Nebenbedingung ein, um $y_{m}$ zu bekommen. Setze beide Werte in $A (x_{m}; y_{m})$ ein , um die maximale Fläche zu berechnen.

Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge $\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$ .

Für die Fläche gilt: $\quad A_{max}=(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4})^2$

Fall 2:

$a>\dfrac{3}{2}b\quad\Rightarrow\quad x_m>b\quad\Rightarrow\quad x_m\notin [\dfrac{b}{2};b]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel $A (x)$ rechts vom Intervall $[\dfrac{b}{2};b]$ und $A (x)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechten Randpunkt $S_{2}$ zusammenfällt. Also für $x_{m} = b$ .

Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks $x = b$ und $y=a-\dfrac{b}{2}$ .

Die maximale Fläche ist:

$A_{max}=b\cdot (a-\dfrac{b}{2})$

Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Aus einem $36\,\mathrm{m}$ langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.
Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?

$\displaystyle \dfrac{a}{b}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a-y}{x}$	$\displaystyle \left(Strahlensatz\ V-Figur\right)$
	↓	Löse nach $y$ auf.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{b}\left(b-x\right)$
	↓	Setze in die Flächenfunktion ein.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \dfrac{ab}{4}$
	↓	Setze die Werte ein und berechne die Fläche.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{32m\cdot48m}{4}$
	$=$	$\displaystyle 384m^2$

Aufgaben zu Extremwerten

Alternative Lösung

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Alternative Lösung

Alternative Lösung 1

Alternative Lösung 2

Vertiefung der Aufgabe

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von A(xP)A(x_P)A(xP​)

Zwischenstand der Lösung:

Fallunterscheidung:

Fall 1:

Zahlenbeispiel

Fall 2

Zahlenbeispiel

Zusammenfassung

Alternative Lösung

Zwischenstand der alternativen Lösung

Fallunterscheidung

Fall 1:b<a≤32b"a ist nicht zu groß" ⇒ xm∈ [b2;b]\quad b<a\leq\frac{3}{2}b\quad\text{"a ist nicht zu groß"}\;\Rightarrow\;x_m\in\,[\frac{b}{2};b]b<a≤23​b"a ist nicht zu groß"⇒xm​∈[2b​;b]

Fall 2: a>32b"a beliebig groß" ⇒ xm∉[b2;b]a>\frac{3}{2}b\quad\text{"a beliebig groß"}\;\Rightarrow\;x_m\notin [\frac{b}{2};b]a>23​b"a beliebig groß"⇒xm​∈/[2b​;b]

Fall 1: b<a≤32b\quad b<a\leq\frac {3}{2}bb<a≤23​b

Fall 2:

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$

Fall 1: $\quad b<a\leq\frac{3}{2}b\quad\text{"a ist nicht zu groß"}\;\Rightarrow\;x_m\in\,[\frac{b}{2};b]$

Fall 2: $a>\frac{3}{2}b\quad\text{"a beliebig groß"}\;\Rightarrow\;x_m\notin [\frac{b}{2};b]$

Fall 1: $\quad b<a\leq\frac {3}{2}b$